第一节 初始近似根的确定

数值计算方法第10章非线性方程（组）及其解法1．根的存在性。方程有没有根？如果有根，有几个根？2．这些根大致在哪里？如何把根隔离开来？3．根的精确化一引言（1.1）本章主要讨论单变量非线性方程的求根问题，这里一类特殊的问题是多项式方程（1.2）的求根问题，其中系数为实数.10.1求实根的对分区间法其中为正整数，且当时，称为单根，若称为（1.1）的重根，或为的重零点.若是的重零点，且充分光滑，则方程的根，又称为函数的零点，它使，若可分解为当为代数多项式（1.2）时，根据代数基本定理可知，次方程在复数域有且只有个根（含复根，重根为个根）.

时方程的根是大家熟悉的，时虽有求根公式但比较复杂，可在数学手册中查到，但已不适合于数值计算，而时就不能用公式表示方程的根.通常对的多项式方程求根与一般连续函数方程（1.1）一样都可采用迭代法.迭代法要求先给出根的一个近似，若且，根据连续函数性质可知在内至少有一个实根，这时称为方程（1.1）的有根区间.1．画出f(x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的位置。2．从左端点x=a出发，按某个预先选定的步长h一步一步地向右跨，每跨一步都检验每步起点x0和终点x0+h的函数值，若那么所求的根x*必在x0与x0+h之间，这里可取x0或x0+h作为根的初始近似。abx*f(x)通常可通过逐次搜索法求得方程（1.1）的有根区间.由此可知方程的有根区间为

例7.1.1

求方程的有根区间.

解根据有根区间定义，对的根进行搜索计算，结果如下：用逐步搜索法进行实根隔离的关键是选取步长h

要选择适当h，使之既能把根隔离开来，工作量又不太大。为获取指定精度要求的初值,可在以上隔离根的基础上采用对分法继续缩小该含根子区间

二分法可以看作是搜索法的一种改进。二二分法考察有根区间，取中点将它分为两半，假设中点不是的零点，然后进行根的搜索.检查与是否同号，如果确系同号，说明所求的根在的右侧,这时令；否则必在的左侧，这时令.不管出现哪一种情况，新的有根区间的长度仅为的一半.对压缩了的有根区间又可施行同样的手续，即用中点将区间再分为两半，然后通过根的搜索判定所求的根在的哪一侧，从而又确定一个新的有根区间，其长度是的一半.如此反复二分下去，即可得出一系列有根区间其中每个区间都是前一个区间的一半，因此的长度当时趋于零，就是说，如果二分过程无限地继续下去，这些区间最终必收缩于一点，该点显然就是所求的根.每次二分后，设取有根区间的中点作为根的近似值，则在二分过程中可以获得一个近似根的序列该序列必以根为极限.由于（1.3）只要二分足够多次（即充分大），便有这里为预定的精度.

例2求方程在区间内的一个实根，要求准确到小数点后第2位.

解这里，而取的中点，将区间二等分，由于，即与同号，故所求的根必在右侧，这时应令，而得到新的有根区间如此反复二分下去,按误差估计（1.3）式,欲使只需，即只要二分6次，便能达到预定的精度.计算结果如表7-1.且f(x)在[2,3]上连续,故方程f(x)=0在[2,3]内至少有一个根。又当时，,故f(x)在[2,3]上是单调递增函数,从而f(x)在[2,3]上有且仅有一根。给定误差限＝0.5×10-3,使用二分法时证明令例３证明方程在区间[2,3]内有一个根,使用二分法求误差不超过的根要二分多少次？误差限为只要取k满足即可，二分法的优点是不管有根区间多大,总能求出满足精度要求的根,且对函数f(x)的要求不高,只要连续即可,计算亦简单;它的局限性是只能用于求函数的实根,不能用于求复根及重根,它的收敛速度与比值为的等比级数相同。即所以需二分10次便可达到要求。二分法是计算机上的一种常用算法，计算步骤为：步骤1准备计算在有根区间端点处的值步骤2二分计算在区间中点处的值

步骤3判断若，则即是根，计算过程结束，否则检验.若