山东省烟台市龙口东江镇东江中学2021-2022学年高二数学理模拟试卷含解析

山东省烟台市龙口东江镇东江中学2021-2022学年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线过点(－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为（

）（A）2x－3y＝0; （B）x＋y＋5＝0; （C）2x－3y＝0或x＋y＋5＝0 （D）x＋y＋5或x－y＋5＝0参考答案：C略2.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线（

）A．不存在

B．有1条

C．有2条

D．有无数条参考答案：D略3.已知随机变量服从二项分布，则等于A. B. C. D.参考答案：D.4.在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于（）A．4 B． C．4 D．参考答案：A【考点】正弦定理．【分析】先求得A，进而利用正弦定理求得b的值．【解答】解：A=180°﹣B﹣C=45°，由正弦定理知=，∴b===4，故选A．5.已知函数与的图像上存在关于y轴对称的对称点，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.参考答案：A【分析】将题中的问题转化为方程在上有解，即方程在有解的问题处理，然后再转化为两函数的图象有公共点求解，借助导数的几何意义和图象可得所求范围．【详解】函数与的图像上存在关于轴对称的对称点，∴方程在上有解，即方程在上有解，∴方程在有解．设，，则两函数的图象有公共点．由得．若为的切线，且切点为，则有，解得，结合函数图象可得若两函数的图象有公共点，则需满足．所以实数的取值范围是．故选A．【点睛】本题考查转化思想和数形结合思想的应用，解题的关键是把两图象上有对称点转化为方程有根的问题求解，然后再根据两函数的特征选择用导数的几何意义求解，具有综合性，难度较大．6.与圆以及都外切的圆的圆心在

A.一个椭圆

B.双曲线的一支上

C.一条抛物线上

D.一个圆上参考答案：B略7.若，，，则a+b的最小值为A．2

B．4

C．6

D．8参考答案：B8.（5分）已知函数f1（x）=x，f2（x）=x+，f3（x）=﹣x+5，执行如图所示的程序图，如果输入的x∈[0，5]，则输出a的值为f3（x）的函数值的概率是（） A． B． C． D． 1参考答案：C9.已知盒中装有3只螺口与2只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C10.以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是A．①、②

B．③、④

C．①、③

D．①、④参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10，12]内的频数为．参考答案：36【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率和为1，求出样本数据落在区间[10，12]内的频率，即可求出对应的频数．【解答】解：根据频率分布直方图得，样本数据落在区间[10，12]内的频率为1﹣（0.02+0.05+0.15+0.19）×2=0.18，所求的频数为0.18×200=36．故答案为：36．12.P为双曲线上的点，、为其两个焦点，且△的面积为，则∠=

。参考答案：60度13.抛物线形拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽4米，若水面下降1米后，则水面宽是

米参考答案：14.函数在区间(0,1)内的零点个数是（

）A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：B15.曲线在点(0,1)处的切线方程为

．参考答案：16.已知复数z=（3﹣2i）2+2i（i为虚数单位），则z虚部为．参考答案：﹣10【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：z=（3﹣2i）2+2i=9﹣4﹣12i+2i=5﹣10i，则z虚部=﹣10．故答案为：﹣10．17.已知矩阵A=，矩阵B=，计算：AB=

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图,四棱柱中,.为平行四边形,,,分别是与的中点.

(1)求证:;

(2)求二面角的平面角的余弦值.

参考答案：解:(1)AD=AE,∠DAB=60°

∴△ADE为正△在△CDE中,由余弦定理可求CE=.又.由每股定理逆定理知CE⊥DE又DD1⊥平面ABCD,

CE平面ABCD.

∴CE⊥DD1∴CE⊥平面DD1E,又DF平面DD1E.

∴CE⊥DF.

(2)以直线AB,AA1分别为轴,轴建立空间直角坐标系,由题设A(0,0,0),E(1,0,0),D1(),

C可求平面AEF的一个法向量为

平面CEF的一个法向量为∴平面角满足又为纯角∴注:本题(1)也可建坐标直接证明.(2)的坐标系建法不唯一.略19.已知f（x）=log2（1+x）﹣log2（1﹣x）（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并加以说明；（3）求使f（x）＞0的x的取值范围．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）由对数式有意义可得1+x＞0且1﹣x＞0，解不等式可得定义域；（2）由奇偶性的定义可得函数为奇函数；（3）f（x）＞0可化为1+x＞1﹣x＞0，即可求使f（x）＞0的x的取值范围．【解答】解：（1）由对数式有意义可得1+x＞0且1﹣x＞0，解得﹣1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域为（﹣1，1），（2）∵f（﹣x）=log2（1﹣x）﹣log2（1+x）=﹣f（x），∴结合定义域关于原点对称可得f（x）为奇函数；（3）f（x）=log2（1+x）﹣log2（1﹣x）＞0可得1+x＞1﹣x＞0，∴0＜x＜1．20.参考答案：解：（1）设数列{an}的公比为q.

由等比数列性质可知：，

而，由（舍），故

∴当n=3时，Tn的最大值为9lg2.

21.已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：f（x）≥x﹣1．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）设切线的斜率为k，利用导数求解切线斜率，然后求解切线方程．（Ⅱ）要证：f（x）≥x﹣1，需证明：g（x）=xlnx﹣x+1≥0在（0，+∞）恒成立，利用函数的导数，通过函数的单调性以及函数的最值，证明即可【解答】（Ⅰ）解：设切线的斜率为k，f′（x）=lnx+1，k=f′（1）=ln1+1=1因为f（1）=1?ln1=0，切点为（1，0）．切线方程为y﹣0=1?（x﹣1），化简得：y=x﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）证明：要证：f（x）≥x﹣1只需证明：g（x）=xlnx﹣x+1≥0在（0，+∞）恒成立，g′（x）=lnx+1﹣1=lnx当x∈（0，1）时f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增；当x=1时g（x）min=g（1）=1?ln1﹣1+1=0g（x）=xlnx﹣x+1≥0在（0，+∞）恒成立所以f（x）≥x﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22.（12分）如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，设小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？最大值为多少？参考答案：

考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题．分析：设小正方形的边长为xcm，则盒子容积为：y=（8﹣2x）?（5﹣2x）?x为三次函数，用求导法，可得x=1时，函数y取得最大值，此时盒子容积最大．解答：解：设小正方形的边长为xcm，则x∈（0，）；盒子容积为：y=（8﹣2x）?（5﹣2x）?x=4x3﹣26x2+40x，对y求导，得y′=