山东省莱芜市实验中学(老一中)高二数学理期末试卷含解析

山东省莱芜市实验中学(老一中)高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若a，b，c∈R且c﹣a=2，则“2a+b＞1”是“a，b，c这3个数的平均数大于1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用平均数的定义、不等式的性质、简易逻辑的判定方法即可得出结论．【解答】解：若a，b，c这3个数的平均数大于1，则，a+b+a+2＞3，∴2a+b＞1，反之，亦成立，故选：C．2.椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为(

)A．

B．

C．2

D．4参考答案：A3.观察，由归纳推理可得：若定义在R上的函数满足，记为的导函数，则＝（

）A. B.－ C. D.－参考答案：D由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为是偶函数，则是奇函数，所以，应选答案D。

4.事件A，B的概率分别为，且则

（

）

D.以上都不正确参考答案：D5.命题“?x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是（）A．?x∈R，x2+2x+2≤0 B．?x∈R，x2+2x+2≤0C．?x∈R，x2+2x+2＜0 D．?x∈R，x2+2x+2＞0参考答案：B【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定．【解答】解：原命题为：?x∈R，x2+2x+2＞0，∵原命题为全称命题，∴其否定为存在性命题，且不等号须改变，∴原命题的否定为：?x∈R，x2+2x+2≤0．故选：B．6.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(10min)、听广播(8min)几个步骤、从下列选项中选最好的一种算法（）A．S1洗脸刷牙、S2刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播B．刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5

听广播C．刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播D．吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶参考答案：C7.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（

）A.2

B.3

C.5

D.7参考答案：D略8.如果椭圆上一点到焦点的距离等于3，那么点到另一个焦点的距离是（

）A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：D略9.如图,正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面内的投影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角是A.30° B.45° C.60° D.90°参考答案：A【分析】以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法求解．【详解】如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A（a，0，0），B（0，a，0），C（﹣a，0，0），P（0，，），则（2a，0，0），（﹣a，，），（a，a，0），设平面PAC的一个法向量为，则，，∴，可取（0，1，1），∴cos，，∴，＞＝60°，∴直线BC与平面PAC的夹角为90°﹣60°＝30°．故选：A．【点睛】本题考查直线与平面所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．10.若a>b，则下列不等式中正确的是（

）。A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设θ为第二象限角，若，则sinθ+cosθ=

．参考答案：﹣考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．专题：压轴题；三角函数的求值．分析：已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tanθ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinθ与cosθ的值，即可求出sinθ+cosθ的值．解答： 解：∵tan（θ+）==，∴tanθ=﹣，而cos2θ==，∵θ为第二象限角，∴cosθ=﹣=﹣，sinθ==，则sinθ+cosθ=﹣=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．12.如图，函数的图象在点处的切线方程是，则__________．参考答案：0由题意可知，，故．13.已知，则参考答案：-1214.计算的值是_________。参考答案：2

15.已知椭圆：，是椭圆的两个焦点，若点是椭圆上一点，满足，且到直线的距离等于椭圆的短轴长，则椭圆的离心率为

．参考答案：；

略16.给出下列命题：①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．参考答案：①④略17.过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程_____________.参考答案：或略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知复数z=bi（b∈R），是实数，i是虚数单位．（1）求复数z；（2）若复数（m+z）2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．参考答案：略19.已知函数f（x）＝a（x2﹣1）﹣lnx．（1）若y＝f（x）在x＝2处的切线与y垂直，求a的值；（2）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）f（x）的定义域为（0，+∞），令f'（2）＝0，解得a；（2），对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【详解】（1）∵f（x）的定义域为（0，+∞），，∴f'（2）＝0，即．（2）∵，①当a≤0时，f'（x）＜0，∴f（x）在[1，+∞）上单调递减，∴当x＞1时，f（x）＜f（1）＝0矛盾．②当a＞0时，，令f'（x）＞0，得；f'（x）＜0，得．（i）当，即时，时，f'（x）＜0，即f（x）递减，∴f（x）＜f（1）＝0矛盾．（ii）当，即时，x∈[1，+∞）时，f'（x）＞0，即f（x）递增，∴f（x）≥f（1）＝0满足题意．综上：．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线斜率，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．20.新个税法于2019年1月1日进行实施.为了调查国企员工对新个税法的满意程度，研究人员在地各个国企中随机抽取了1000名员工进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中.（1）求a，b的值并估计被调查的员工的满意程度的中位数；（计算结果保留两位小数）（2）若按照分层抽样从[50,60)，[60,70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50,60)的概率.参考答案：（1）见解析（2）【分析】（1）根据频率分布直方图的面积之和为1得到参数值，再由中位数的求法公式得到结果；（2）依题意，知分数在的员工抽取了2人，分数在的员工抽取了6人，列出相应的所有情况，以及至少有1人的分数在的时间个数，根据古典概型的计算公式得到结果.【详解】（1）依题意，，所以.又，所以，.所以中位数为.（2）依题意，知分数在的员工抽取了2人，记为，分数在的员工抽取了6人，记为1，2，3，4，5，6，所以从这8人中随机抽取2人所有的情况为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28种.其中满足条件的为，，，，，，，，，，，，，共13种，设“至少有1人的分数在”的事件为，则.【点睛】这个题目考查了分层抽样的概念，古典概型的公式，对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.21.已知函数f（x）=x3+ax2+bx在x=﹣与x=1处都取得极值．（1）求a，b的值；（2）求曲线y=f（x）在x=2处的切线方程．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a，b的关系式，解方程组即可，（2）求出切点坐标，利用导数几何意义求出切线斜率k，即可求解切线方程【解答】解：（1）f（x）=x3+ax2+bx，f′（x）=3x2+2ax+b，由f′（）=﹣a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0，得a=﹣，b=﹣2，经检验，a=﹣，b=﹣2符合题意；（2）由（1）得f′（x）=3x2﹣x﹣2，曲线y=f（x）在x=2处的切线方程斜率k=f′（2）=8，又∵f（2）=2，∴曲线y=f（x）在x=2处的切线方程为y﹣2=8（x﹣2），即8x﹣y﹣14=0为所求．22.（本小题满分12分）设函数

(Ⅰ)当时，求函数的极值；（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.（Ⅲ）若对任意及任意，恒有

成立，求实数的取值范围.参考答案：解：(Ⅰ)函数的定义域为.

当时，令得.

当时，当时，

无极