第六章一阶电路

第六章一阶电路第六章一阶电路6.1分解方法在动态电路分析中的运用6.2零状态响应6.3阶跃响应冲激响应6.5线性动态电路的叠加原理6.4零输入响应6.6三要素法6.7瞬态和稳态6.8正弦激励的过渡过程和稳态

1.理解电路的暂态和稳态、零输入响应、零状态响应、全响应的概念，以及时间常数的物理意义。

2.掌握换路定则及初始值的求法。

3.掌握一阶电路分析的三要素法。

4.理解一阶电路的阶跃响应和冲激响应。基本要求一、动态电路动态电路概述含有电容和电感这样的动态元件的电路称动态电路。特点当动态电路状态发生改变时，需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。旧稳态新稳态

过渡过程:C电路处于旧稳态KRU+_开关K闭合电路处于新稳态RU+_“稳态”与“暂态”的概念: 稳定状态：在指定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。暂态过程：电路从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程。电路暂态分析的内容

1.利用电路暂态过程产生特定波形的电信号

如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。研究暂态过程的实际意义

2.控制、预防可能产生的危害

暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流使电气设备或元件损坏。(1)暂态过程中电压、电流随时间变化的规律。(2)影响暂态过程快慢的电路的时间常数。二、产生暂态过程的电路及原因电流

I随电压U比例变化。合S后：所以电阻电路不存在暂态过程(R耗能元件)。

合S前：tIO电阻电路t=0UR+_IS

合S后：

由零逐渐增加到U所以电容电路存在暂态过程uC+-CiCU+-SR合S前:U暂态稳态ot电容电路*若发生突变，不可能！一般电路则所以电容电压不能突变从电路关系分析SRU+_CiuCS

闭合后，列回路电压方程：电感电路电感电路存在暂态过程。SRU+_t=0iLt合S前:

合S后：

由零逐渐增加到I换路:电路状态的改变。如：1.电路接通、断开电源2.电路中电源的升高或降低3.电路中元件参数的改变…………..

产生暂态过程的必要条件：(1)电路中含有动态元件(内因)(2)电路发生换路(外因)三、动态电路与电阻电路的比较一阶电路描述电路的方程是一阶微分方程。一阶电路中只有一个动态元件。（1）描述动态电路的电路方程为微分方程（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数动态电路换路后产生过渡过程电阻电路换路后状态改变瞬间完成，描述电路的方程为代数方程。四、稳态分析和动态分析的区别稳态换路发生很长时间后重新达到稳态换路刚发生后的整个变化过程微分方程的特解动态微分方程的一般解恒定或周期性激励任意激励经典法复频域分析法时域分析法拉普拉斯变换法状态变量法五、动态电路的分析方法激励u(t)响应i(t)6.1分解方法在动态电路分析中的运用一阶电路的分解将电路看成由两个单口网络组成的，其一含所有的电源及电阻元件，另一则只含一个动态元件。电容电路：注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中

uC、iL初始值。设：t=0—表示换路瞬间(定为计时起点)

t=0-—表示换路前的终了瞬间

t=0+—表示换路后的初始瞬间（初始值）电感电路：在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。一、换路定则6.4零输入响应初始值的确定求解要点：(2)其它电量初始值的求法。初始值：电路中各u、i

在t=0+

时的数值。(1)

uC(0+)、iL

(0+)的求法。1)先由t=0-的电路求出

uC

(

0–)

、iL

(

0–)；

2)根据换路定则求出

uC(0+)、iL

(0+)。1)由t=0+的电路求其它电量的初始值；2)在t=0+时的电压方程中uC=uC(0+)、

t=0+时的电流方程中iL=iL

(0+)。暂态过程初始值的确定例1．解：(1)由换路前电路求由已知条件知根据换路定则得：已知：换路前电路处稳态，C、L均未储能。

试求：电路中各电压和电流的初始值。S(a)CU

R2R1t=0+-L,换路瞬间，电容元件可视为短路。,换路瞬间，电感元件可视为开路。iC

、uL

产生突变(2)由t=0+电路，求其余各电流、电压的初始值SCU

R2R1t=0+-L(a)电路iL(0+)U

iC

(0+)uC

(0+)uL(0+)_u2(0+)u1(0+)i1(0+)R2R1+++__+-(b)t=0+等效电路例2：换路前电路处于稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。解：(1)由t=0-电路求uC(0–)、iL

(0–)换路前电路已处于稳态：电容元件视为开路；电感元件视为短路。由t=0-电路可求得：R42+_R2R1U8V++4i14iC_uC_uLiLR3LCt=0-等效电路2+_RR2R1U8Vt=0++4i14iC_uC_uLiLR34由换路定则：2+_RR2R1U8Vt=0++4i14ic_uc_uLiLR34CLR42+_R2R1U8V++4i14iC_uC_uLiLR3LCt=0-等效电路(2)由t=0+电路求iC(0+)、uL

(0+)uc

(0+)由图可列出带入数据iL

(0+)C2+_RR2R1U8Vt=0++4i14iC_uC_uLiLR34Lt=0+时等效电路4V1A42+_RR2R1U8V+4iC_iLR3it=0+时等效电路4V1A42+_RR2R1U8V+4ic_iLR3i解之得并可求出2+_RR2R1U8Vt=0++4i14iC_uC_uLiLR34计算结果：电量换路瞬间，不能跃变，但可以跃变。2+_RR2R1U8Vt=0++4i14iC_uC_uLiLR34已知:电压表内阻设开关K在t=0

时打开。求:K打开的瞬间,电压表两端的电压。换路前(大小,方向都不变)换路瞬间例3K.ULVRiL注意:实际使用中要加保护措施KULVRiLuV小结1.换路瞬间，不能突变。其它电量均可能突变，变不变由计算结果决定；电感相当于电流源3.换路瞬间，，电感相当于断路；2.换路瞬间，若电容相当于短路；电容相当于电压源若零输入响应：激励(独立电源)为零，仅由动态元件初始储能作用于电路产生的响应。1.RC电路零输入响应+-SRU21+–+–换路前电路已处稳态t=0时开关,电容C经电阻R放电二、零输入响应代入上式得一阶线性常系数齐次微分方程(1)

列

KVL方程电容电压uC

的变化规律(t0)(2)

解方程：特征方程由初始值确定积分常数A齐次微分方程的通解：电容电压uC

从初始值按指数规律衰减，衰减的快慢由RC决定。(3)电容电压uC

的变化规律（2）衰减快慢取决于RC乘积。tUuC0（1）电压、电流随时间以同一指数规律衰减。连续函数跃变令=RC

,称为一阶电路的时间常数放电电流特点tic0当

t=5

时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。理论上认为、电路达稳态工程上认为~

、电容放电基本结束。t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U随时间而衰减当

时时间常数等于电压衰减到初始值U的所需的时间。时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

=RC

大过渡过程时间的长

小过渡过程时间的短电压初值一定：R

大（C不变）i=u/R放电电流小放电时间长Utuc0小

大C

大（R不变）w=0.5Cu2

储能大物理含义（3）能量关系：设uC(0+)=U电容放出能量电阻吸收（消耗）能量uCR+-CC不断释放能量被R吸收,直到全部消耗完毕.例4已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解这是一个求一阶RC零输入响应问题t>0等效电路2.RL电路的零输入响应特征方程Lp+R=0特征根p=由初始值iL(0+)=I0定积分常数AA=iL(0+)=I0iL(0+)=iL

(0-)=iLK(t=0)USL+–uLRR1（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；-RI0uLtI0tiL0从上式可以得出三点结论连续函数跃变

（2）响应与初始状态呈线性关系，其衰减快慢与L/R有关；令=L/R,称为一阶RL电路时间常数iL(0)一定：L大起始能量W=Li2/2大

R小放电过程消耗能量p=Ri2小放电慢大

大

→

过渡过程时间长

小

→

过渡过程时间短时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短物理含义（3）能量关系

电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。设iL(0+)=I0电感放出能量：

电阻吸收（消耗）能量：图示电路中,RL是发电机的励磁绕组，其电感较大。Rf是调节励磁电流用的。当将电源开关断开时，为了不至由于励磁线圈所储的磁能消失过快而烧坏开关触头，往往用一个泄放电阻R´与线圈联接。开关接通R´同时将电源断开。经过一段时间后，再将开关扳到

3的位置，此时电路完全断开。例5:

(1)R´=1000,试求开关S由1合向2瞬间线圈两端的电压uRL。电路已达稳态后，S由1合向2。

(2)在(1)中,若使uRL不超过220V,则泄放电阻R´应选多大？ULRF+_RR´1S23i解:

(3)根据(2)中所选用的电阻R´,试求开关接通R´后经过多长时间，线圈才能将所储的磁能放出95%？

(4)写出(3)中uRL随时间变化的表示式。换路前，线圈中的电流为(1)开关接通R´瞬间线圈两端的电压的绝对值为(2)如果不使uRL

(0)超过220V,则即(3)求当磁能已放出95%时的电流求所经过的时间例6t=0时

,开关K由1→2，求电感电压和电流。解iLK(t=0)+–24V6H3446+－uL212t>0iL+–uLR小结4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2.衰减快慢取决于时间常数

RC电路

=RC

,RL电路

=L/RRR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻Req

。3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。

RC电路零输入响应

=RC

RL电路的零输入响应

=L/R一、零状态响应零状态响应:

储能元件的初始能量为零，仅由电源激励所产生的电路的响应。实质：RC电路的充电过程分析：在t=0时，合上开关s，

此时,电路实为输入一个阶跃电压u，如图。与恒定电压不同，其电压u表达式uC

(0-)=0sRU+_C+_iuCUtu阶跃电压O1.RC电路的零状态响应6.2零状态响应一阶线性常系数非齐次微分方程方程的通解=方程的特解+对应齐次方程的通解uC的变化规律(1)

列

KVL方程uC

(0-)=0sRU+_C+_iuc(2)解方程求特解：：特解（强制分量）与输入激励的变化规律有关，周期性激励时强制分量为电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量

求对应齐次微分方程的通解（自由分量，暂态分量）通解即：的解微分方程的全解为确定积分常数A根据换路定则在t=0+时，变化规律由电路参数和结构决定电容电压uC

的变化规律暂态分量稳态分量电路达到稳定状态时的电压-U+U仅存在于暂态过程中63.2%U-36.8%Uto从上式可以得出以下结论（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：稳态分量（强制分量）+暂态分量（自由分量）t电流

iC

的变化规律UU0.632U

越大，曲线变化越慢，达到稳态时间越长。结论：当t=5时,暂态基本结束,uC

达到稳态值。0.998Ut000.632U0.865U0.950U0.982U0.993UtO（2）响应变化的快慢，由时间常数＝RC决定；(3)能量关系电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。电容储存：电源提供能量：电阻消耗RC+-U例1

t=0时,开关K闭合，已知

uC（0－）=0，求（1）电容电压和电流，（2）uC＝80V时的充电时间t

。解50010F+-100VK+－uCi(1)这是一个RC电路零状态响应问题（2）设经过t1秒，uC＝80V2.RL电路的零状态响应uLUSt0tiL0Us+-SRLt=0+-+-

变化规律

连续函数跃变例2t=0时,开关K打开，求t>0后iL、uL的变化规律

。解这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路iLK+–uL2HR8010A200300iL+–uL2H10AReqt>0iL(0-)=0小结1.一阶电路的零状态响应是由电源激励引起的响应,都是由零逐渐增大到稳定值的指数函数。2.衰减快慢取决于时间常数

RC电路

=RC

,RL电路

=L/RRR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻Req

。3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。4.一阶电路的零状态响应和外施激励成正比，称为零状态线性。强制分量(稳态)自由分量(暂态)RC电路零状态响应

=RCRL电路的零状态响应

=L/R6.5线性动态电路的叠加原理一、全响应定义:

电源激励、动态元件的初始能量均不为零时，电路中的响应。非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应二、一阶电路的全响应及其两种分解方式稳态解uC'=US解答为

uC(t)=uC'+uC"非齐次方程=RC暂态解1.全响应uC

(0+)=A+US=U0A=U0-US由初始值定AuC

(0-)=U0sRUs+_C+_iuC强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)uC"-USU0暂态解uC'US稳态解U0uc全解tuc0(1)全响应=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)2.全响应的两种分解方式(2)全响应=零状态响应+零输入响应零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0(3)两种分解方式的比较零状态响应零输入响应物理概念清楚便于叠加计算

全响应=零状态响应+零输入响应全响应=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)例1t=0时,开关K打开，求t>0后的iL。解这是一个RL电路全响应问题，有：iLK(t=0)+–24V0.6H4+－uL8零输入响应：零状态响应：全响应：或求出稳态分量：全响应：代入初值有：6＝2＋AA=4+–10V1A1+－uC1+－u1例2t=0时,开关K闭合，求t>0后的iC、uC及电流源两端的电压u。解这是一个RC电路全响应问题稳态分量：全响应：A=－10ic6.6三要素法一阶电路的数学模型是一阶微分方程,解的一般形式为代表一阶电路中任一电压、电流函数。式中令t=0+初始值--三要素稳态值--时间常数--

求换路后电路中的电压和电流，其中电容C视为开路,电感L视为短路，即求解直流电阻性电路中的电压和电流。 (1)稳态值的计算响应中“三要素”的确定uC+-t=0C10V5k1

FS例：5k+-t=03666mAS1H1)由t=0-

电路求2)根据换路定则求出3)由t=0+时的电路，求所需其它各量的或(2)初始值的计算

1)对于简单的一阶电路，R0=R;

2)对于较复杂的一阶电路，R0为换路后的电路除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的无源二端网络的等效电阻。(3)时间常数的计算对于一阶RC电路对于一阶RL电路注意：R0U0+-CR0

R0的计算类似于应用戴维南定理解题时计算电路等效电阻的方法。即从储能元件两端看进去的等效电阻，如图所示。R1U+-t=0CR2R3SR1R2R3求:电感电压例1已知：K

在t=0时闭合，换路前电路处于稳态。t=03ALKR2R1R3IS2211H注意初始值/稳态值/时间常数(等效电阻)求解的等效电路第一步:求起始值t=03ALKR2R1R3IS2211Ht=0¯时等效电路3ALt=0+时等效电路，电感相当于一个2A的恒流源2AR1R2R3t=03ALKR2R1R3IS2211Ht=0+时的等效电路第二步:求稳态值t=时等效电路t=03ALKR2R1R3IS2211HR1R2R3第三步:求时间常数t=03ALKR2R1R3IS2211HLR2R3R1LR第四步:将三要素代入通用表达式得过渡过程方程第五步:画过渡过程曲线（由初始值稳态值）起始值-4Vt稳态值0V(-4)*0.368=-1.472----三要素法求解过渡过程要点：终点起点t分别求1.初始值、2.稳态值、3.时间常数(画相应等效电路图)4.将以上结果代入过渡过程通用表达式5.画出过渡过程曲线（由初始值稳态值）例2：解：用三要素法求解电路如图，t=0时合上开关S，合S前电路已处于稳态。试求电容电压

和电流、。(1)确定初始值由t=0-电路可求得由换路定则t=0-等效电路9mA+-6kRS9mA6k2F3kt=0+-CR(2)确定稳态值由换路后电路求稳态值(3)由换路后电路求时间常数t∞电路9mA+-6kR

3k三要素uC

的变化曲线如图18V54VuC变化曲线tO用三要素法求54V18V2kt=0+++--S9mA6k2F3kt=0+-CR3k6k+-54V9mAt=0+等效电路例3：由t=0-时电路电路如图，开关S闭合前电路已处于稳态。t=0时S闭合，试求：t≥0时电容电压uC和电流iC、i1和i2

。解：用三要素法求解求初始值+-St=06V123+-t=0-等效电路12+-6V3+-求时间常数由右图电路可求得求稳态值+-St=06V123+-23+-(、关联)+-St=06V123+-t=012V+-R1LS1HU6R234R3+-+-R2R146U12Vt=0-时等效电路(1)变化规律

（三要素法）例4：电路如图所示，t=0时刻开关S闭合，求iL(t)、u(t)

。解：12V+-R1LSU6R234R3t=时等效电路+-R1L6R234R31H用三要素法求(2)变化规律+-R11.2AU6R234R3t=0+等效电路+-21.2O变化曲线变化曲线42.40+-R1iLU6R234R3t=时等效电路+-例5i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)32已知：电感无初始储能，

t=0时合k1,t=0.2s时，合k2

，求两次换路后的电感电流i(t)。解：0<t<0.2s(0<t0.2)(t

0.2)it(s)0.25(A)1.262t>0.2s注意：第二次换路初值6.3阶跃响应冲激响应一、单位阶跃函数1.定义t(t)012.单位阶跃函数的延迟t(t-t0)t001t=0合闸i(t)=IsIsKu(t)KEu(t)u(t)（1）在电路中模拟开关的动作t=0合闸u(t)=E*单位阶跃函数的作用（2）延迟一个函数tf(t)0tf(t)0t0（3）起始一个函数tf(t)0t03.由单位阶跃函数可组成复杂的信号例11t0tf(t)0(t)tf(t)10t0-(t-t0)例21t1f(t)01t1

f(