山东省烟台市长岛县高级学校高三数学理下学期期末试题含解析

山东省烟台市长岛县高级学校高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知命题：，；命题：.则下列结论正确的是A．命题是真命题

B．命题是真命题

C．命题是真命题

D．命题是假命题参考答案：C因命题假，命题真，所以答案选C.2.设复数z满足z?i=2015﹣i，i为虚数单位，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限

B．第二象限 C．第三象限D．第四象限参考答案：C分析： 化简复数为a+bi的形式，即可判断复数所在象限．解答： 解：复数z满足z?i=2015﹣i所以z===﹣1﹣2015i．复数对应点为：（﹣1，﹣2015）在第三象限．故选：C．点评： 本题考查复数的基本运算，考查计算能力．3.记集合T={0，1，2，3，4，5，6}，M=，将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：解析：用表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以74，得

，

M′中的最大数为[6666]7=[2400]10.

在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400－2004=396，而[396]10=[1104]7将此数除以74，便得M中的数.故选C.4.已知平行四边形中，,则等于（

）A．1 B．

C．2 D．参考答案：C5.某汽车的使用年数x与所支出的维修费用y的统计数据如表：使用年数x（单位：年）12345维修总费用y（单位：万元）0.51.22.23.34.5根据上表可得y关于x的线性回归方程=x﹣0.69，若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用（）A．8年 B．9年 C．10年 D．11年参考答案：D【分析】计算、，求出回归系数，写出回归方程，据此模型预测该汽车最多可使用年限．【解答】解：计算=×（1+2+3+4+5）=3，=×（0.5+1.2+2.2+3.3+4.5）=2.34；代入回归方程=x﹣0.69得2.34=×3﹣0.69，解得=1.01；∴回归方程为=1.01x﹣0.69，令=1.01x﹣0.69≥10，解得x≥10.6≈11，据此模型预测该汽车最多可使用11年．故选：D．6.等差数列中，若，，则前9项的和等于A．99B．66C．144D．297参考答案：A略7.将函数的图像平移后所得的图像对应的函数为，则进行的平移是（

）A、向右平移个单位

B、向左平移个单位C、向右平移个单位

D、向左平移个单位参考答案：B略8.复数，则实数a的值是（

）A．

B．

C．

D．－参考答案：B9.设变量满足约束条件：的最大值为（

）

A．10

B．8

C．6

D．4参考答案：C略10.设，则A. B. C. D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若曲线在点处的切线平行于轴,则______.参考答案：-112.设函数f(x)＝，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是______参考答案：13.设，若直线上存在一点P满足，且的内心到x轴的距离为，则___________.参考答案：【分析】由题意可得点为直线与椭圆的交点,直线方程与椭圆方程联立可得，由的内心到轴的距离为，即的内切圆的半径，由等面积法可求出参数的值.【详解】点满足,则点在椭圆上.由题意可得点为直线与椭圆的交点.联立与，消去得，则.因为的内心到轴的距离为，所以的内切圆的半径.所以的面积为，即，解得，又，则.【点睛】本题考查考查直线与椭圆的位置关系，根据椭圆的焦点三角形的相关性质求参数，属于中档题.14.过点P（1，1）的直线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为．参考答案：4【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】求出圆心坐标与半径，圆心C到直线距离的最大值为|CP|．由此结合垂径定理，即可算出|AB|的最小值．【解答】解：圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9的圆心坐标为（2，3），半径为3．点P（1，1）在圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9内部．∵圆心到直线的距离的最大值为|CP|==，∴|AB|有最小值2=4，故答案为：4．【点评】本题给出直线与圆相交于A、B两点，求截得弦长的最小值，着重考查了两点间的距离公式和用垂径定理求弦长等知识，属于中档题．15.若函数且，且的图象关于轴对称，则的最小值为__________.参考答案：816.设a＞0，若展开式中的常数项为80，则a=．参考答案：2【考点】二项式定理的应用．【分析】求出展开式的通项公式，利用常数项为80，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：二项式的展开式中的通项公式为Tk+1=C5k?ak?x10﹣2.5k，∵二项式的展开式中的常数项为80，∴当10﹣2.5k=0时，得k=4，此时常数项为C54?a4=80，即5a4=80，解得a=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，根据二项展开式的定理，求出展开式的通项公式是解决本题的关键．17.下图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是_________；

参考答案：B略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC．（1）求证：OD∥平面PAB；（2）求直线OD与平面PBC所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据三角形中位线定理可得OD∥PA，再由线面平行的判定定理得到OD∥平面PAB；（2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量和直线OD的方向向量，代入向量夹角公式，可得直线OD与平面PBC所成角的正弦值【解答】证明：（1）∵点O，D分别是AC，PC的中点，∴OD∥PA又∵OD?平面PAB，PA?平面PAB∴OD∥平面PAB；（2）连接OB，∵AB=BC，点O是AC的中点，∴OB⊥AC又∵OP⊥底面ABC．故可以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系令AB=BC=PA=1，AB⊥BC，则OA=OB=OC=，OP=则O（0，0，0），B（，0，0），C（0，，0），P（0，0，），D（0，，）∴=（0，，），=（﹣，，0），=（0，，﹣）设=（x，y，z）是平面PBC的一个法向量则，即令z=1，则=（，，1）直线OD与平面PBC所成角θ满足：sinθ==故直线OD与平面PBC所成角的正弦值为19.(本小题满分14分)已知直线过椭圆的右焦点，抛物线：的焦点为椭圆的上顶点，且直线交椭圆于、两点，点、、在直线上的射影依次为点、、.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线交轴于点，且.证明：的值定值；（Ⅲ）连接、，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.参考答案：（Ⅰ）易知椭圆右焦点∴，抛物线的焦点坐标

………1分

椭圆的方程.

……………3分（Ⅱ）易知，且与轴交于，设直线交椭圆于由 ∴……………5分又由 ，同理∴

…………7分∵ ……………8分∴所以，当变化时，的值是定值，定值为.……………9分（Ⅲ）先探索，当时，直线轴，则为矩形，由对称性知，与相交的中点，且，20.（本小题满分12分）

已知函数f（x）=cos(2x+)+sin2x．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；

（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足2·=，求△ABC的面积S．

参考答案：解：（Ⅰ）因为.

所以，最小正周期，值域为.

……（6分）（Ⅱ），，..又，，，.而，.由正弦定理，有，即...

……（12分）

略21.设函数，曲线在点（1，）处的切线方程为.(Ⅰ)求；（Ⅱ）证明：.参考答案：(Ⅰ)函数的定义域为，由题意可得??，故

……………6分（Ⅱ）由(Ⅰ)知，?，从而等价于设函数??，则，所以当??时，??，当??时，??，故??在??单调递减，在??单调递增，从而??在???的最小值为?.

……………8分设函数??，则，所以当??时，??，当??时，??，故??在??单调递增，在??单调递减，从而??在??