第05章 恒定磁场R1

第五章恒定磁场

主要内容磁感应强度，场方程，边界条件。

1.磁感应强度、磁通及磁场线

电荷量q

，运动速度v受到磁场作用力F矢量B称为磁感应强度，单位为T（特斯拉）。

运动电荷受到的磁场力始终与电荷的运动方向垂直，只能改变其运动方向，磁场与运动电荷之间没有能量交换。

FBv零线方向受力为零的方向FBIdl电流元电流元在磁场中的受力方向始终垂直于电流的流动方向。

cdbaFFBS(a)观察距离远大于小电流环的尺寸，这种小电流环又称为磁偶极子。式中为电流环的面积。小环面积很小，环平面内磁场均匀。则ab及cd两条边不受力。电流环受到力矩

TFdcbaFFFBS(b)dcbaFFBBnBtFFS(c)电流环平面与B垂直，各边受力方向指向外侧，相互抵消，电流环受到的力矩为零。

B

分解为Bn

及Bt两个分量。B

与电流环平面的法线方向夹角为

，小环受到的力矩大小为

小电流环的磁矩：力矩又可写为当电流环的磁矩方向与磁感应强度B的方向平行时，受到的力矩为零；当两者垂直时，受到的力矩最大。

I方向与S法线满足右手螺旋关系可以证明，此式适用于任何形状的小电流环。磁场线（磁力线）

矢量方程为

磁通Wb（韦伯）2.真空中的恒定磁场方程式真空中恒定磁场的磁感应强度沿任一闭合曲线的环量等于曲线包围的电流与真空磁导率的乘积。与电流线一样，磁场线也是处处闭合的，没有起点与终点。真空中恒定磁场通过任一闭合面的磁通为零。

安培环路定律真空磁导率(H/m)磁通连续性原理真空中某点恒定磁场的磁感应强度的旋度等于该点的电流密度与真空磁导率的乘积。

真空中恒定磁场方程的微分形式为真空中恒定磁场是有旋无散的。

真空中恒定磁场的磁感应强度的散度处处为零。安培环路定律磁通连续性原理由斯托克斯定理电流强度I与电流密度J

的关系根据安培环路定律求得上式对于任何表面都成立，被积函数应为零，由高斯定理根据磁通连续性原理求得此式处处成立，因此被积函数应为零，即根据亥姆霍兹定理，磁感应强度B应为考虑到真空中恒定磁场方程，得那么

可见，某点磁感应强度B等于该点矢量函数A的旋度，该矢量函数A

称为矢量磁位。

毕奥–沙伐定律体电流经过演算，还可直接建立电流与磁感应强度的关系为线电流面电流电流元：面电流和线电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为例1

计算无限长的，电流为I

的线电流产生的磁感应强度。rozyxdlIr′r-r′e解取圆柱坐标系。磁感应强度B

的方向为e

方向，即对称性，磁场线是以z

轴为圆心的一系列的同心圆。

此式也适用于具有一定截面，电流为I(均匀分布)无限长圆柱导线外的恒定磁场。IB例2

计算半径为a

，电流为I的小电流环产生的磁感应强度。rzyxar'r-r'e''xyOar'''e'-exeye'解mrA(r)xzy3.矢量磁位与标量磁位

矢量磁位与电位不同，它没有任何物理意义，仅是一个计算辅助量。已知，那么求得矢量泊松方程。

前述矢量磁位的积分表达式可以认为是该方程的特解——自由空间中的解。在无源区中，J

=0矢量拉普拉斯方程

磁通表达式为，那么由斯托克斯定理，得由此可见，利用矢量磁位A

计算磁通十分简便。

在无源区中，因J=0，得。令

式中标量m

称为标量磁位。因，由上式得

注意，标量磁位的应用仅限于无源区。拉普拉斯方程4.媒质磁化

电子围绕原子核旋转形成一个闭合的环形电流，这种环形电流相当于一个磁偶极子。电子及原子核本身自旋也相当于形成磁偶极子。媒质合成场Ba+Bs磁化二次场Bs外加场Ba

当外加磁场时，在磁场力的作用下，这些带电粒子的运动方向发生变化，甚至产生新的电流，导致各个磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为零，这种现象称为磁化。

由于热运动的结果，这些磁偶极子的排列方向杂乱无章，合成磁矩为零，对外不显示磁性。磁化结果使媒质中合成磁场可能减弱或增强，而介质极化总是导致合成电场减弱。

根据磁化过程，媒质的磁性能分为抗磁性、顺磁性、铁磁性及亚铁磁性等。

抗磁性。

在正常情况下，原子中的合成磁矩为零。当外加磁场时，电子除了仍然自旋及轨道运动外，轨道还要围绕外加磁场发生运动，这种运动方式称为进动。

电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁场的方向相反，导致媒质中合成磁场减弱。因此，这种磁性能称为抗磁性，如银、铜、铋、锌、铅及汞等。Bt

顺磁性。在正常情况下，合成磁矩不为零。由于热运动结果，宏观的合成磁矩为零。在外加磁场的作用下，除了引起电子进动以外，磁偶极子的磁矩方向朝着外加磁场方向转动。因此，合成磁场增强，这种磁性能称为顺磁性。如铝、锡、镁、钨、铂及钯等。

铁磁性。内部存在“磁畴”，每个“磁畴”中磁矩方向相同，但是各个“磁畴”的磁矩方向杂乱无章，对外不显示磁性。在外磁场作用下，各个“磁畴”方向趋向一致，且畴界面积还会扩大，因而产生很强的磁性。例如铁、钴、镍等。这种铁磁性媒质的磁性能还具有非线性，且存在磁滞及剩磁现象。

亚铁磁性。是一种金属氧化物，磁化现象比铁磁媒质稍弱一些，但剩磁小，且电导率很低，这类媒质称为亚铁磁媒质。例如铁氧体等。由于其电导率很低，高频电磁波可以进入内部，产生一些可贵的特性，使得铁氧体在微波器件中获得广泛的应用。

磁化结果产生了磁矩。为了衡量磁化程度，我们定义单位体积中磁矩的矢量和称为磁化强度，以M表示，即式中为中第i个磁偶极子具有的磁矩。为物理无限小体积。

磁化后，媒质中形成新的电流，这种电流称为磁化电流。形成磁化电流的电子仍然被束缚在原子或分子周围，所以磁化电流又称为束缚电流。磁化电流密度以J'

表示。利用矢量磁位与磁矩的关系，可以导出矢量磁位与磁化强度M

的关系为xPzyrdV'OV'r'r-r'S'第一项为体分布的磁化电流产生的矢量磁位，第二项为面分布的磁化电流产生的矢量磁位，因此两种磁化电流密度与磁化强度的关系为

例

已知半径为a，长度为l的圆柱形磁性材料，沿轴线方向获得均匀磁化。若磁化强度为M，试求位于圆柱轴线上距离远大于圆柱半径P点处由磁化电流产生的磁感应强度。xyzlP(0,0,z)0a解取圆柱坐标系，令z轴与圆柱轴线一致，如图示。

由于是均匀磁化，磁化强度与坐标无关，因此，，即体分布的磁化电流密度为零。

又知表面磁化电流密度式中en

为表面的外法线方向上单位矢。因，所以表面磁化电流密度仅存在于圆柱侧壁，上下端面的磁化电流密度为零。因此xyzlP(0,0,z)zdz'0a显然，这种表面磁化电流在侧壁上形成环形电流。位于z处宽度为dz

的环形电流为(

dz)

，那么该环形电流在轴线上z

处(z>>a)产生的磁感应强度dB

为

那么侧壁上全部磁化电流在轴线上z处产生的合成磁感应强度为5.媒质中的恒定磁场方程式

磁化媒质内部的磁场相当于传导电流I

及磁化电流I

在真空中产生的合成磁场。

磁化媒质中磁感应强度B沿任一闭合曲线的环量为考虑到，求得令H

为磁场强度，其单位是A/m。媒质中安培环路定律媒质中的磁场强度沿任一闭合曲线的环量等于闭合曲线包围的传导电流。利用斯托克斯定理，由上式求得媒质中某点磁场强度的旋度等于该点传导电流密度。

磁化电流并不影响磁场线处处闭合的特性，媒质中磁感应强度通过任一闭合面的通量仍为零，因而磁感应强度的散度仍然处处为零，即媒质中安培环路定律

对于大多数媒质，磁化强度M

与磁场强度

H

成正比，即式中比例常数m

称为磁化率。磁化率可以是正或负实数。

考虑到，则由上式求得

磁导率

但是，无论抗磁性或者顺磁性媒质，其磁化现象均很微弱，因此，可以认为它们的相对磁导率基本上等于1。铁磁性媒质的磁化现象非常显著，其磁导率可以达到很高的数值。抗磁性媒质磁化后使磁场减弱，因此顺磁性媒质磁化后使磁场增强，因此媒质媒质媒质金0.9996铝1.000021

镍

250银0.9998镁1.000012

铁4000铜0.9999钛1.000180磁性合金105

与介质的电性能一样，媒质的磁性能也有均匀与非均匀，线性与非线性、各向同性与各向异性等特点。

若媒质的磁导率不随空间变化，则称为磁性能均匀媒质，反之，则称为磁性能非均匀媒质。若磁导率与外加磁场强度的大小及方向均无关，磁感应强度与磁场强度成正比，则称为磁性能各向同性的线性媒质。磁性能各向异性的媒质，其磁导率具有9个分量，B

与H的关系为磁性能均匀、线性、各向同性的媒质的场方程6.恒定磁场的边界条件

12B2H1B1H2en(1)磁场强度切向分量不连续(2)磁感应强度的法向分量连续当边界上不存在表面电流时，磁场强度的切向分量连续

磁导率为无限大的媒质称为理想导磁体。在理想导磁体中不可能存在磁场强度，否则，由式可见，将需要无限大的磁感应强度。产生无限大的磁感应强度需要无限大的电流，因而需要无限大的能量，显然这是不可能的。

边界上磁场强度的切向分量是连续的，因此，在理想导磁体表面上不可能存在磁场强度的切向分量，即磁场强度必须垂直于理想导磁体表面。H例1

在具有气隙的环形磁芯上紧密绕制N