山东省烟台市龙口第二中学2023年高三数学文下学期期末试卷含解析

山东省烟台市龙口第二中学2023年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（

）A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、充分必要条件

D、既不充分也不必要条件参考答案：B略2.已知函数是定义在实数集R上的奇函数，且当（其中是的导函数），设，则a，b，c的大小关系是（

）A. B.

C.

D.参考答案：C略3.i是虚数单位，=（）A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．﹣1+2i参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．【解答】解：，故选D．【点评】本小题考查复数代数形式的乘除运算，基础题．4.若函数f（x）=（x2﹣cx+5）ex在区间[，4]上单调递增，则实数c的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，4] C．（﹣∞，8] D．[﹣2，4]参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】转化思想；函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：若函数f（x）=（x2﹣cx+5）ex在区间[，4]上单调递增，则f′（x）=[x2+（2﹣c）x+（5﹣c）]ex≥0在区间[，4]上恒成立，即c≤在区间[，4]上恒成立，令g（x）=，利用导数法求出函数的最小值，可得答案．解：若函数f（x）=（x2﹣cx+5）ex在区间[，4]上单调递增，则f′（x）=[x2+（2﹣c）x+（5﹣c）]ex≥0在区间[，4]上恒成立，即x2+（2﹣c）x+（5﹣c）≥0在区间[，4]上恒成立，即c≤在区间[，4]上恒成立，令g（x）=，则g′（x）=，令g′（x）=0，则x=1，或﹣3，当x∈[，1）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；当x∈（1，4]时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；故当x=1时，g（x）取最小值4，故c∈（﹣∞，4]，故选：B【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值，恒成立问题，难度中档．5.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D6.已知是定义在上的可导函数，若在上有恒成立，且为自然对数的底数），则下列结论正确的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C设，则.∵在R上有恒成立∴在R上恒成立，即在R上为减函数.∴∵∴，故A，B不正确.∵∴故选C.7.欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是：A．

B．

C．

D．参考答案：D8.点在同一个球面上，，，若球的表面积为，则四面体体积最大值为（

）A．

B．

C.

D．2参考答案：C9.已知函数y=f（x），x∈R是奇函数，其部分图象如图所示，则在（﹣1，0）上与函数f（x）的单调性相同的是（）A． B．y=log2|x|C． D．y=cos（2x）参考答案：D【考点】函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质分析可得y=f（x）在（﹣1，0）上单调递增，据此依次分析选项中函数在区间（﹣1，0）上的单调性，即可得答案．【解答】解：根据图象可以判断出（0，1）单调递增，又由函数y=f（x）（x∈R）是奇函数，则函数y=f（x）在（﹣1，0）上单调递增，依次分析选项：对于A、对于y=x+，y′=1﹣=，当﹣1＜x＜0时，y′＜0，则f（x）在（﹣1，0）是减函数，不符合题意，对于B、当﹣1＜x＜0时，y=log2|x|=log2（﹣x），令t=﹣x，则y=log2t，t=﹣x在（﹣1，0）为减函数，而y=log2t为增函数，则y=log2|x|在（﹣1，0）是减函数，不符合题意，对于C、当﹣1＜x＜0时，y=e﹣x=（）x，而0＜＜1，则y=e﹣x在（﹣1，0）为减函数，不符合题意，对于D、y=cos（2x），当﹣1＜x＜0，则有﹣2＜2x＜0，y=cos（2x）为增函数，符合题意；故选：D．10.如图为函数（其中）的部分图象，其中两点之间的距离为，那么A．

B．

C． D．1参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.以正四面体ABCD各棱中点为顶点的几何体的体积与该正四面体的体积之比为

参考答案：略12.函数f（x）=sinxcosx的最小正周期是．参考答案：π考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据二倍角的正弦公式，化简可得f（x）=sin2x，再由三角函数的周期公式即可算出函数f（x）的最小正周期．解答：解：∵sin2x=2sinxcosx∴f（x）=sinxcosx=sin2x，因此，函数f（x）的最小正周期T==π故答案为：π点评：本题给出三角函数式，求函数的周期，着重考查了二倍角的三角函数公式、三角函数的图象与性质和三角函数周期的求法等知识，属于基础题．13.已知定义在上的偶函数满足：，且当时，单调递减，给出以下四个命题：①；②为函数图象的一条对称轴；③函数在单调递增；④若方程在上的两根为,则．上述命题中所有正确命题的序号为___________．参考答案：略14.我们知道：“过圆为的圆外一点作它的两条切线、，其中、为切点，则．”这个性质可以推广到所有圆锥曲线，请你写出其中一个：参考答案：答案：①过抛物线（）外一点作抛物线的两条切线、（、为切点），若为抛物线的焦点，则．（如果学生写出的是抛物线的其它方程，只要正确就给满分）②过椭圆（）外一点作椭圆的两条切线、（、为切点），若为椭圆的一个焦点，则．（如果学生写出的是椭圆的其它方程，只要正确就给满分）③过双曲线（）外（两支之间）一点（不在渐近线上）作双曲线的两条切线、（、为切点），设为双曲线的一个焦点．⑴若、在同一支，则；⑵若、不在同一支，则平分的邻补角．（如果学生写出的是双曲线的其它方程，只要正确就给满分）15.若（a﹣2i）i=b+i（a，b∈R），则=．参考答案：2考点： 复数代数形式的乘除运算．专题： 数系的扩充和复数．分析： 由复数的运算和复数相等可得a和b的方程组，解方程组可得答案．解答： 解：∵（a﹣2i）i=b+i，∴2+ai=b+i，∴，∴=2故答案为：2点评： 本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数相等，属基础题．16.已知函数，若，且，则

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．参考答案：2略17.设分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点，且在第一象限，若为等边三角形，则双曲线的实轴长为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数为定义在上的奇函数，且当时，.（1）求的解析式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.参考答案：【知识点】奇偶性与单调性的综合

B3,B4【答案解析】(1)f（x）=．(2)（1，3]．解析：解：（Ⅰ）设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）=﹣（﹣x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x．又f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）且f（0）=0．于是x＜0时f（x）=x2+2x．所以f（x）=．（Ⅱ）作出函数f（x）=的图象如图：则由图象可知函数的单调递增区间为[﹣1，1]要使f（x）在[﹣1，a﹣2]上单调递增，（画出图象得2分）结合f（x）的图象知，所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]．【思路点拨】Ⅰ）根据函数奇偶性的对称性，即可求函数f（x）在R上的解析式；（Ⅱ）根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合即可求出a的取值范围19.（本小题满分13分）已知数列的前项和，

（1）求数列的通项；

（2）求数列的前项和；

参考答案：（1）当经验证，（2）20.设数列，，，已知，，，，，（）．（1）求数列的通项公式；（2）求证：对任意，为定值；（3）设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围．参考答案：（1）因为，，所以（），

………（１分）所以，，，………………（2分）即数列是首项为，公比为的等比数列，所以．

…………………（4分）（2）解：，

…………………（6分）所以，………………（8分）而，所以由上述递推关系可得，当时，恒成立，即恒为定值．……………………（10分）（3）由（1）、（2）知，所以，…（12分）所以，所以，

由得，因为，所以，………………（14分）当为奇数时，随的增大而递增，且，当为偶数时，随的增大而递减，且，所以，的最大值为，的最小值为．

由，得，解得．所以，所求实数的取值范围是．……（16分）21.已知函数，.（1）若函数在处的切线与直线平行，求实数n的值；（2）试讨论函数在区间[1,+∞)上最大值；（3）若时，函数恰有两个零点，求证：.参考答案：（1）由，，由于函数在处的切线与直线平行，故，解得.（2），由时，；时，，所以①当时，在上单调递减，故在上的最大值为；②当，在上单调递增，在上单调递减，故在上的最大值为；（3）若时，函数恰有两个零点，则，可得.于是.令，则，于是，∴，记函数，因，∴在递增，∵，∴，又，，故成立.22.若函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x+m在区间[0，]的最大值为6．（1）求常数m的值；（2）求函数当x∈R时的最小值，并求出相应的x的取值集合；（3）求该函数x∈[0，π]的单调增区间．参考答案：解：（1）∵函数f（x）在区间上为增函数，在区间上为减函数，∴在区间的最大值为=6，∴解得m=3．（2）（x∈R）的最小值为﹣2+4=2．此时x的取值集合由，解得：…（3）函数设z=，函数f（x）=2sinz+4的单调增区间为由，得，设A=[0，π]B={x|}，∴∴，x∈[0，π]的增区间为：．…（13分）考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；三角函数的最值．专题：计算题；函数思想；三角函数的图像与性质．分析：化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，（1）利用已知条件求出相位的范围，然后求解m即可．（2）求出函数的