向量值映照微分学02极限

复旦力学谢锡麟2016315知识要

f(xy0Rn定义1.1(向量值映照极限).向量值映照极限为向量值映照的一种局部行为,记为

f(x)y0Rn,Cauchy◦∀ε> ∃δε> 满足：|f(x)−y0|Rn< ∀x∈Bδε(x0)∩DfHeine叙

xn}n∈NDf xnx0 有：f(xn→y01.1(向量值映照极限的等价性叙述).CauchyHeine叙述(1)CauchyHeine叙述.xp}p∈N⊂Rm,xpx0Rm,需证f(xp)→y0∈Rn,则按Cauchy叙述,有◦ε0,δε>0,成立f(xBε(y0),xBδε(x0xpx0Rm,◦NδεN,成立xpBδε(x0Dx,p>Nδε故有f(xpBε(y0)pNδε亦即f(xpy0(2)HeineCauchy叙述利用反证法Cauchy叙述不成立,◦ε0δ0∃xδBδ(x0Dx满足f(xδ/Bεδp=1,xp◦Bδ(x0Dx满足f(xp)/Bε(y0).Dx\{x0}∋xp→x0∈Rm, Heine叙述有f(xp)→y0∈Rn,故产生1.2(Cauchy收敛原理).(Rn|·|Rn)为完备的赋范线性空间,

f(x)=y0∈

◦∀ε> ∃δε> |f(˜f(ˆ)|Rn 证明(1)充分性.现有

f(xy0Rn,Cauchy叙述◦ε0δε0成立|f(xy0|Rnε,xBδε(x0Df故有对∀x,x∈ (x)∩D,e

|f(x)−y +|f(x)−y <ε+ε=bf(efb 0 0◦(b)|Rnx,xxp}RmDx\{x0},xpx0Rm,则NδεN,成立0<|xpx0|Rm<δε,p>Nδε故|f(xp)−f(xq)|Rn<ε,∀p,q>Nδε亦即{f(xp)}p∈NRn为基本点列.再由(Rn|·|Rn为完备的赋范线性空间因此{f(xp)}p∈NRn收敛.\{x},xxRm有f(xy{xp b∀{xp}⊂e0b0

\{x},xxRm有f(x px p=p

∈xb2k−1,p=2k−{xp}⊂Df\{x0},满足xp→x0∈Rm.故有f(xp)→y0∈Rn.由于收敛点列的所有子列均,b0有

f(x)=y0∈定义1.2(向量值映照的连续性x

mf(x)=f(x0)∈Rn,f(x0)x0Df点连续1.3(基本分析性质).类比于一元函数极限,向量值映照极限亦具有如下基本性质

x→x0∈R

f(x)=y0∈n 则有0

=m f(x)=z∈m局部有界性如果 f(x)=y0∈Rn,则◦∃M,δM∈+,s.t.|f(x)|Rm≤ ∀x∈ (x)∩ 多元函数极限的保号性保号性具有二个方面:(1)如果

f(x0∃λ◦有f(x)>0,∀x∈Bλ(x0)∩Df;(2)

f(x)∈R,∃λ∈+◦f(x)>(或≥)0,∀x∈Bλ(x0)∩Df,则有

f(x)>多元函数极限的性设多元函数ϕ(x),ψ(x)和θ(x)具有共同的定义域Dx⊂

ϕ(x)

ψ(x)=y0∈x→x0∈R x→x0∈R 则有

性条件ϕ(x)≤θ(x)≤ ∀x∈Bλ(x0)∩θ(x)=定理1.4(复合映照极限定理).

θ(x)=y0∈ 且满足“非接触性条件?:λ0,

Θ(y)=z0∈◦θ(Bλ(x0)∩Dθ)⊂则存在局部复合,◦Θ◦θ(x):Bλ(x0)∩Dθ∋x7→Θ◦θ(x)≡

Θ◦θ(x)=z0 ◦

Θ(y)∈◦证明(1)Bλ0∩Dθ)⊂DΘ\{y0},显然成立◦(2Heine叙述,xpBλ(x0Dθ,xp→x0由

θ(xy0RnHeine叙述,以及非接触性条件,DΘ\{y0}∋θ(xp)→y0∈?“非接触性”指,x̸x0Rm,θ(x̸y0∈又由

Θ(yz0RlHeine叙述,Θ(θ(xp))=Θ◦θ(xp)→z0∈综上,有

Θ◦θ(x)=z0∈需,按连续性的Heine叙述,

Θ(y)=Θ(y0)∈则上述定理中“非接触性条件”可改为“可接触性条件◦λ>0,有θ(Bλ(x0Dθ)⊂1.5(存在向量值映照极限等价于存在各分量极限

f(x)=y0∈

fα(x)=yα∈0aj−b|a−b|Rm ai−bi j=1,···,)1.6(多元函数极限的四则运算).f(x)g(x)Dx.有 则

f(x)=A∈

g(x)=B∈

m(αf+βg)(x)=αA+βB∈m(fg)(x)=AB∈m

(x 此处B̸乘积或除法,如果相应的函数都具有极限,则原函数的极限为相应极限的线性组合、乘积或比值.应用事 深值得,本知识点所述的向量值映照的极限定义,Cauchy叙述与Heine叙述的等价性证明以及映照极限的Cauchy收敛原理,都可以