《函数与方程》习题3

《函数与方程》习题（3）一、选择题1．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是（）解析：图A没有零点，因此不能用二分法求零点．图B的图象不连续．图D在x轴下方没有图象，故只有C图可用二分法求零点．答案：C2．函数f（x）＝lnx－eq\f(1,x－1)的零点的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个解析：本题考查了学生的画图能力，构造函数等方法．这种题型很好地体现了数形结合的数学思想．构建函数h（x）＝lnx，g（x）＝eq\f(1,x－1)，f（x）的零点个数即h（x）与g（x）交点的个数．画出图象可知有两个交点.选C.答案：C3．下列函数中在区间[1,2]上一定有零点的是（）A．f（x）＝3x2－4x＋5 B．f（x）＝x3－5x－5C．f（x）＝mx－3x＋6 D．f（x）＝ex＋3x－6解析：对选项D，∵f（1）＝e－3＜0，f（2）＝e2＞0，∴f（1）f（2）＜0.答案：D4．若函数f（x）＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（－2,2） B．[－2,2] C．（－∞，－1） D．（1，＋∞）解析：本题考查了函数零点的判断方法及一元二次方程根与系数的关系．由于函数f（x）是连续的，故只需两个极值异号即可．f′（x）＝3x2－3，令3x2－3＝0，则x＝±1，只需f（－1）f（1）＜0，即（a＋2）（a－2）＜0，故a∈（－2,2）．答案：A二、填空题5．已知方程2x－1＋2x2－a＝0有两根，则a的范围是________________．解析：原方程化为，在同一坐标系内作函数y＝2x－1和y＝－2x2＋a的图象，如右图．要使方程有两根，必须两个函数的图象有两个交点．由于函数y＝2x－1的图象与y轴的交点是（0,eq\f(1,2)），所以，当a＝eq\f(1,2)时，抛物线的顶点与指数函数在y轴的交点重合；当a＞eq\f(1,2)时，它们必有两个交点．答案：6．已知y＝x（x－1）（x＋1）的图象如图所示，今考虑f（x）＝x（x－1）（x＋1）＋，则方程f（x）＝0①有三个实根；②当x＜－1时，恰有一实根（有一实根且仅有一实根）；③当－1＜x＜0时，恰有一实根；④当0＜x＜1时，恰有一实根；⑤当x＞1时，恰有一实根．则正确的结论有.解析：∵f（－2）＝－2×（－3）×（－1）＋＝－＜0，f（－1）＝＞0，即f（－2）·f（－1）＜0，∴在（－2，－1）内有一个实根．由图中知：方程f（x）＝0在（－∞，－1）上，只有一个实根，所以②正确．又∵f（0）＝＞0，由图知f（x）＝0在（－1,0）上没有实数根，所以③不正确．又∵f（）＝×（－）×＋＝－＜0，f（1）＝＞0，即f（）f（1）＜0，所以f（x）＝0在（,1）上必有一个实根，且f（0）·f（）＜0，∴f（x）＝0在（0,）上也有一个实根．∴f（x）＝0在（0,1）上有两个实根，④不正确．由f（1）＞0且f（x）在（1，＋∞）上是增函数，∴f（x）＞0，f（x）＝0在（1，＋∞）上没有实根．∴⑤不正确．并且由此可知①也正确．答案：①②7.x0是方程ax＝logax（0＜a＜1）的解，则x0,1，a这三个数的大小关系是？解析：在同一坐标系中作出函数y＝ax和y＝logax的图象，可以看出：x0＜1，logax0＜1，∴x0＞a，∴a＜x0＜1.答案：a＜x0＜1三、解答题8．设f（x）在[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线，且0≤f（x）≤1.证明：至少有一点c∈[0,1]，使f（c）＝c.证明：如果f（0）＝0或f（1）＝1，就取c＝0或c＝1即可．现设f（0）＞0，f（1）＜1.令F（x）＝f（x）－x，则F（x）在[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线．∵F（0）＝f（0）－0＞0，F（1）＝f（1）－1＜0，∴F（0）·F（1）＜0，∴至少有一点c∈（0,1），使F（c）＝0，即f（c）＝c.综上所述，在每种情形都至少有一点c∈[0,1]，使f（c）＝c成立．9．已知a、b是不全为0的实数，求证：方程3ax2＋2bx－（a＋b）＝0在（0,1）内至少有一个根．证明：若a＝0时，则b≠0，此时方程的根为x＝eq\f(1,2)，满足题意．当a≠0时，令f（x）＝3ax2＋2bx－（a＋b）．（1）若a（a＋b）＜0，则f（0）·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－（a＋b）·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)a))＝eq\f(1,4)a（a＋b）＜0，所以f（x）＝0在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内有一实根．（2）若a（a＋b）≥0，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))f（1）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)a))（2a＋b）＝－eq\f(1,4)a2－eq\f(1,4)a（a＋b）＜0，所以f（x）＝0在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))内有一实根．综上f（x）＝0在区间（0,1）内至少有一根．10．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）＝x0成立，则称x0为f（x）的不动点，已知函数f（x）＝ax2＋（b＋1）x＋b－1（a≠0）（1）当a＝1，b＝－2时，求f（x）的不动点；（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；解答：（1）当a＝1，b＝－2时，f（x）＝x2－x－3，由题意可知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3故当a＝1，b＝－2时，f（x）的不动点－1,3.（2）∵f（x）＝ax2＋（b＋1）x＋b－1（a≠0）恒有两个不动点，∴x＝ax2＋（b＋1）x＋b－1，即ax2＋bx＋b－1＝0恒有两相异实根，∴Δ＝b2－4ab＋4a＞0（b∈R）于是Δ′＝（4a）2－16a＜0解得0＜a＜1，故当b∈R，f（x）恒有两个相异的不动点时，0＜a选做题：1．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x＋3）＝f（x＋1），且x∈[－1,1]时，f（x）＝|x|，则y＝f（x）与y＝log5x的图象交点的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6解析：由f（x＋3）＝f（x＋1）知f（x＋2）＝f（x）故f（x）是周期为2的函数，在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝log5x的图象，可以看出，交点个数为4.答案：B2．已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如