第7章-离散余弦变换

7.3频域变换的一般表达式7.3.1可分离变换

二维傅立叶变换可用通用的关系式来表示：

式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1；g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分别称为正向变换核和反向变换核。

如果

g(x,y,u,v)=g1(x,u)g2（y,v）

h(x,y,u,v)=h1(x,u)h2(y,v)

则称正、反变换核是可分离的。进一步，如果g1和g2，h1和h2在函数形式上一样，则称该变换核是对称的。

7.3.2图像变换的矩阵表示

数字图像都是实数矩阵，设f(x,y)为M×N的图像灰度矩阵，通常为了分析、推导方便，可将可分离变换写成矩阵的形式：F=PfQ

f=P-1FQ-1其中，F、f是二维M×N的矩阵；P是M×M矩阵；Q是N×N矩阵。

式中，u=0,1,2,…,M－1，v=0,1,2,…,N－1。对二维离散傅立叶变换，则有

实践中，除了DFT变换之外，还采用许多其他的正交变换。例如：离散余弦变换、沃尔什-哈达玛变换、K-L变换等。

7.4离散余弦变换（DCT）

离散余弦变换（DiscreteCosineTransform，DCT）是可分离的变换，其变换核为余弦函数。DCT除了具有一般的正交变换性质外，它的变换阵的基向量能很好地描述人类语音信号和图像信号的相关特征。因此，在对语音信号、图像信号的变换中，DCT变换被认为是一种准最佳变换。

7.4.1一维离散余弦变换定义

一维DCT的变换核定义为(x,u=0,1,2,…,N－1)

一维DCT定义如下：设{f(x)|x=0,1,…,N-1}为离散的信号列。(u,x=0,1,2,…,N－1)将变换式展开整理后，可以写成矩阵的形式，即F=Gf其中

一维DCT的逆变换IDCT定义为：

式中，

x,u=0,1,2,…,N－1。7.4.2二维离散余弦变换二维DCT正变换核为式中，x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。二维DCT定义如下：设f(x,y)为M×N的数字图像矩阵，则式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。二维DCT逆变换定义如下：

式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。

通常根据可分离性，二维DCT可用两次一维DCT来完成，其算法流程与DFT类似，即7.4.3离散余弦变换的计算

离散余弦变换的计算量相当大，在实用中非常不方便，也需要研究相应的快速算法。目前已有多种快速DCT（FCT），在此介绍一种由FFT的思路发展起来的FCT。

将f(x)延拓为x=0,1,2,…,N-1x=N，N+1,…,2N-1按照一维DCT的定义，fe(x)的DCT为

式中，Re{·}表示取复数的实部。

由于 为fe(x)的2N点DFT，因此，在作DCT时，可把长度为N的f(x)的长度延拓为2N点的序列fe(x)，然后对fe(x)作DFT，最后取DFT的实部便可得到DCT的结果。同理对于离散余弦逆变换IDCT，可首先将F(u)延拓为u=0,1,2,…,N-1u=N,N+1,…,2N-1

由上式可得，DCT的IDCT为可见，IDCT可由 的2N点的IDFT来实现。

DFT和DCT的频谱分布（a）DFT频谱分布；（b）DCT频谱分布

细节较少图片的傅立叶变换和离散余弦变换细节中等图片的傅立叶变换和离散余弦变换细节较多图片的傅立叶变换和离散余弦变化7.4.3离散余弦变换的应用实例一、DCT在JPEG压缩编码中的应用JPEG(JointPhotographicExpertsGroup)专家组开发了两种基本的压缩算法，一种是采用以离散余弦变换(DCT)为基础的有损压缩算法，另一种是采用以预测技术为基础的无损压缩算法。使用有损压缩算法时，在压缩比为25:1的情况下，压缩后还原得到的图像与原始图像相比较，非图像专家难于找出它们之间的区别，因此得到了广泛的应用。JPEG压缩编码的算法框架图：

JPEG算法处理的彩色图像是单独的彩色分量图像，因此它可以压缩来自不同彩色空间的数据。

JPEG算法的主要计算步骤正向离散余弦变换(FDCT)。量化(quantization)。Z字形编码(zigzagscan)。使用差分脉冲编码调制(differentialpulsecodemodulation，DPCM)对直流系数(DC)进行编码。使用行程长度编码(run-lengthencoding，RLE)对交流系数(AC)进行编码。熵编码(entropycoding)。1.正向离散余弦变换2.量化量化是对经过FDCT变换后的频率系数进行量化。量化的目的是减小非“0”系数的幅度以及增加“0”值系数的数目。（a）亮度量化值表（b）色度量化值表3.Z字形编排量化后的系数要重新编排，把一个8×8的矩阵变成一个1×64的矢量，频率较低的系数放在矢量的顶部。量化DCT系数的编排4.直流系数（Directcurrent）的编码使用差分脉冲调制编码(DPCM)技术，对相邻图像块之间量化DC系数的差值(Delta)进行编码。

Delta＝DC(0,0)k-DC(0,0)k-1

5.交流系数（AlternatingCurrent）的编码量化AC系数的特点是1×64矢量中包含有许多“0”系数，并且许多“0”是连续的，因此使用非常简单和直观的游程长度编码(RLE)对它们进行编码。6.熵编码使用熵编码还可以对DPCM编码后的直流DC系数和RLE编码后的交流AC系数作进一步的压缩。源图像样本正向DCT系数量化表规格化量化系数量化表规格化量化系数逆量化后的系数重构图像样本二、DCT在数字水印（digitalwatermarking）技术中的应用数字水印技术是将特定的信息嵌入到数字信息的内容中,要求嵌入的信息不能被轻易的去除,在一定的条件下可以被提取出来,以确认作者的版权。原始图像原始水印图像嵌入水印图像恢复水印图像原始图像水印图像DCT变换DCT变换DCT系数组合反DCT变换含水印的图像基于DCT算法的数字水印产生原理待测图像原始图像水印提取提取的水印水印检测水印嵌入框图水印检测框图算法实现过程为：（1）计算图像和水印的离散余弦变换(DCT)。（2）将水印叠加到DCT域中幅值最大的前ｋ系数上(不包括直流分量)，通常为图像的低频分量。若DCT系数的前ｋ个最大分量表示为Pi

={di}，i=1，…，ｋ，水印信息为Wi

={wi}，i=1，…，ｋ