第十三章(3)电容能量

§13.3电容器及电容一、孤立导体的电容电容只与导体的几何因素（及周围介质）有关，反映导体带电多少的本领——固有的容电本领定义——孤立导体的电容孤立导体的电势与带电量成正比；孤立导体的电势与形状和大小有关。孤立导体的电势***

真空中孤立导体球的电容***

设导体球半径为R，带电为Q。电势为：电容为：孤立导体圆盘R电势：电容：二、电容器的电容电容器：由两个用电介质隔开的金属导体组成，用以储藏电荷或电能的装置。**几种常见电容器**球形电容器平板电容器d柱形电容器基本单元：两导体组（A、B）电容器定义：电容器电容只与导体组的几何构形（及周围空间介质）有关，与带电多少无关——固有的容电本领电容器是重要的电子电路元件，其电容是反映其性能的基本参数三、电容器电容的计算1、平板电容器+++++-----dBA-+ES设电容器带电Q，求两个极板的电势差VAB，按定义求C。高斯定理电容：电容正比于极板面积，反比于极板间距；与极板间介质性质有关。2、柱形电容器设内、外筒均匀带电量

Ql高斯定理，3、球形电容器电容RARB--------++++++++高斯定理单位长度的电容解设两金属线的电荷线密度为【补充例】两半径为的平行长直导线中心间距为，且,求单位长度的电容。dd120rBCA+++++σ+σ

【补充例*】一平行板电容器，其中填充了一层介质，尺寸如图，介质的相对介电常数为r

。

求此电容器之电容。S解：Sdd12rBCA+++++σ+σ【补充例】在带电±0的平行板电容器中插入一电介质板，电介质板充满半个电容器，求电容。解：前面已经求得推广：电介质板放在电容器中间,长度为。前面已经求得C与电介质的放入位置有关。【补充例】平行板空气电容器的面积为S，极板间距为d，今以厚度为d’的等面积铜板置于电极之间。求电容。解：两个极板分别带电为Q及-Q,SABdd’Q-QQ-Q插入铜板后，由于导体内的电场为0，铜板的两面分别带电为Q及-Q。使用高斯定理求得铜板与两个极板之间的电场强度为设：铜板的两个面与相邻的极板间距分别为d1、d2因此两个极板之间的电势差为SABdd’Q-QQ-QSABQ-QQ-Q推广：放入多个铜板QQQ-Q-Q四、电容器的连接一般的电容器或导体组可看成多个由两个导体组成的基本电容器以某种方式连接而成基本连接方式：1、串联串联时各电容器带电量相同，故串联电容器上的带电量就是任一电容器所带电量。串联电容器两端电压等于各电容器两端电压之和。串联和并联【补充例*】平行板空气电容器的面积为S，极板间距为d，今以厚度为d’的等面积铜板置于电极之间。求电容。解：SBAdd’q-q应用高斯定理-qq两个极板分别带电为q及-q,插入铜板后，由于导体内的电场为0，铜板的两面分别带电为q及-q。可以看作两个电容器C1、C2串联。设：铜板的两个面与相邻的极板间距分别为d1、d2SBAdd’q-q-qq平行板电容器电容：电容正比于极板面积，反比于极板间距；与极板间介质性质有关。C与铜板的放入位置无关。SBA-qq-q推广：放入多个铜板qqq-q-q可以看作n个电容器C1、C2、

…、

Cn串联。并联时各电容器两端电压均相等，并联电容器上的带电量就是各电容器所带电量之和。2、并联【补充例*】在带电±0的平行板电容器中插入一电介质板，电介质板充满半个电容器，求电容。解：平行板电容器是由两部分组成的，每一部分可以看成一个小平行板电容器，由于每一部分上的电荷不同，但两端电压相同，所以平行板电容器可以看成两个小平行板电容器的并联。平行板电容器：电容正比于极板面积，反比于极板间距；与极板间介质性质有关。推广:在极板面积为S、极板间距为d的平行板电容器中插入一面积为、厚度为d的电介质板，求电容。解：平行板电容器是由三部分组成的，每一部分可以看成一个小平行板电容器，由于每一部分上的电荷不同，但两端电压相同，所以平行板电容器可以看成三个小平行板电容器的并联。平行板电容器电容：C与电介质的放入位置有关。C1和C2两空气电容器并联后接电源充电。在电源保持联接的情况下，在C1中插入一电介质板，则（）C1极板上电量增加，C2极板上电量减少。(B)

C1极板上电量减少，C2极板上电量增加。

(C)

C1极板上电量增加，

C2极板上电量不变。

(D)

C1极板上电量减少，C2极板上电量不变。C1C2ε课堂练习C1C2ε解：

U1=U2=不变在C1中插入一电介质板后，

C2不变

Q2不变选(C).思考若充电后电源断开，在C1中插入电介质板，情况？

Q1+Q2

不变

且U1=U2C2不变两个电容器1和2，串联后接上电动势恒定的电源充电。在电源保持联接的情况下，若把电介质充入电容器2中，则电容器1上的电势差_______；电容器1极板上的电量______。（填增大、减小、不变）课堂练习C1C2ε++--Q2Q1

U2

U1C1C2ε++--Q2Q1

U2

U1解：在C2中充入电介质后，

C1不变，

势能复习§13.4

静电场的能量保守力作功只与质点的始、末位置有关，而功是能量增量的量度。保守力对质点作的功等于质点相关势能增量的负值。由上面的讨论可知，万有引力、重力、弹性力为保守力，可以引入相应的势能。显然，在保守力场中，质点在始、末两个不同的位置上具有不同的能量，也就是说，保守力场中的物体储藏着一种能量，这种能量是位置的函数。我们将这种与位置有关的能量称为势能（或称位能），用Ep表示。说明(1)只有以保守力相互作用的系统才能引入势能。(2)势能不属于一个质点或物体，势能属于以保守力相互作用的整个系统。势能是一种相互作用能。(3)势能具有相对意义。要确定系统在任意位置的势能，必须选定势能零点。上式表示，系统在位置a的势能等于系统从该位置移到势能零点时保守力所作的功。这就是计算势能的方法。原则上，势能零点的位置可以任意选择。一、带电体系的静电能势能不属于一个质点或物体，势能属于以保守力相互作用的整个系统。势能是一种相互作用能。势能具有相对意义。要确定系统在任意位置的势能，必须选定势能零点。若点电荷q0处于q的电场中，则相互作用电势能为：若点电荷q0处于q的电场中，则相互作用电势能为：选定无穷远为势能零点二、点电荷系的静电能两个点电荷的情形：q1q2n个点电荷系统的静电能：其中，Vi为除qi外其余点电荷在qi

处产生的电势之和。连续带电体的静电能dq体状带电体：面状带电体：线状带电体：式中V

表示电荷元处的电势，原则上不包括该电荷元的贡献。但由于电荷元的贡献为一无穷小量，其中的差别可以忽略。【例13-7】计算半径为R、总电量为Q的均匀带电球面的静电能（球面外为真空）。解：方法一：利用电势计算对于均匀带电球面，球面上任一点的电势为，则有第一次移dq到球面上的过程外力不做功，但从第二次起，外力均要做功。方法二：利用定义计算再移dq到导体球面上外力则须做功故有把Q看成各个dq先后从无穷远处移到球面的过程的集合。由于在该过程中电场力作功与过程无关，因此可以假设被移到导体球面上的电荷总是均匀分布的。当球面上移入电量为q时，球面上电势为R2R1【例题13-8】球形电容器带电±q，内外半径分别为R1和R2，极板间充满介电常数为

的电介质。计算该带电体系的静电能。解:利用高斯定理，得r为场点到球心的距离所以R2R1则外极板上的电势V2=0，而内极板上的电势V1为取无穷远点为电势零点三、带电电容器的静电能则带电Q的电容器的总静电能为设电容器两极板A、B分别带电+Q和-Q，其电势分别为V+和V-，则极板间电势差为此即极板间电压四、静电场的能量，能量密度（启发性推导）能量密度对非均匀电场亦成立以平板电容器为例考虑：略去极板边缘效应+++++-----dBA-Q+QSR2R1【例13-9】球形电容器带电q，内外半径分别为R1和R2，极板间充满介电常数为

的电介质。计算静电场的能量。解：依题意，由高斯定理，空间中的静电场分布为方向沿电容器的半径方向则空间中任一点的电场能量密度为其他区域为零空间中静电场能量的分布具有球对称性与电容器同心的半径为r厚为dr的球壳中的静电场能量为故空间中的静电场能量为R2R1rdr【例13-10】求均匀带电Q、半径为R的球体对应的静电场能。[解法一]按照静电能公式求得球内场强：同理可得球外场强：由高斯定理，有：RQr方向沿带电球体的半径方向球内一点电势：取无穷远处电势为零球外一点的电势则所求静电能为RQdt[解法二]按照静电场能量密度公式求RQdt【补充例】把一相对介电常数为r的电介质球壳套在一半径为a的金属球外，金属球带电q，比较无介质和有介质两种情况下静电能的变化。解法1:介质不存在时，导体内电场强度为零，空间其他各点的电场强度为电场的总能量放入介质后导体内电场强度仍为零，空间各点的电场解法2:放入介质球壳前后，电势分别为V和V′，于是有【补充例】平行平板空气电容器，面积S，间距d，用电源充电后，两极板带电分别为±Q，断开电源，左板固定，将右板向外移动，使两板间距增大为2d，求此过程中外力做的功。外力克服吸引力做功，使电容器储存的能量增大dd+Q-QF解：初态：末态：dd+Q-QF初态：外力做的功末态：【补充例*】平行板空气电容器的面积为S，极板间距为d，今以厚度为2d/3的等面积铜板置于电极之间。然后对两极板充电至电压为U，断开电源后，再将铜板抽出。问：外界（指非静电力）需作多少功？SABd初态SABd末态SABd初态解：插入铜板后，可以看作两个电容器C1、C2串联。设：铜板的两个面与相邻的极板间距分别为d1、d2则充电后能量SABd初态初态充电后带电SABd末态末态断开电源后，再将铜板抽出：外界作功：【补充例】在下图的两种情况，计算抽掉电介质，外力做功。dSF-Q+Q解：（1）有介质时，静电场能量：抽出介质之后，静电场能量：外力做功等于静电场能量的改变量：dsFU（2）

有介质时，静电场能量：抽出介质之后，静电场能量外力做功等于静电场能量的改变量：1.掌握导体静电平衡条件,并能用来确定典型导体的电荷分布。3.掌握导体电容的物理意义,掌握电容器电容的定义和计算方法。2.了解电介质的静电性质,能熟练运用有介质时的高斯定理计算自由电荷对称分布时的电场强度。4.理解静电场储能的概念,掌握电容器储能和由电场能量密度计算某些对称分布电场的能量。本章教学要求

1.导体静电平衡的条件(1)用电场强度描述(2)用电势描述:整个导体是等势体