第一章-矢量分析

电磁场与电磁波ElectromagneticFieldandWave主讲教师：刘明堂联系方式_mail:liumt99@163.com1

教学目的通过对本课程的学习，使学生进一步认识电磁场与电磁波的物理本质和基本规律及其分析方法，培养学生分析和解决电磁问题的能力，为学习相关的专业课程或更深一步研究电磁问题打下一定的基础。本课程是电子信息类专业本科学生重要的专业基础课程之一。2本课程的先修课程和后续课程先修课程

《高等数学》、《大学物理》和一部分电路课程。后续课程电磁场与电磁波是电子信息工程、电子信息科学与技术、通信等专业后续课程，如：《通信原理》

、《无线通信原理与应用》、《现代通信技术》、《微波工程基础》和《微波技术》以及研究生有关的课程如：《高等电磁理论》、《电磁场数值方法》、《电磁场高频方法》和《电磁波传播理论》的重要基础。

3前言电场和磁场

静止电荷产生的场表现为对于带电体有力的作用，这种场称为电场。不随时间变化的电场称为静电场。运动电荷或电流产生的场表现为对于磁铁和载流导体有力的作用，这种物质称为磁场。不随时间变化的磁场称为恒定磁场。4

如果电荷及电流均随时间改变，它们产生的电场及磁场也是随时变化的，时变的电场与时变的磁场可以相互转化，两者不可分割，它们构成统一的时变电磁场。时变电场与时变磁场之间的相互转化作用，在空间形成了电磁波。电磁波5历史的回顾

公元前600年希腊人发现了摩擦后的琥珀能够吸引微小物体；公元前300年我国发现了磁石吸铁的现象；后来，人们发现了地球磁场的存在。1820年丹麦人奥斯特（1777－1851）发现了电流产生的磁场。同年法国科学家安培（1775－1836）计算了两个电流之间的作用力。1831年英国科学家法拉第（1791－1867）发现电磁感应现象，创建了电磁感应定律，说明时变磁场可以产生时变电场。6

1873年英国科学家麦克斯韦（1831－1879）提出了位移电流的假设，认为时变电场可以产生时变磁场，并以严格数学方程描述了电磁场与波应该遵循的统一规律，这就是著名的麦克斯韦方程。重大突破7世界首辆载人高温超导磁悬浮试验车西南交通大学应用超导研究所研制Stable!Stable!磁场力的应

用8B2隐形轰炸机ir反射定律的应用9立体电影

---电磁波极化特性的应用10高频电磁波电子除垢处理系统

11

全球定位系统

GlobalPositioningSystem(GPS)信息载体的应用GPS运行的空间由24颗卫星分布在6个轨道平面中12

当今的无线通信、广播、雷达、遥控遥测、微波遥感、无线因特网、无线局域网、卫星定位以及光纤通信等信息技术都是利用电磁波作为媒介传输信息的。接收机接收天线馈线下行波发射机发射天线馈线导行波13141.掌握宏观电磁场问题的基本求解方法2.了解宏观电磁场的主要应用领域及其原理3.训练分析问题、解决问题、归纳问题的科学方法4.课前预习，上课认真听讲（课堂笔记），及时复习，独立完成作业.

学习的目的、方法及其要求15教材和参考文献教材：《电磁场与电磁波》，谢处方、饶克谨等著，高等教育出版社，2006年1月，第四版。参考书：1．《ElectromagneticFieldTheoryFundamentals》，BhagSinghGuruet.al编著，PWSPublishingCompany&机械工业出版社，2003年。2．《工程电磁场基础》，J.A.埃德米尼斯特尔编著，科学出版社,2003年。3．《ElectromagneticWaves》，D.H.Staelin,A.Morgenthaler,J.A.Kong编著，PrenticeHall,1998年。4．《电磁场与电磁波：典型题解析及自测试题》，赵家升主编，西北工业大学出版社，2002年。5．《电磁场与电磁波》，杨儒贵，高等教育出版社，2003年。16成绩考核依据、评定方式方法及权重分配

本课程是理论性很强的一门课程，同时也是很抽象性的一门课程。因此，本课程成绩考核主要依据理论知识的考核，以及参考平时测验的成绩，同时辅以平时考勤和作业，权重分配如下：卷面（60%）+平时测验（30%）+平时考勤与作业（10%）17第一章矢量分析18本章内容1.1矢量代数1.2三种常用的正交曲线坐标系1.3

标量场的梯度1.4

矢量场的通量与散度1.5

矢量场的环流和旋度1.6

无旋场与无散场1.7

拉普拉斯运算与格林定理1.8

亥姆霍兹定理191.标量和矢量矢量的单位矢量：标量：一个只用大小描述的物理量。1.1矢量代数矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。

矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示

注意：单位矢量不一定是常矢量。

矢量的几何表示常矢量：大小和方向均不变的矢量。

20矢量用坐标分量表示zxy21（1）矢量的加减法两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律2.矢量的代数运算在直角坐标系中两矢量的加法和减法：22（2）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）两矢量的标量积也称为点积(本书称为标积)。定义一个矢量在另一矢量上的投影与另一矢量模的乘积，结果为标量。AθB23（4）矢量的矢积（叉积）写成行列式形式为亦称叉积，结果仍为一个矢量，用矢量C表示，C的大小为A和B组成的平行四边形的面积，方向垂直与矢量A和B构成的平面且A、B和C三者符合右手螺旋法则。24（5）矢量的混合运算25

三矢量的乘积三矢量的相乘有两种情况:

在矢量运算中，规定先进行叉积再进行点积。可以看出，标量三重积大小为该平行六面体的体积。ABCanθφ26标量三重积，也可用行列式表示：此称为“back-cab”法则，这是很有用的公式。ABCBXCD271.1.5平面及其方程一、平面的点法式方程

平面与其法线方向相垂直，设法线向量为n={A、B、C}，平面上一点M0(x0、y0、z0)，则有：即：二、平面的一般方程（为三元一次方程）281.1.6空间直线及其方程一、直线的对称式方程或点法式方程

两向量A和B方向相同或相反称为A和B平行，表示为A=KB。一个非零向量与一直线平行，此向量叫这条直线的方向向量。设方向向量为s={m、n、p}，直线上两点M0(x0、y0、z0)、M(x、y、z)，则有：（对应坐标成比例）二、直线的参数方程由上可导出直线的参数方程：291.1.7函数展开成幂级数

一、泰勒级数

如果f(x)在点x0的某领域内具有各阶导数f`(x),f``(x),…,f(n)(x),…,则其泰勒展开为：当x=x0+Δx则f(x)泰勒展开为：当Δx很小时,f(x)泰勒展开为：301.1.8矢量场的不变性描绘物理状态空间分布的标量函数(r)和矢量函数F(r)，对于确定的时间是唯一的，其大小和方向与所选择的坐标系无关。

31

矢量函数在上述三种坐标系内应有的关系为：

由矢量不变特性，可得下列恒等式：直角坐标(x,y,z)球坐标(r,,

)θ圆柱坐标(r,θ,z)32

三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。1.2

三种常用的正交曲线坐标系

在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。33

直角坐标系xyzdxdydxezdzeydxdydzdydzexdLo34351.2.2.园柱坐标系xyzrdφdrezdzerdydzdzdzdzeφdrrdφφrdφrdφodL3637圆柱坐标与球坐标之间的转换或381.2.3球坐标系xyzrdθereθdreφφdφdrrsinθdφrsinθdφrsinθdφrdθrθrdθdrrsinθdφθodL3940圆柱坐标与球坐标之间的转换或414.坐标单位矢量之间的关系

42例1.2.1求二维场F(r)=F(x,y)=ex(-y)+ey(x),求力线方程，并定性绘制该矢量场图形。解：由力线方程式得：

两边积分得：

上式为圆方程，c2为积分常数。

y

f

ey

ex

x

Fig

1.2.1

φ43若在圆柱坐标系内描述矢量场F(r),则根据直角坐标系和圆柱坐标系的转换关系，得：

F(r，φ)F(r)=F(x,y)=ex(-y)+ey(x)441.3标量场的梯度如果物理量是标量，称该场为标量场。

例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。

例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。

确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场45标量场的等值面

等值面:

标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。

等值面的特点：意义:

形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。462.方向导数意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？47梯度的表达式：意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向48标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度的性质：梯度运算的基本公式：标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）49

解

(1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为50表征其方向的单位矢量

(2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导数为对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为51而该点的梯度值为521.4矢量场的通量与散度

1.矢量线

意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。概念：矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。53力线的微分方程式

对于矢量场F(r)，当用一些有向曲线即力线或流线来表示时，力线上的任意点的切线必与该点的矢量方向一致.

542.矢量场的通量

问题：如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。

通量的概念

如果曲面S是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是55通过闭合曲面有净的矢量线穿出有净的矢量线进入进入与穿出闭合曲面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果

闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义56为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：称为矢量场的散度。

散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。57圆柱坐标系球坐标系直角坐标系散度的表达式：散度的有关公式：58直角坐标系下散度表达式的推导

由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为

不失一般性，令包围P点的微体积V为一直平行六面体，如图所示。则59根据定义，则得到直角坐标系中的散度

表达式为

同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P穿出该六面体的净通量为604.散度定理从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。61例1.4.2已知R=ex(x-x’)+ey(y-y’)+ez(z-z’),R=|R|.试求矢量D=R/|R|3在R不为零处的散度。解：据散度的计算公式，有：621.5矢量场的环流和旋度

矢量场的环流与旋涡源

例如：流速场。不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。63

如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即上式建立了磁场的环流与电流的关系。

磁感应线要么穿过曲面磁感应线要么同时穿入和穿出曲面磁感应线64如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。环流的概念矢量场对于闭合曲线C的环流定义为该矢量对闭合曲线C的线积分，即如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。65

矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。

（1）环流面密度称为矢量场在点M处沿方向

的环流面密度。特点：其值与点M处的方向

有关。过点M作一微小曲面S，它的边界曲线记为C，曲面的法线方向与曲线的绕向成右手螺旋法则。当S0时，极限66AZ’M(x,y,z)

我们取点M(x,y,z)为顶点,一个yz平行的矩形面，其面元矢量与x轴平行，其模用Δsx表示．设A=exAx+eyAy+ezAz.

先计算回路1,2,3,4的环流,则Ａ沿回路1,2,3,4积分为:67于是

同理可得故得概念：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向，即物理意义：旋涡源密度矢量。性质：（2）矢量场的旋度68旋度的计算公式:直角坐标系圆柱坐标系球坐标系69旋度的性质:

任意矢量的旋度的散度恒为零

由此可知：对于任何一个散度为零的矢量场B，必然可以表示为某个矢量场的旋度。即：

磁场的散度为零，则磁场强度可表为某一矢量的旋度.70梯度的性质:梯度的旋度恒为零证明：

如果一个矢量场的旋度处处为零，则其可表为某一标量函数的梯度。

静电场为无旋场，则电场强度可表为某一标量函数的梯度。71旋度的有关公式：矢量场的旋度的散度恒为零标量场的梯度的旋度恒为零723.斯托克斯定理斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。曲面的剖分方向相反大小相等结果抵消

从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即734.散度和旋度的区别

74例1.5.1已知R=ex(x-x’)+ey(y-y’)+ez(z-z’),R=|R|.试求矢量D=R/|R|3在R不为零处的旋度。解：据旋度的计算公式（1.5.7），有：751.矢量场的源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度；

旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场在该点的旋度。1.6无旋场与无散场762.矢量场按源的分类（1）无旋场仅有散度源而无旋度源的矢量场，梯度的性质:梯度的旋