山东省聊城市翰林中学2021年高三数学理下学期期末试卷含解析

山东省聊城市翰林中学2021年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知曲线在点处的切线经过点，则的值为Ａ.

B.

C.

D.参考答案：B略2.已知双曲线的左右两个焦点分别为F1和F2，若其右支上存在一点P满足，使得△PF1F2的面积为3，则该双曲线的离心率为A. B.

C.2

D.3参考答案：B由双曲线可知，从而.故选B.3.已知是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的正实数的最小值是

A．2

B．

C．4

D．参考答案：B4.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：①当时，；②函数有2个零点；③的解集为；④，都有.其中正确命题的个数是（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B.当时，，故函数在处取到极大值，且当趋近于0时，函数值趋向于-1；当趋近于无穷大时，函数值趋向于0，由奇函数的图像关于图像关于原点对称可作函数的图像：可得函数满足，故有，即④正确.故应选B.考点：1、函数的图像及其性质；2、命题的真假.【方法点睛】本题主要考查了函数的图像及其性质和命题的真假，考查了学生应用知识的能力、知识的迁移能力和作图能力，渗透着数形结合和转化与化归思想，属中档题.其解题过程中最容易出现错误的是：其一是未能正确运用函数的奇偶性求解函数的解析式；其二是不能正确处理函数与方程之间的内在联系；其三是不能正确运用数形结合的思想求解实际问题.5.已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，O为双曲线的中心，P是双曲线的右支上的点，的内切圆的圆心为I，且圆I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的离心率，则（

）A． B．C． D．与关系不确定参考答案：C，内切圆与x轴的切点是A，∵，由圆切线长定理有，设内切圆的圆心横坐标为x，则，即，∴，即A为右顶点，在中，由条件有，在中，有，∴.

6.对任意，则 （

）

A．

B．

C．

D．的大小关系不能确定参考答案：B略7.设为等比数列的前项和，已知,则公比(

).A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.已知，则（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由，可得的值，由可得答案.【详解】解：由=，可得，由，可得，故选D.【点睛】本题主要考查二倍角公式，相对简单.9.函数的定义域是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（）A． B． C． D．2参考答案：A【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由四面体的三视图得该四面体为棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的三棱锥C1﹣BDE，其中E是CD中点，由此能求出该四面体的体积．【解答】解：由四面体的三视图得该四面体为棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的三棱锥C1﹣BDE，其中E是CD中点，△BDE面积，三棱锥C1﹣BDE的高h=CC1=2，∴该四面体的体积：V==．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2－4y=0所截得的弦长为

.参考答案：12.等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则=______．参考答案：设等差数列的首项为，公差为，由题意有，解得，数列的前n项和，裂项可得，所以．

13.已知f（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域是[﹣1，3]．实数a的取值范围记为集合A，g（x）=cos2x+sinx．记g（x）的最大值为g（a）．若g（a）≥b，对任意实数a∈A恒成立，则实数b的取值范围是．参考答案：b≤【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质；集合．【分析】作函数f（x）=x2﹣4x+3的图象，从而可得A=[2，4]；再化简g（x）=﹣（sinx﹣）2+1+，从而可得g（a）=1+，再求g（a）的最小值即可．【解答】解：作函数f（x）=x2﹣4x+3的图象如下，，∵f（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域是[﹣1，3]，∴2≤a≤4，故A=[2，4]；g（x）=cos2x+sinx=1﹣sin2x+sinx=﹣（sinx﹣）2+1+，∵≤≤1，∴g（a）=1+，∵A=[2，4]，∴gmin（a）=1+=，∵g（a）≥b对任意实数a∈A恒成立，∴b≤，故答案为：b≤．【点评】本题考查了二次函数的性质与应用，三角函数的最值的求法，同时考查了恒成立问题．14.（本小题满分12分）在△ABC中，角，，的对边分别为，，，若．（Ⅰ）求证：、、成等差数列；（Ⅱ）若，，求的面积．

参考答案：解：证明：（Ⅰ）证法一：即由正弦定理得：即∴由正弦定理得：整理得：故a、b、c成等差数列．

……6分证法二：∵∴∴整理得：故、、成等差数列．解：（Ⅱ）由，及余弦定理得：∴又由（1）知，代入上式得，解得∴的面积．

……12分略15.下列四个命题中，真命题的序号有

（写出所有真命题的序号）.①将函数y=的图象按向量y=(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y=②圆x2+y2+4x-2y+1=0与直线y=相交，所得弦长为2③若sin(+)=，sin(－)=,则tancot=5④如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分.（16题图）参考答案：答案：③④解析：①错误，得到的图象对应的函数表达式应为y＝|x－2|②错误，圆心坐标为（－2，1），到直线y=的距离为>半径2，故圆与直线相离，

③正确，sin(+)=＝sincos＋cossinsin(－)＝sincos－cossin＝两式相加，得2sincos＝，两式相减，得2cossin＝，故将上两式相除，即得tancot=5④正确，点P到平面AD1的距离就是点P到直线AD的距离，

点P到直线CC1就是点P到点C的距离，由抛物线的定义可知点P的轨迹是抛物线。16.设则等于____________．

参考答案：17.已知则常数=_________.参考答案：1，解得。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E．（1）求证：AB2=DE?BC；（2）若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．参考答案：考点：相似三角形的判定；相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题；证明题．分析：对于（1）求证：AB2=DE?BC，根据题目可以判断出梯形为等腰梯形，故AB=CD，然后根据角的相等证△CDE相似于△BCD，根据相似的性质即可得到答案．对于（2）由BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．根据弦切公式可得PC2=PD?PB，然后根据相似三角形边成比例的性质求出PD和PB代入即可求得答案．解答： 解：（1）∵AD∥BC∴AB=DC，∠EDC=∠BCD，又PC与⊙O相切，∴∠ECD=∠DBC，∴△CDE∽△BCD，∴，∴CD2=DE?BC，即AB2=DE?BC．（2）由（1）知，，∵△PDE∽△PBC，∴．又∵PB﹣PD=9，∴．∴．∴．点评：此题主要考查由相似三角形的性质解三角形的一系列问题，其中应用到弦切公式，题目属于平面几何的问题，涵盖的知识点比较多，有一定的技巧性，属于中档题目．19.已知集合，集合．（1）若，求；（2）若全集U=R，且，求实数的取值范围．参考答案：（1）当时，，∴

．（2），∵，∴当即时，，结合数轴得；当

即时，符合．∴

综上所述，的取值范围．略20.抛物线C：x2=4y，直线l1：y=kx交C于点A，交准线于点M．过点M的直线l2与抛物线C有唯一的公共点B（A，B在对称轴的两侧），且与x轴交于点N．（Ⅰ）求抛物线C的准线方程；（Ⅱ）求S△AOB：S△MON的取值范围．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）根据抛物线的标准方程求出p的值，写出它的准线方程；（Ⅱ）根据直线方程与抛物线的方程求出点A、B、M、N的坐标，表示出△MON与△AOB的面积，求出S△AOB：S△MON的取值范围．解答： 解：（Ⅰ）如图所示，∵抛物线C：x2=4y，∴p=2，∴抛物线的准线方程为y=﹣1；…（Ⅱ）不妨设点A在y轴的左侧，则M（﹣，﹣1），设l2的斜率为m，∴它的直线方程为y+1=m（x+），与抛物线方程联立得，消去y得，x2﹣4mx+4﹣=0，…∴△=16m2﹣4（4﹣）=0，解得=＜0；…∴B（2m，m2），且m＞1；A（4k，4k2），N（﹣，0），ON=|﹣|=m，∴△MON的面积为S△MON=m；…又点B到l1的距离为d=，OA=4|k|，∴△AOB的面积为S△AOB=OA?d=2|k||2km﹣m2|=；…∴S△AOB：S△MON=；令1﹣m2=t，（t＜0），则S△AOB：S△MON=8﹣＞4．…∴S△AOB：S△MON的取值范围是（4，+∞）．点评：本题考查了抛物线的定义与几何性质的应用问题，也考查了直线与抛物线的综合应用问题，考查了点到直线的距离以及求三角形的面积的应用问题，是综合性题目．21.已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立。假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的。（Ⅰ）第一小组做了四次实验，求该小组恰有两次失败的概率；（Ⅱ）第二小组做了四次实验，设实验成功与失败的次数的差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）第三小组进行实验，到成功了四次为止，已知在第四次成功之前共有三次失败的前提下，求恰有两次连续失败的概率。参考答案：（Ⅰ）该小组恰有两次失败的概率……………4分（Ⅱ）由题可知X的取值集合为。……………1分则

……………6分故其分布列为X024P

，即所求数学期望为……………8分（Ⅱ）由题可知，在第四次成功之前共有三次失败的前提下共有个基本事件，而满足恰有两次连续失败的基本事件共有个基本事件从而由古典概型可得所求概率为……………4分可以根据实际情况适当赋分。如第一问2分，加重第二问的合理赋分。22.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，已知，，，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设()，且平面与所成的锐二面角的大小为，试求的值.

参考答案：【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定G12G5（Ⅰ）略（Ⅱ）1（Ⅰ）因为侧面,侧面，故,在中,由余弦定理得：，所以，

故,所以,而，平面（Ⅱ）