课堂学案配套课件-板块二专题七第2讲

第2讲三角函数、解三角形中的应用题板块二专题七应用题在实际问题中以角为自变量建立函数，利用三角函数的性质求解实际问题.与解三角形有关的应用题，可以利用正弦定理、余弦定理解三角形，进而解决实际问题.考情考向分析NEIRONGSUOYIN内容索引热点分类突破真题押题精练1PARTONE热点一和三角函数有关的应用题热点二和解三角形有关的应用题热点一和三角函数有关的应用题例1

(2019·南通联考)如图，某公园内有一块矩形绿地区域ABCD，已知AB＝100米，BC＝80米，在以AD，BC为直径的两个半圆内种植花草，其它区域种植苗木.现决定在绿地区域内修建由直路BN，MN和弧形路MD三部分组成的观赏道路，其中直路MN与绿地区域边界AB平行，直路为水泥路面，其工程造价为每米2a元，弧形路为鹅卵石路面，其工程造价为每米3a元(a>0)，修建的总造价为W元.设∠NBC＝θ.(1)求W关于θ的函数关系式；解连结NC，AM，设AD的中点为O，连结MO，过N作NE⊥BC，垂足为E.由BC为直径知，∠BNC＝90°，又BC＝80，∠NBC＝θ，所以BN＝80cosθ，NE＝BNsinθ＝80sinθcosθ，因为MN∥AB，AB＝100，所以MN＝AB－2NE＝100－160sinθcosθ，由于∠DOM＝2∠MAD＝2θ，OM＝40，所以

＝40×2θ＝80θ，

因为直路的工程造价为每米2a元，弧形路的工程造价为每米3a元，所以总造价为W＝2a(BN＋MN)＋3a

＝2a(80cosθ＋100－160sinθcosθ)＋3a·80θ，(2)如何修建道路，可使修建的总造价最少？并求最少总造价.则f′(θ)＝－4sinθ－8cos2θ＋8sin2θ＋6＝16sin2θ－4sinθ－2＝2(4sinθ＋1)(2sinθ－1).此时，总造价W最少，最少总造价为(200＋40π)a元.思维升华在求解与三角函数有关的应用题时，首先数形结合建立相关的三角函数模型，再运用三角恒等变换、导数等求解最值，从而解决优化问题.跟踪演练1

(2019·扬州调研)2019年扬州市政府打算在如图所示的某“葫芦”形花坛中建一喷泉，该花坛的边界由两个半径为12米的圆弧围成，两圆心O1，O2之间的距离为12米.在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A，B，C，D均在圆弧上，O1O2⊥AB于点M.设∠AO2M＝θ.(2)求cosθ为何值时，可使喷泉ABCD的面积S最大？解在Rt△AO2M中，AM＝12sinθ，O2M＝12cosθ，则AD＝24cosθ＋12，AB＝2AM＝24sinθ，所以矩形ABCD的面积S＝24sinθ(24cosθ＋12)则f′(θ)＝2(cos2θ－sin2θ)＋cosθ＝4cos2θ＋cosθ－2，列表如下：所以当θ＝θ0时，f(θ)最大，即S最大.热点二和解三角形有关的应用题例2

(2019·盐城模拟)某公园内有一块以O为圆心，半径为20米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝120°，且AB，PQ在点O的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米.设∠OAB＝α，α∈.问：对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？解过O作OH垂直于AB，垂足为H.在Rt△OHA中，OA＝20，∠OAH＝α，所以AH＝20cosα，因此AB＝2AH＝40cosα.由图可知，点P处观众离点O处最远.答

对于任意α，上述设计方案均能符合要求.思维升华用正弦、余弦定理去解决具体实际问题时，应关注图形的特点，找出已知量及所求的量，转化为三角形的边角，在某个三角形内利用正弦、余弦定理构造方程或三角函数式，运用求导或不等式的性质寻找最值.由题意可知S△AEF＝S△AEP＋S△AFP，设∠FPA＝θ，由PF＋PE＝FE，(2)试确定E，F的位置，使三条路围成的△AEF地皮购价最低.解设三条路围成△AEF地皮购价为z元，地皮每平方米购价为k元，则z＝k·S△AEF(k为正常数)，所以要使z最小，只要使S△AEF最小，令t＝4x－7a>0，2PARTTWO真题押题精练121.(2018·江苏，17)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；12解如图，设PO的延长线交MN于点H，则PH⊥MN，所以OH＝10.过点O作OE⊥BC于点E，则OE∥MN，所以∠COE＝θ，故OE＝40cosθ，EC＝40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ·(40sinθ＋10)＝800(4sinθcosθ＋cosθ)，＝1600(cosθ－sinθcosθ).过点N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于点G和K，则GK＝KN＝10.1212(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.12解因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k(k＞0)，则年总产值为4k×800(4sinθcosθ＋cosθ)＋3k×1600(cosθ－sinθcosθ)则f′(θ)＝cos2θ－sin2θ－sinθ＝－(2sin2θ＋sinθ－1)＝－(2sinθ－1)(sinθ＋1).12122.如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边BC＝200m，斜边AB＝400m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F.(1)若甲、乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲晚2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；12解依题意得BD＝300m，BE＝100m，在△BDE中，由余弦定理，得DE2＝BD2＋BE2－2BD·BE·cosB12(2)设∠CEF＝θ，乙、丙之间