自动控制原理课件(第版)4

第四章

控制系统的频域分析

第一节频率特性的基本概念

在实际中，人们常运用频率特性法来分析和设计控制系统的性能。频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率输入信号的响应特性。对线性系统，若其输入信号为正弦量，则其稳态输出信号也将是同频率的正弦量。但是其幅值和相位一般都不同于输入量。若逐次改变输入信号的角频率ω，则输出信号的幅值与相位都会发生变化.第四章控制系统的频域分析

一控制系统频率特性概述设系统传递函数为系统结构图如图:r(t)=AsinωtG(S)R(s)C(s)输出响应c(t)?理论与实验表明，当稳定的线性定常系统的输入为一定频率的正弦信号，在系统达到稳态时，其输出响应一定是一个同频率的正弦信号，但输出信号与输入信号的幅值和相位是不同的，且这种不同与信号频率及系统(或环节)本身的特性有关。二、频率特性的表示方法1.频率特性与传递函数的关系2.数学式表示方法

3.图形表示方式三

频域性能指标

频域性能指标可以间接的表示系统在阶跃响应过程中的品质，常用的频域性能指标有以下几个：

1.谐振峰值谐振峰值指幅频特性曲线的最大值。谐振峰值越大，意味着阶跃响应中对应的超调量越大，相应的系统平稳性就越差。一般要求，是幅频曲线上的零频幅值。

2.谐振频率

谐振频率是指与出现谐振峰值对应的频率。它在一定程度上反映了系统瞬态响应的速度。越大，瞬态响应越快。通常与上升时间成反比。

3.零频幅值

零频幅值指时系统稳态输出量幅值与输入量幅值之比，即：输出量稳态值等于输入量r(t)的幅值系统存在稳态误差4.频带宽度（也叫通频带或带宽）

频带宽度指幅频特性的数值衰减到零频幅值的0.707倍时所对应的频率。

系统的快速性能系统对高频信号的滤波性能系统的低通特性返回第二节典型环节的频率特性

频率特性法是一种图解分析法，因而可避免繁杂的求解运算。一、奈氏图与伯德图

二、典型环节的频率特性一、奈氏图与伯德图

工程上对系统或环节的频率特性常用图像表示。根据所选坐标系、选择坐标系刻度的不同，频率特性图的绘制方法也就不同，通常有以下两种工程图示方法：一、幅相频率特性图——奈氏图二、对数频率特性图——伯德图1、幅相频率特性图幅相频率特性图又称为奈奎斯特（Nyquist)图（简称奈氏图）或极坐标图，它是在复数平面[]的极坐标系中，以频率为参变量，使其从零变化到无穷大时，所画出的模为、幅角为的频率特性矢量端点的变化（运行）轨迹。

在一阶RC滤波电路中，系统是一个典型的一阶惯性环节，其频率特性为：ω∞ReIm00.7071ω=Tω=0-45

在输入不同频率的正弦信号下，计算出幅值、相位并列表如下：根据该表格可以绘制出一阶惯性环节的奈奎斯特图。2、对数频率特性图对数频率特性图也叫伯德（Bode)图（或波特图），它是把对数幅频和相频特性，分别画在同一个半对数坐标系中的曲线。半对数坐标系特征

横坐标为频率，单位为rad/s。横坐标采用常用对数分度。即坐标轴每增加一个单位长度，代表频率的值增加10倍。

纵坐标为或，其单位为分贝(dB)。采用幅值的分贝值,可以将幅频特性的乘除运算转化为加减运算

对数及其真数的关系表

对数幅频图的坐标

二、典型环节的频率特性控制系统的开环频率特性通常可以由各个典型环节的频率特性叠加而成。我们首先研究以下典型环节的频率特性曲线。

1.比例环节2.积分环节

3.微分环节4.惯性环节

5.一阶微分环节

6.振荡环节

7.延迟环节

1.比例环节比例环节的传递函数和频率特性为：（1）极坐标图

幅频特性和相频特性为：当输入信号频率从间变化，其极坐标图如图0KReIm比例环节的伯德图对数幅频特性：对数相频特性：(2)伯德图

20lgK0L(ω)/dB0ω10.110.1ωL(ω)=20lgA(ω)=20lgK=0o=tg-1φ(ω)Q(ω)P(ω)φ(ω)

传递函数和频率特性

幅频特性和相频特性

当从0→时，其幅角恒为-90°，幅值的大小与成反比，曲线在负虚轴上。积分环节极坐标图ReIm0ω=0∞G(s)=1SG(jω)=1jωA(ω)=1ωφ(ω)=-90o2.积分环节

(2)伯德图对数幅频特性：

对数相频特性：积分环节的伯德图Φ(ω)ω10.1100-90L(ω)/dB10.1ω10020-2040-20dB/decL(ω)=20lgA(ω)=-20lgωφ(ω)=-90o

传递函数和频率特性

幅频特性和相频特性

微分环节奈氏图ReIm0ω-0∞G(s)=SG(jω)=jωA(ω)=ωφ(ω)=90o3.微分环节当从0→时，其幅角恒为+90°，幅值的大小与成正比，曲线在正虚轴上。(2)伯德图Φ(ω)ω10.110L(ω)/dB10.1ω10020-2020dB/dec对数幅频特性：

对数相频特性：L(ω)=20lgA(ω)=20lgωφ(ω)=90o090传递函数和频率特性

幅频特性和相频特性

G(s)=1Ts+1G(jω)=1jωT+1

A(ω)=11+(ωT)2φ(ω)=-tg-1ωT(1)奈氏图绘制奈氏图近似方法:根据幅频特性和相频特性求出特殊点,然后将它们平滑连接起来.ω∞ReIm00.7071ω=Tω=0-45ω=∞A(ω)=0φ(ω)=-90o惯性环节的奈氏图ω=0A(ω)=1φ(ω)=0o取特殊点：

1ω=TA(ω)=0.707φ(ω)=-45o可以证明：惯性环节的奈氏图是以(1/2,jo)为圆心，以1/2为半径的半圆。4.惯性环节

(2)伯德图ω

<1/T频段,可用0dB渐近线近似代替。L(ω)=20lg11+(ωT)2ω<<1T(ωt)2<<120lg1=0dB~~L(ω)

L(ω)/dB渐近线转折频率渐近线精确曲线-20020-20dB/dec惯性环节的伯德图T110T110Tωω>>1T(ωT)2>>120lgωT1~~L(ω)

=-20lgωTω

>1/T频段，可用-20dB/dec渐近线近似代替两条渐近线相交点的频率为转折频率ω

=1/T。

渐近线所产生的最大误差值为：L(ω)=20lg11+(ωT)221=20lg=-3.03dBω0-45-90相频特性曲线：ω=0φ(ω)=0oφ(ω)φ(ω)=-45oω=1/Tφ(ω)=-90oω→∞传递函数和频率特性：

幅频特性和相频特性：

G(s)=1+TsG(jω)=1+jωTA(ω)=1+(ωT)2φ(ω)=tg-1ωT(1)极坐标图1ReIm0∞ω=0一阶微分环节奈氏图ω=0A(ω)=1φ(ω)=0oω=∞A(ω)=∞φ(ω)=90o5.一阶微分环节

(2)伯德图

对数幅频特性：

L(ω)=20lg1+(ωT)2一阶微分环节的频率特性与惯性环节成反比,所以它们的伯德图对称于横轴.G(jω)=1+jωT1+jωTG(jω)=1L(ω)=20lg1+(ωT)21一阶微分环节的伯德图L(ω)/dB-20020T110T110Tω渐近线精确曲线ω45090φ(ω)传递函数和频率特性：

幅频特性和相频特性：

G(s)=s2+2ζωns+ωn2ωn2G(jω)=ωn2ωn2-ω2+j2ζωnωφ(ω)=tg-1ωn2-ω22ζωnωA(ω)=(ωn2-ω2)2+(2ζωnω)2ωn2=(1-)2+()2ω2ωn22ζωωn16.振荡环节

振荡环节的奈氏图ReIm01ω=0ω=ωnξ=0.8ξ=0.6ξ=0.4ω∞(1)极坐标图ω=0A(ω)=1φ(ω)=0oω=ωnφ(ω)=-90oω=∞A(ω)=0φ(ω)=-180oA(ω)=2ζ1振荡环节的频率特性曲线因ζ值的不同而异.(2)伯德图

对数幅频特性：

(1-)2+()2ω2ωn22ζωωn1L(ω)=20lgω<<ωnω2ωn2≈0ω2ωn2(2ζ)2≈0L(ω)≈20lg1=0dBω>>ωnωωn(2ζ)2≈01≈0L(ω)≈-40lgωωn对数相频特性：ω=0φ(ω)=0oφ(ω)=-90oω=ωnφ(ω)=-180oω→∞振荡环节的伯德图→转折频率ω=ωn用渐近线近似表示对数幅频曲线会存在误差，误差大小不仅和有关，而且也和有关。误差计算公式是：根据误差公式绘制的对数幅频特性误差曲线。可用该误差曲线来修正渐近特性曲线。时滞环节的奈氏图是一个单位圆(1)极坐标图1ω=00ReImG(s)=e-τsG(jω)=e-jωτA(ω)=1φ(ω)=-τω7.延迟环节

传递函数和频率特性幅频特性和相频特性（2）伯德图延迟环节的伯德图φ(ω)=-τωL(ω)=20lg1=0φ(ω)L(ω)/dBω0ω1100-100-200-300返回第三节系统的开环频率特性曲线绘制熟悉了典型环节的频率特性图后，绘制控制系统的开环频率特性曲线就比较容易了。本节将介绍它们的绘制方法，以及最小相位系统频率特性曲线的特性。一、系统开环频率特性的数学表达式控制系统开环频率特性可以表示为：用幅频、相频特性表示为：即：二、系统开环幅相频率特性曲线画法系统开环幅相频率特性曲线，即系统的奈氏图，遵循以下规则可以比较方便的绘制出系统的奈氏图。1.把系统开环频率特性写成标准型式2.写出、的表达式，并列出从0变化到时，幅频与相频的变化情况，的变化范围确定了奈氏图所在的象限。3.与坐标轴的交点。

4.画完曲线，必须完整的加注以下标注：①用箭头在曲线上标注出随值增加曲线的变化方向②标注出曲线两端点的情况，及关键点处的幅频值

③坐标轴：，及原点。(1)0型系统υ=0Π1+(ωTj)2nj=1KΠ1+(ωτi)2i=1A(ω)=mΣtg-1ωτimi=1φ(ω)=nj=1-Σtg-1ωTj特殊点:

ω=0A(ω)=Kφ(ω)=0o系统起点和终点ReIm0Kν=0n-m=2n-m=1n-m=3ω=∞ω=0ω=∞A(ω)=0φ(ω)=-(n-m)90o(2)Ｉ型系统ωΠ1+(ωTj)2n-1j=1kΠ1+(ωτi)2mi=1A(ω)=υ=1Σtg-1ωτimi=1φ(ω)=-90o+n-1j=1-Σtg-1ωTj系统起点和终点ReIm0n-m=2n-m=1n-m=3ω=∞ω=0ω=0A(ω)=∞φ(ω)=-90oω=∞A(ω)=0φ(ω)=-(n-m)90o0型、Ｉ型系统起点和终点的综合情况如图。ν=1ReIm0ν=0ν=3ν=2极坐标图起点极坐标图终点n-m=2n-m=1n-m=3ω=∞ReIm0三、系统开环对数频率特性曲线画法系统开环对数幅频特性等于各环节的对数幅频特性之和，绘制其特性曲线一般有以下几步：1.分析系统是由哪些典型环节串联组成的，将这些典型环节的传递函数都化成标准形式。2.根据比例环节的值，计算。3.在半对数坐标纸上，找到横坐标为、纵坐标为的点，过该点作斜率为dB/dec的斜线，其中为积分环节的数目。4.计算各典型环节的转折频率，将各转折频率按由低到高的顺序进行排列，并按下列原则依次改变的斜率：若遇到惯性环节的转折频率，斜率减去

若遇到微分环节的转折频率，斜率增加若遇到振荡环节的转折频率，斜率减去

5.如果需要，可对渐近线进行修正，以获得较精确的对数幅频特性曲线。已知单位反馈系统的开环传递函数为，试绘制系统开环对数频率特性曲线。解：首先将开环传递函数写成典型环节的标准形式，得：

由上面表达式可见，系统由五个典型环节串联组成，即：放大环节

积分环节惯性环节一般微分环节

根据典型环节的伯德图绘制方法，分别绘制出五个典型环节的对数幅频特性及对数相频特性，再将以上环节的幅频和相频曲线分别相加，得到系统的开环对数频率特性曲线。四、最小相位系统

如果系统的零极点全部位于S平面的左半平面或虚轴上，则称该系统为最小相位系统。如果系统中有零点或极点位于右半平面，则系统为非最小相位系统。在幅频特性相同的系统中，最小相位系统的相位变化最小。最小相位系统的幅频特性和相频特性是一一对应的。即对于最小相位系统，幅频特性曲线确定后，相频特性曲线也就确定了。试比较如下最小相位系统与非最小相位系统相频特性曲线的差别，其中

解：由系统的传递函数可知为最小相位系统，三个系统的幅值相同，同为：

三个系统的相频特性不同，分别为：绘制的系统对数频率特性曲线如下图所示，可见最小相位系统具有最小的相位。返回第四节频域的稳定性判据三、控制系统的稳定裕量

二、对数频率稳定判据

一、奈奎斯特(Nyquist)稳定判据

在频域分析中，奈奎斯特(Nyquist)稳定判据给出了如何在频域中利用开环频率特性曲线判断系统稳定性的方法，并且能够确定系统的稳定裕量。一、奈奎斯特(Nyquist)稳定判据

奈奎斯特(Nyquist)稳定判据（简称奈氏判据），是奈奎斯特(Nyquist)于1932年提出的，通常有以下几种叙述：1.反馈控制系统稳定的充要条件是：当由0趋近于，开环幅相频率特性曲线围绕（-1，0j）点逆时针转动的圈数为/2，其中为系统开环传递函数位于S平面右半部的极点数。 若右半平面的极点数为0，开环幅相特性曲线不围绕（-1，0j）点时系统稳定。

2.反馈控制系统稳定的充要条件是：当由0趋近于，开环幅相频率特性曲线对[]区段的负实轴，正、负穿越次数之差等于/2，其中为系统开环传递函数位于S平面右半部的极点数。正穿越：开环幅相曲线沿增加方向由上而下穿越实轴段一次，称为一次正穿越，即逆时针穿越实轴段，用表示。当曲线从实轴段开始向下，称为半次正穿越。

负穿越：开环幅相曲线沿增加方向由下而上穿越实轴段一次，称为一次负穿越，即顺时针穿越实轴段，用表示。当曲线从实轴段开始向上，称为半次负穿越。1.开环传递函数不含积分环节

已知一单位反馈系统，其开环传递函数为，用奈氏判据判断系统的稳定性。解：系统开环频率特性为：

（1）首先取，则（2）与虚轴交点，这时，取解得与虚轴相交，与虚轴交点的纵坐标为(3）当时，根据以上分析，可以做出极坐标图，由于它不包围点（－1，j0），所以系统稳定。若系统开环传递函数中包含有ν个积分环节，则先绘出ω=0+→∞的幅相频率特性曲线，然后将曲线进行修正后，再使用奈氏判据来判断系统的稳定性。在ω=0+开始，逆时针方向修正方法：补画一个半径无穷大、相角为υ.900的大圆弧，即ω=0→0+的曲线。2.开环传递函数含积分环节

单位负反馈开环传递函数为，使用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。解：系统开环幅相特性曲线如实线所示。由于系统为二型系统，所以应在处逆时针增补角度为、半径为无穷大的半圆，如虚线所示。

所以曲线包围（-1，0j）点，而开环传递函数在右半平面的极点数为0，所以系统不稳定。而且不稳定根的数量可以由确定。由于幅相曲线顺时针包围（-1，0j）点一圈，所以N=-1。因此闭环系统在右半平面的极点数为2个。二、对数频率稳定判据

对数稳定判据为:在对数幅频特性曲线>0dB的范围内，系统开环对数相频特性曲线正、负穿越次数之差等于，即：

=-=其中，P为开环传递函数在右半平面的极点个数。

应注意，当开环传递函数存在积分环节时，同样应在开环相频特性曲线处增补角度。

极坐标(a)与对数坐标(b)频率特性对照图已知系统的开环传递函数，试用对数频率稳定判据判断系统的稳定性。

解：可以作出系统的对数频率特性曲线如图。图中在处相频曲线增补角度，如虚线所示，该虚线没有穿越线，所以不影响穿越次数。可以看出正负穿越次数均为零。又由于右半平面开环极点数为0。所以系统稳定。

三、控制系统的稳定裕量

系统开环幅相频率特性曲线临界点附近的形状，对闭环稳定性影响很大。曲线越是接近临界点，系统的稳定程度就越差。稳定裕量是衡量系统稳定程度的指标，常用的有相位裕度和幅值裕度两个性能指标，其几何表示如图。

1.相位裕度

令幅频特性过零分贝时的频率为（幅值穿越频率），则定义相位裕度为：

相位裕度作为定量值指明了如果系统是不稳定系统，那么系统的开环相频特性还需要改善多少度就成为稳定系统。如果系统是稳定的，与上述描述相反。

2.幅值裕度

令相位为时对应的频率为（相位穿越频率），频率为时对应的幅值的倒数，定义为幅值裕度，即：

或具有如下含义：如果系统是稳定的，那么系统的开环增益增大到原来的倍，则原来的系统就处于临界稳定状态，或者在伯德图上，开环对数幅频特性再向上移动多少分贝，系统就不稳定了。如果系统是不稳定系统，与上述描述相反。

在使用时，和是成对使用的。两幅相曲线具有相同的幅值裕度，而相位裕度却不同，相位裕度较大的系统更加稳定。第五节闭环系统性能与开环频率特性的关系开环对数幅频特性曲线根据的大小，可以分为三个频段，低频段决定了系统的稳态性能，中频段决定了系统的快速性和平稳性，高频段决定了系统抑制噪声的能力。本节讨论三个频段和系统性能之间的关系，系统时域指标与频域指标之间的关系。1.系统稳态误差和开环频率特性的关系一、频率特性与系统性能的关系

2.系统的瞬态性能和开环频率特性中频段的关系3.开环频率特性的高频段对系统性能的影响

二、频域性能指标与时域指标之间的关系

1.二阶系统2.高阶系统L(ω)=20lgA(ω)=20lgωvK=20lgK-v·20lgωωL(ω)/dB0KKνK对数幅频特性曲线ν=0ν=1ν=2-20ν对数幅频特性曲线的位置越高，开环增益K越大，斜率越负，积分环节数越多。系统稳态性能越好。1.系统稳态误差和开环频率特性的关系

低频段对应函数为：对数幅频特性为：

2.系统的瞬态性能和开环频率特性中频段的关系

穿越频率ωc附近的区段为中频段。它反映了系统动态响应的平稳性和快速性。

下面以两个极端的情况阐述该段对系统性能的影响：第一种情况：系统特性曲线在中频段的斜率为-20dB/sec，且占据很大的宽度。第二种情况：系统特性曲线在中频段的斜率为-40dB/dec，且占据很大的宽度。

（1）第一种情况开环传递函数：

G(s)≈=SKSωc闭环传递函数为：

==SωcSωc11+S+1ωc1Φ(s)=G(s)1+G(s)相当于一阶系统调节时间：

ωcts≈3T=3在一定条件下，ωc越大，ts就越小，