山东省烟台市龙口大张家中学2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析

山东省烟台市龙口大张家中学2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(

)

A．3

B．2

C．1

D．参考答案：A略2.已知数列为各项为正数的等比数列，且成等差数列，则数列（

）A．单调递增

B．单调递减

C．先递增后递减

D．是常数列参考答案：D3.已知集合，集合，则A. B. C. D.参考答案：【知识点】补集、交集的运算.A1D

解析：因为，，所以，则，故选D.【思路点拨】先通过解不等式求出集合M,N,然后再求出，最后求得即可。4.在椭圆上有一点，椭圆内一点在的延长线上，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D考点：椭圆的定义余弦定理与基本不等式等知识的综合运用.【易错点晴】本题考查的是椭圆的几何性质与函数方程的数学思想的范围问题,解答时先运用余弦定理建立,再借助椭圆的定义将其等价转化为,然后再运用基本不等式将其转化为不等式,最后通过解该不等式将该椭圆的离心率求出,从而获得答案.5.在复平面内，复数对应的点位于 （

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D6.已知函数的零点分别是，则的大小关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D．试题分析：由题意易知的零点；的零点；的零点，则，故选D．考点：函数的零点问题．7.某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据．可得这个几何体的表面积为(

)A.

B.

C.

D.12参考答案：B略8.（

）参考答案：D9.设为实数区间，，若“”是“函数在上单调递减”的一个充分不必要条件，则区间可以是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B10.在△ABC中，设命题命题q:△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：C：q:△ABC是等边三角形

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，则不等式的解集是_______．参考答案：试题分析：函数，，由解得，由解得，故不等式的解集为.

12.平面向量，满足|2﹣|=1，|﹣2|=1，则的取值范围．参考答案：[，1]【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】设两个向量的夹角为θ，将已知的等式两边平方，求出两个向量的模相等，将所求用夹角表示，通过三角函数的值域求出向量的模的平方的范围，进一步求数量积的范围．【解答】解：设两个向量的夹角为θ，因为|2﹣|=1，|﹣2|=1，所以，，所以，=所以5=1，所以，所以5a2﹣1∈[]，[，1]，所以；故答案为：[，1]．【点评】本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义，求向量数量积的范围．13.右面伪代码的输出结果为

.参考答案：14.一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为

．参考答案：0.4．【分析】由已知条件利用对立事件概率计算公式直接求解．【解答】解：∵一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，∴P（目标未受损）=0.4，∴P（目标受损）=1﹣0.4=0.6，目标受损分为完全击毁和未完全击毁两种情形，它们是对立事件，P（目标受损）=P（目标受损但未完全击毁）+P（目标受损但击毁），即0.6=P（目标受损但未完全击毁）+0.2，∴P（目标受损但未完全击毁）=0.6﹣0.2=0.4．故答案为：0.4．15.已知直线l过点（1,0）且垂直于轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.参考答案：(1,0)分析：根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点(1,2)，将点(1,2)坐标代入可求参数的值，进而可求焦点坐标.详细：由题意可得，点P(1,2)在抛物线上，将P(1,2)代入中，解得：，，由抛物线方程可得：，焦点坐标为(1,0).点睛：此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.

16.已知函数，若存在唯一零点，且>0，则a的取值范围

.参考答案：略17.已知两点A（1，0），B（l，1），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC=135o，设∈R），则的值为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，椭圆经过点，且点M到椭圆的两焦点的距离之和为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若R，S是椭圆C上的两个点，线段RS的中垂线l的斜率为且直线l与RS交于点P，O为坐标原点，求证：P，O，M三点共线.参考答案：解：(1)因为点到椭圆的两焦点的距离之和为，所以，解得又椭圆经过点，所以，所以所以椭圆的标准方程为.(2)证明：因为线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为，所以可设直线的方程为据得设点，所以，所以.因为，所以所以点在直线上，又点也在直线上，所以三点共线.

19.（12分）

如图，矩形ABCD，平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE是的点，且平面ACE。

（1）求证：平面BCE；

（2）求二面角B—AC—E的大小。

参考答案：解析：（1）证明：平面ABE，AD//BC。

平面ABE，则…………2分

又平面ACE，则

平面BCE。…………5分

（2）方法一：取AB的中点H，CD的中点N，则HN//AD

平面ABE，平面ABE，

以HE所在直线为轴，HB所在直线为轴，HN所在直线为z轴，

建立空间直角坐标系，

则，

平面BAC的一个法向量…………8分

设平面EAC的一个法向量，

由

所以

令…………10分

二面角B—AC—E的大小为60°…………12分

方法二：过Ｅ作

平面ABE，DA平面ABCD，

平面ABCD平面ABE，

平面ABCD。

平面EHM。

是二面角B—AC—E的平面角。…………8分

在

∽

又

故二面角B—AC—E的大小为60°…………12分20.已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且经过点（1，），抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点F与椭圆C1的一个焦点重合．（Ⅰ）过F的直线与抛物线C2交于M，N两点，过M，N分别作抛物线C2的切线l1，l2，求直线l1，l2的交点Q的轨迹方程；（Ⅱ）从圆O：x2+y2=5上任意一点P作椭圆C1的两条切线，切点为A，B，证明：∠APB为定值，并求出这个定值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，以及，设椭圆方程为，将点的坐标代入得c，然后求解椭圆方程，求出抛物线方程，设直线MN：y=kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线方程得x2﹣4kx﹣4=0，利用韦达定理结合函数的导数求解直线的斜率，直线方程，求出点Q的横坐标是，点Q的纵坐标，然后求解点Q的轨迹方程．（Ⅱ）①当两切线的之一的斜率不存在时，根据对称性，设点P在第一象限，求解∠APB的大小为定值．②当两条切线的斜率都存在时，即时，设P（x0，y0），切线的斜率为k，则切线方程与椭圆方程联立，利用△=0，切线PA，PB的斜率k1，k2是上述方程的两个实根，通过，求解∠APB的大小为定值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，则，即，则，椭圆方程为，将点的坐标代入得c2=1，故所求的椭圆方程为焦点坐标为（0，±1），故抛物线方程为x2=4y…设直线MN：y=kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线方程得x2﹣4kx﹣4=0，则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，由于，所以，故直线l1的斜率为，l1的方程为，即，同理l2的方程为，令，即，显然x1≠x2，故，即点Q的横坐标是，点Q的纵坐标是，即点Q（2k，﹣1），故点Q的轨迹方程是y=﹣1…（Ⅱ）证明：①当两切线的之一的斜率不存在时，根据对称性，设点P在第一象限，则此时P点横坐标为，代入圆的方程得P点的纵坐标为，此时两条切线方程分别为，此时，若∠APB的大小为定值，则这个定值只能是…②当两条切线的斜率都存在时，即时，设P（x0，y0），切线的斜率为k，则切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），与椭圆方程联立消元得…由于直线y﹣y0=k（x﹣x0）是椭圆的切线，故，整理得…切线PA，PB的斜率k1，k2是上述方程的两个实根，故，…点P在圆x2+y2=5上，故，所以k1k2=﹣1，所以．综上可知：∠APB的大小为定值，得证…【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆以及抛物线的方程的求法，考查转化是以及计算能力．21.（本题满分13分)现有一张长为80cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失。如图，若长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x(cm),高为y(cm),体积为V（cm3）(1)

求出x与y的关系式；(2)

求该铁皮盒体积V的最大值；参考答案：

⑴由题意得，即，．

……………6分

⑵铁皮盒体积，………………10分，令，得，

……………12分因为，，是增函数；，，是减函数，所以，在时取得极大值，也是最大值，其值为．答：该铁皮盒体积的最大值是．

……14分

22.（14分）（2015?青岛一模）已知函数f（x）=（ax2+2x﹣a）ex，g（x）=f（lnx），其中a∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在点M（2，f（2））处的切线过坐标原点，求实数a的值；（Ⅱ）若f（x）在[﹣1，1]上为单调递增函数，求实数a的取值范围．（Ⅲ）当a=0时，对于满足0＜x1＜x2的两个实数x1，x2，若存在x0＞0，使得g′（x0）=成立，试比较x0与x1的大小．参考答案：【考点】：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求出函数的导函数f'（x）=[ax2+2（a+1）x+2﹣a]ex，通过f'（2），求出函数y=f（x）的图象在点M（2，f（2））处的切线方程，通过切线过坐标原点，求出a即可．（Ⅱ）通过f（x）在[﹣1，1]上为单调递增函数，只要f'（x）≥0，构造Γ（x）=ax2+2（a+1）x+2﹣a通过①当a=0时，推出函数f（x）在[﹣1，1]上为单调递增函数．②当a＞0时，Γ（x）=ax2+2（a+1）x+2﹣a，利用二次函数的性质，Γ（x）min=Γ（﹣1）=﹣2a≥0a≤0推出矛盾．③当a＜0时，Γ（x）=ax2+2（a+1）x+2﹣a类比②，得到结果．（Ⅲ）利用，g'（x）=lnx+1．通过导数的几何意义，说明存在x0＞0，使得，然后构造函数，利用新函数的导数，判断函数的单调性，然后推出x0＞x1即可．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵f（x）=（ax2+2x﹣a）ex，∴f'（x）=[ax2+2（a+1）x+2﹣a]ex则f'（2）=（7a+6）e2，f（2）=（3a+4）e2∴函数y=f（x）的图象在点M（2，f（2））处的切线为：y﹣f（2）=（7a+6）e2（x﹣2）∵切线过坐标原点，0﹣f（2）=（7a+6）e2（0﹣2），即（3a+4）e2=2（7a+6）e2，∴…（3分）（Ⅱ）f'（x）=[ax2+2（a+1）x+2﹣a]ex要使f（x）在[﹣1，1]上为单调递增函