第四章 电子的自旋

第四章碱金属原子§4.1原子中电子轨道运动的磁矩§4.2斯特恩—盖拉赫实验§4.3电子的自旋假设§4.4碱金属双线§4.5塞曼效应教学要求（1）掌握电子自旋、单价电子总角动量的合成方法和描述电子量子态的四个量子数。（2）掌握造成碱金属原子能级精细结构的原因，能写出电子自旋与轨道的相互作用能的表达式。（3）掌握单电子跃迁选择定则，并能画出碱金属原子精细能级跃迁图，解释碱金属原子精细光谱的形成，写出用光谱项符号表示的谱线的公式。（4）掌握氢原子能级的狄拉克公式和光谱的精细结构；了解氢原子能谱的研究进展重点电子自旋单电子角动量的合成四个量子数、单电子跃迁选择定则原子光谱的精细结构难点单电子角动量的合成电子自旋与轨道运动的相互作用碱金属原子光谱精细结构分析氢原子光谱精细结构分析

一、电磁学知识1．电偶极矩(1)均匀电场中：

§4.1原子中电子轨道运动的磁矩(2)非均匀电场中：电场强度沿

轴，随

的变化为)

合力

：

在外场方向的投影2．磁矩

方向与方向满足右手螺旋关系。

均匀磁场中：非均匀磁场中：

磁场方向沿

轴，随

的变化为合力：在外场方向的投影

θ是磁矩与磁场方向的夹角，μz是磁矩在磁场方向的分量。当θ<90°有F>0，即力是沿着磁场方向的；当θ>90°，F<0，即力是逆着磁场方向的

附：3．力和力矩力是引起动量变化的原因：力矩是引起角动量变化的原因：二、电子轨道运动的磁矩

电子轨道运动的闭合电流为：“-”表示电流方向与电子运动方向相反

面积：一个周期扫过的面积：

是量子化的

量子化的。

玻尔磁子

空间取向量子化

目的：证明原子在外磁场中具有空间量子化

特征。

原理：磁矩为的小磁体（或线圈），在非

均匀磁场中受到的合力不为零：

§4.2斯特恩---盖拉赫实验无磁场有磁场NS史特恩—盖拉赫实验的仪器示意图pc）os1s2sNa)pA´cANb)s史特恩—盖拉赫实验演示图

磁矩在非均匀磁场B中如同电偶极子在非均匀电场中一样，质心会受力作用产生运动，如沿z方向磁场不均匀，则有

原子进入非均匀磁场l中，沿x方向不受力,作匀速运动。x＝v0t。沿Z方向作匀加速运动：在x＝l1处原子不受力，作自由运动。经l后沿Z偏移为在l段原子沿Z总位移

原子蒸气被送入不均匀磁场后，发射的原子束将分裂为多束。这证明了原子磁矩μz

的空间量子化行为。但实验发现H（基态）原子（T=7×104K,kT=9.0eV<10.2eV）进入史特恩－盖拉赫装置后分裂为两束；基态氧原子分裂为五束，汞原子束不分裂。

按照H原子理论，基态H是1s，l＝0，m＝0,μz

＝0,不受力，不会分裂为二。实验发现如何解释这一矛盾呢？量子力学与实验的比较轨道角动量：外场方向投影：

共

个轨道磁矩：外场方向投影：共

个奇数，但实验结果是偶数。施特恩和盖拉赫实验证明了原子具有磁矩，的数值和取向是量子化的，同时也证明了的空间取向也是量子化的。

史特恩-盖拉赫实验中出现偶数分裂的事实启示人们，电子的轨道运动似乎不是全部的运动。换句话说，

轨道磁矩应该只是原子总磁矩的一部分，那另一部分的运动是什么呢？相应的磁矩又是什么呢？

1925年，两位荷兰学生乌仑贝克与古兹米特根据史特恩-盖拉赫实验、碱金属光谱的精细结构等许多实验事实，发展了原子的行星模型，提出电子不仅有轨道运动，还有自旋运动，它具有固有的自旋角动量S。

引入了自旋假设以后，人们成功地解释了碱金属的精细结构，塞曼效应以及史特恩-盖拉赫实验等。

§4.3电子自旋的假设电子自旋运动的量子化角动量为自旋角动量s必然伴随有自旋磁矩一、电子自旋

1925年，年龄不到25岁的两位荷兰学生乌仑贝克和古兹米特根据大量的实验事实，提出一个极大胆的假设，电子不仅有轨道运动，还有自旋运动，它具有固有的自旋角动量S，具体内容是：

类似地如果只考虑轨道角动量轨道gl＝1，轨道磁矩为如果只考虑自旋角动量gs＝2，上式可改为二、朗德g因子其中和分别是轨道和自旋g因子glgs电子的自旋运动绝不是机械的自转，它是相对论效应。引入g因子之后，任意角动量对应的磁矩可以统一表示为：

量子数j取定后mj=j,j-1,……，-j，共2j+1个值.取j=l,s就可以分别得到轨道和自旋磁矩。在原子内部，有两种角动量必然存在一个总角动量以及相应的磁矩。

分别共线，合成后三、总角动量

电子有轨道角动量l，又有自旋角动量s，所以电子的总角动量是按照量子力学，总角动量大小为它在z方向的投影为电子的运动=轨道运动+自旋运动

这里j是总角动量量子数,按照量子力学角动量耦合理论，量子数j取值为对于单电子s＝1/2,所以例如：当

时，和是有一定的夹角

当

时

，

称

和

“平行”当

时

，称

和

“反平行”四原子的总磁矩和有效磁矩1．原子的总磁矩轨道运动：自旋运动：

原子的磁矩电子的轨道磁矩+电子的自旋磁矩L-S耦合法：总轨道角动量：总轨道磁矩：总自旋角动量：总自旋磁矩：总角动量：总磁矩：可见总磁矩

和总角动量

并不反向。2．原子的有效磁矩

守恒，

绕

旋进，不守恒。将

分解成两个分量：

：与

反平行，沿

的反向沿长线。有效磁矩

：与

垂直，一个周期内的平均值为0。余弦定理：比较：得：

：朗德因子g因子的计算可以求出相应状态的g因子五、施特恩-盖拉赫实验的解释轨道运动：

自旋运动：

：朗德因子具有磁矩的原子在磁场中要受到力和力矩的作用

，共个当时，分裂为两条。六、碱金属原子态符号

2j=+1/2j=-1/20,1,2,3,4,5,

S,P,D,F,G2s+1

L

j

n

由于引入了总角动量，碱金属原子的原子态常用2s+1Lj＝2Lj表示。因电子自旋量子数s＝1/2，所以2s+1=2表示原子态、因而能级的双重性。L是l取值对应的大写英文字母，j是总角动量量子数。如l＝1的P态，对应j＝1＋1/2＝3/2，1－1/2＝1/2，所以l＝1的原子态是双重的：2P3/2，2P1/2。给定了原子态就可以按上式求gj。价电子的状态符号nj0001112231s2p2s3s2p3p3p3d3d碱金属原子态的符号一、精细结构的实验事实二、精细结构的定性解释

§4.4碱金属原子光谱的精细结构一、碱金属光谱的精细结构实验事实

用高分辨光谱仪作实验发现，主线系和锐线系都是双线结构，漫线系和基线系都是三线结构。例如钠的黄色光谱线，就是它的主线系的第一条线，是由波长为5890Å和5896Å的两条分线构成。光谱线的任何分裂都是能级分裂的结果，那么

能级为什么会发生精细分裂呢？

原子中电子和原子核的库仑作用导致了原子内部的粗线条结构。由于带电粒子的运动，它们之间还存在磁相互作用，磁相互作用给出原子的精细结构。量子力学的处理就是将磁场作用能引入薛定谔方程中进行求解。史特恩－盖拉赫实验和碱金属双线结构是磁相互作用的表现。这两个实验使人们认识到电子的自旋运动。碱金属原子三个线系的精细结构示意图主线系第二辅线系第一辅线系线第第第第系四三二一限条条条条推论2；s能级是单层的，所有p,d,f

能

级都是双层的，并且当量子数n

增大时，双层能级间隔减小。推论1；谱线的分裂意味着能级的分裂光谱线的任何分裂都是能级分裂的结果，那么

能级为什么会发生精细分裂呢？二、定性解释1.电子自旋与轨道的相互作用能2.附加光谱项和精细结构裂距3.碱金属原子内部磁场

§4.5电子自旋—轨道相互作用电子在轨道运动中感受到的磁场的示意图B-erZ*em-erZ*eBPS

自旋－轨道作用是原子内部磁相互作用的简称。由于电子有自旋磁矩μs

，在电子为静止的坐标系上，原子实＋Z*e绕电子旋转，并产生磁场B。1.电子自旋与轨道的相互作用能运动等效成一个电流，也可看成原子实绕电子运动，在电子处产生一个磁场，电子的自旋磁矩在这个磁场中将具有势能U，正是这个附加的势能迭加在原来的能级上，使原能级发生了分裂，根据电磁理论,在中的势为下面分别计算和1）:

而故有

的计算2）：由电磁学可知，电流元在r

处的场为

式中表示从源指向场点的位失。

表示原子实对电子的速度

设Z*表示原子实的有效电荷，则原子实Z*e在电子处产生的磁场为

其中设Z*e绕电子一周过程中，r-3平均值是1/r3；这个过程中，是守恒量

所以上式积分后得注意到故有，代入上式得3）之间夹角θ的计算如上一页图所示，所以有其中，4)相互作用能的计算把和三式代入

得到（1）

的修正因子。再注意到：

物理学家托马斯对上式给出一个由量子力学计算可以得到将各量带入作用能公式得（2）其中

相互作用能的表达式，对于给定的l,j有两个可能值：

(2)式就是分别将两个j值代入（2）式即得：

相互作用，除了s态（l=0）外，所有能级都有附加能量，所以新的能级为

设没考虑精细结构时的能级是Enl，由于即Enl能级分为两层：2附加光谱项和精细结构裂距裂开后，两能级之间的能量变为

（1）

代入常数得用波数表示为再由所以原子内部的磁场为对于碱金属原子，最外层的价电子感受的核电荷并不是＋Ze，也不是＋e，而是屏蔽的有效电荷Zeff=Z*。例如对钠3P→3S跃迁时的黄光λ=589.3nm，测得双线Δλ=0.6nm

由Δλ=ΔUλ2/hc

，算得ΔU=2.1*10-3eV利用（5）式可给出

Zeff＝3.543.碱金属原子内部磁场辐射跃迁的选择定则

发出辐射或吸收辐射的跃迁只能在下列条件下发生:4.碱金属光谱的精细结构碱金属光谱的精细结构主线系

锐线系（第二辅线系）

漫线系（第一辅线系）

基线系（柏格曼系）以上是量子力学对碱金属光谱精细结构的理论解释。选择定则双线结构三线结构2P1/22P3/22S1/22P1/22P3/22S1/2双线结构三线结构2P1/22P3/22D3/22D5/22D3/22D5/22F5/22F2/3钠原子讨论：1．能级由

三个量子数决定，当

时，

，能级不分裂；当

时，

，能级分裂为双层。2．能级分裂的间隔由

决定当

一定时，

大，

小，即当

一定时，

大，

小，即3．双层能级中，

值较大的能级较高。4．碱金属原子态符号：

如5．单电子辐射跃迁的选择定则1896年，荷兰物理学家塞曼发现：若把光源放入磁场中，则一条谱线就会分裂成几条，这种现象称为塞曼效应。

§4.5塞曼效应一般情况下，谱线分裂成很多成分。称为反常塞曼效应，也叫复杂塞曼效应。特殊情况下，谱线分裂成三种成分。称为正常塞曼效应，也叫简单塞曼效应。

塞曼效应反映了原子所处状态，从塞曼效应的实验结果可以推断有关能级的分裂情况，是研究原子结构的重要途径之一。本节从研究能级的分裂着手对正、反常塞曼效应进行讨论。前面讨论了自旋磁矩在原子内磁场中的附加能量引起能级第二次分裂，导致光谱精细结构的情况，在原子内，与的合成使得原子有一个总角动量；塞曼效应-磁场中的能级分裂与此对应，原子有一个总磁的有效分量就是上面讨论的；以下记为；原子放入外磁场时，与的作用使原子又获得附加能量，从而导致能级的第三次分裂；分裂层数由附加能量的个数决定；这是产生塞曼效应的本质原因。（取方向为Z轴）下面先讨论这个附加能量。磁矩在外磁场中的势能为因为所以

式中m

和g都与能级有关，对于给定的l,s,j，g同样是确定的。

分裂成2j+1个新能级，我们也常称其为能级的第三次分裂。Mj有2j+1个值（mj=j，j-1，…-j），

即式U=mgμBB

因为m的不同，有2j+1个不同的值原来的一个能级能级的分裂必然导致光谱的分裂，设某条谱线产生与的跃进，加外磁场后，E1，E2分别变为E1′和E2′，即

而故有由上式可见，原来的谱线hv现在变成了hv′，v′的大小和取值个数取决于△（mg），根据g

的不同又分为正常和反常塞曼效应。a.正常塞曼效应当原子的总自旋

时，

，能级分裂：

，共个即只有三条谱线，其能级间隔为

。根据量子力学的计算，选择定则不仅对量子数l，j提出了限制，对m也提出了限制。

M的选择定则是

0正常塞曼效应，产生于S=0,g=1的系统，此时不涉及自旋，所以经典理论就可以对它作出解释。在发现并解释了正常塞曼效应的同时，人们观察到,一般情况下，光谱的分裂数目并不是三个，间隔也不相同。从1897年发现反常塞曼效应，在长达三十年的时间内，人们一直无法解释它，直到电子自旋假设提出后，反常塞曼效应才得到合理的解释。b.反常塞曼效应若加外磁场，则两个能级各附加能量，使能级

发生分裂，所以光谱为：：洛仑兹单位。跃迁选择定则：

(

除外)例讨论Na双线：，；

，在外场中的分裂情况。解：

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，跃迁选择定则：

(

除外)(1)格罗春图：1/2-1/2：1/2-1/2

0,+1,-1

，分为4条。(2)格罗春图：3/21/2-1/2-3/2：1/2-1/2

0,+1,-1

，分为六条。例镉原子的一条谱线(，中发分裂，问(1)原谱线分为几条？(2)相邻谱线的间隔为)在外场多少？(3