简单超静定系统的受力分析

第六章简单超静定系统的受力分析6.1静定与超静定系统

6.2变形比较法解简单超静定系统6.3能量法解超静定系统6.4对称和反对称特性的应用6.5例题分析以前各章我们确定了构件在各种变形情况下的内力、应力应变、变形、位移的计算方法，尤其在受力分析中只要通过静力学平衡方程就能解决，成为静定问题。但工程中有很多机构和结构，为了更好的承载或提高加工精度、提高刚度，往往增加约束条件，单依靠静力平衡方程是无法求解的，称超静定问题。本章讨论简单超静定（亦称静不定）系统的受力分析。首先要了解系统的概念，掌握静定与超静定的区别，明确超静定系统的解题思路和分析计算方法。当确定了多余约束力之后，系统的内力、应力、应变、位移及强度、刚度、稳定性的分析就迎刃而解了。6.1静定与超静定系统结构系统作为承力的结构，无论是杆件还是杆系，统称为

结构系统，简称为系统，它们都必须具有足够的约束条件，使之有稳定的形状和位置。静定系统平面系统中必须具有三个约束条件，利用独立的三个平衡方程确定三个待定约束力；在空间系统中必须具有六个约束条件，利用空间力系六个独立的平衡方程求解。这一类问题称为静定系统超静定系统仅凭静力平衡方程不能解出全部约束力的系统，称为超静定系统超静定系统仅凭静力平衡方程不能解出全部约束力的系统，称为超静定系统

以右图为例，被车床夹住的工件有FAx、FAy、MA、FBy四个约束反力，而独立的静力平衡方程式仍为三个，不能确定四个未知约束力。待求未知力的数超出所能建立的独立平衡方程数的数目，称为超静定次数。习惯上将超出平衡方程式数目的约束称为“多余”约束，但从提高系统的刚度和稳定性要求来说又是必要的，所以有重要的实用价值。对于一次超静定系统常采用变形叠加法列出变形协调条件，由物理方程得到补充方程，与静力平衡方程一起即可求解，称为变形比较法。多次超静定系统常利用能量原理仍以“力”作为基本未知量进行求解，故称为力法。解题思路都是将原超静定系统的“多余”约束去掉，得到几何不变的静定系统，称之为原系统的基本系统（也称静定基）。将已知的载荷和待定的未知广义力都视为外力作用在所选择的基本系统上，如果依此求得的待定未知广义力即为原系统的“多余”约束力，那么后者系统的变形情况一定与原系统是完全相当的，所以将这个后者系统称为相当系统。

以图a所示A端固定B端活动铰支座的一次超静定梁为例。图b、c、d为原超静定梁的基本系统（即静定系统）以上提出的附加要求是基于变形一致的原则，常称为变形协调条件（亦称几何方程）。它必须满足小变形条件，将物理方程(胡克定律)，即建立力与位移的关系代入几何方程中成为以力为待求量的补充方程。n次超静定，就要建立n个补充方程，以弥补静力平衡方程数的不足，这样就能求出所有以力为待求的未知值。

（a）（b）（c）（d）

若利用广义力和广义位移的概念，将待定的未知力都用Xi表示（i=1,2,…,n），变形协调条件都用表示，那么，其中第一项是已知外力Fi在已知变形协调条件处的位移，第二项是待求未知力Xi在上述位置处的位移，显然上面所指的力和位移都是广义的，这样变形协调条件都可写成相同的形式，最后得出一组线性方程式，为力法的正则方程（典型方程）。

6.2变形比较法解简单超静定系统要使相当系统代替原超静定系统，应使两者变形完全一致，使相当系统在去掉“多余”约束后，在该处的位移（广义位移）满足原超静定系统在该处的约束条件，这就是变形比较法。6.2.1拉伸（压缩）超静定系统

如图a所示平面桁架是静定系统。桁架中，在A节点处添加一杆件AD（图c），为一次超静定系统。三个位移间必然满足几何关系：仍选图a作为基本系统，将AD杆作为“多余”约束，视为待求的广义力，将载荷F和作用在基本系统上成为相当系统。那么在、、和F作用在节点A后，使AC和AD杆伸长（Δ2、Δ3），AB杆缩短（Δ1）。原系统的上述三杆汇交在节点A，在相当系统上，变形后仍应汇聚在一个新位置A′（图e)。变形协调条件（1）设三杆的刚度分别为E1A1，E2A2，E3A3，长度分别为l1

，l2

，l3

。（a）由（4.1）得将式（b）带入（a），得补充方程为（c）（b）而平衡方程为（d）（e）联立求解（c）、（d）、（e）三式，设l1=l，l2=lcosα，l3=l1=l解得（f）说明静定系统的受力与其刚度无关，而超静定系统的受力与其刚度密切相关。（c）例6.1求图a所示等直杆AB上、下端的约束力，并求C截面的位移。杆的拉压刚度为EA。解:(1)有两个未知，但只有一个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。(2)取固定端B为多余约束。相应的相当系统如图，它应满足相容条件(3)补充方程为(4)由平衡方程FA+FB-F=0(5)利用相当系统求得例6.2设1、2、3三杆用铰连接如图所示。已知1、2两杆的长度、横截面面积及材料均相同，即l1=l2=l，A1=A2=A，E1=E2=E；杆3的长度为l3，横截面面积为A，其材料的弹性模量为E3.试求在沿铅垂方向的外力F作用下各杆的轴力。解：(1)静力平衡方程(2)补充方程得补充方程为(3)各杆轴力本例中也可将杆3与杆1、2的结点A间的铰接视为多余约束，其多余未知力为一对分别作用于杆3和杆1、2结点A的力

，相应的基本静定系如图所示，其变形相容方程为

。若已知

与杆系外力

间的物理关系，则由补充方程即可解得多余未知力

。例6.3在图所示的结构中，设横梁AB的变形可以省略，1,2两杆的横截面面积相等、材料相同。试求1,2两杆的内力。解：(1)静力平衡方程设1,2两杆的轴力分别为FN1和FN2，由AB杆的平衡方程，得(2)补充方程由于横梁AB是刚性杆，结构变形后，它仍为直杆，变形协调方程(3)由胡克定律例6.4根具有等刚度（EA）和等长度（l）的弹性杆，在顶部D端用刚性螺栓联接如图a。三杆中左右两杆CC1和HH1的下端C、H处有刚性支承不能向下移动，中间杆DB下端为自由边界，受轴向载荷F作用（图b）。试求：（1）中间杆BD两端的相对位移ΔBD和B端的位移ΔB。（2）如果中间杆的B端也为刚性支承，轴向载荷F作用在顶部D，中间杆BD的相对位移ΔBD’又如何。（3）如果三根杆底部均为刚性支承，不受载荷作用，但中间杆DB受到升温Δt℃的影响，材料的线膨胀系数为α，则中间杆的两端相对位移ΔBD’又如何？解：（1）在F力作用下，三杆都有变形。由于左右两杆下端都有刚性支承,故三杆的轴力分别为使D端由于左右两杆受压而向下位移了，即则DB中间杆两端的相对位移为（2）如果B端也是刚性支承，平衡方程为无法求解三个未知轴力，故为一次超静定系统。变形协调条件为补充方程为

从而得DB中间杆的相对位移由于B端不移动，所以DB杆的相对位移即为D端的位移。结果与（1）比较，超静定系统的刚度增强了，位移变小了。（3）如果三杆约束与（1）一样，但不受F力作用，就在中间杆受升温影响，则中间杆可自由伸长。而中间杆D端仍在原位，所以中间杆两端的相对位移为根据题意DB杆下端也受刚性支承约束，它升温后，自由伸长受到左右两根弹性杆的约束限制，由于D端是刚性螺栓，热涨后仍应保持水平位置。所以左右两杆必然要拉长，而中间杆受限制，要缩短（图c），得变形协调条件为变形协调条件而平衡方程为

于是得补充方程为解得

DB中间杆的相对位移为由于B处位移为ΔB=0，所以DB杆的相对位移ΔBD即为D处受温度影响的最终位置，它就是左、右两杆受温度影响的伸长位移

这都是由于温度改变而引起超静定系统的温度内力，由此引起温度应力：（压应力），（拉应力）

。但在静定系统中是不存在的。例6.5长度为l的钢柱与铜管，置于两刚性平板之间，（图5-12,a）钢柱和铜管的抗拉（压）刚度各为ESAS和ECAC，线膨胀系数各为αS和αC，在轴向压力F作用下，当钢柱和铜管同时受到升温Δt的影响，试导出载荷F仅由钢柱承受时，需增加的温度Δt为多少。

解：由于铜的线膨胀系数高于钢，即αC>αS。设该装置底部A的位置相对固定，则在无刚板约束下，铜管和钢柱由于升温Δt而自由膨胀的位移为

其中在轴向压力F作用下，铜管压缩位移的临界值Δc为接近钢柱的热膨胀位移Δts。变形协调条件于是得补充方程为解得：例6.6下图表示铜套筒中穿过一个钢螺栓，已知它们的抗拉（压）刚度分别为ECAC和ESAS。当螺母未拧紧时，两垫圈之间的距离为l。若把螺母旋紧1/5圈，螺距为h，求铜套筒和钢螺栓杆所受的压力。

解：若把螺母旋紧h/5，使螺栓受到拉力、套筒受到压力。用截面法将该联接装置假想切开，以和分别代表套筒的轴向压力和螺栓的轴向拉力。两个待定未知力，只有一个平衡方程：

故为一次超静定系统，需要找出一个变形协调条件，建立一个补充方程，它们分别是套筒和螺栓所受到的应力分别为：

6.2.2扭转超静定系统

变形协调条件是使相当系统在“多余”约束处的位移与原系统相一致，物理条件采用剪切胡克定律，使变形协调条件改写成以力（广义力）为待求量的补充方程式，与静力平衡方程式联立求解。变形协调条件建立在求扭转角的基础上，补充方程一般以转矩为广义力。图5-5所示为端部固定的实心圆轴和空心圆管在C处用销钉联接。

轴和管配装后组成一个受力系统。当管的B端没有约束时，只需转动一个角，很易配装，不引起任何后果，不产生任何作用力，系统是静定的。如果管材在B端是固定的，销孔的制造误差在强行装配后会引起附加的应力，称为装配应力，组成一个受扭变形的超静定系统。

例

圆轴AB在AC段为实心圆截面，直径D=20mm，CB段为空心圆截面，内外径分别为d=16mm和D=20mm。轴两端A、B为固定端，在实心和空心交界截面C处受力偶矩Me=120N·m作用如图a，已知轴材料的切变模量G=80GPa，试求该轴最大单位扭转角。解：将轴两端约束去掉代之以待求约束反力MA和MB，得平衡方程为ΣMA=0,Me－MA－MB=0为一次超静定系统，变形协调条件为变形协调条件补充方程由式（4.4，C）得解得由于AC段和CB段的极惯性矩不相同，应在和中取其较大者来计算该轴的最大单位扭转角。

由于AC段和CB段的极惯性矩不相同，应在和中取其较大者来计算该轴的最大单位扭转角。

例

芯轴和套管用胶带牢固粘合在一起成为一受扭圆轴（图a）。已知芯轴和套管的抗扭刚度分别为和，试求在外力偶Me作用时，芯轴和套管的扭矩。解：由于AB轴由芯轴和套管两部分组成，在Me作用下，每一部分承受的扭矩分别为T1和T2（图b），但平衡方程仅有一个

ΣMX=0,T1+T2－Me=0为一次超静定。变形协调条件为芯轴和套管的扭转角和应该相等，即变形协调条件补充方程为解得6.2.3弯曲超静定系统

图a为等刚度三支座梁为一次超静定系统，需建立一个变形协调条件，得一个补充方程。（1）选取基本系统。为了不破坏对称性，选取图b简支梁为宜。（2）取相当系统，将均布力q和“多余”约束力FCy作为外力，相当系统如图c。（3）建立变形协调条件。由于原系统的挠曲线如图a虚线所示，在支座C处的挠度为零，所以相当系统（图c）的挠曲线也应与原系统一致。即（a）（4）写出物理方程（可查附录Ⅱ）（5）代入变形协调方程式（a），得补充方程为

（b）解得“多余”约束力为结果为正，表明假设C处的约束反力

FCy（↑)的方向是正确的。（6）代入静力平衡方程式如果利用对称性，必然FAy=FBy，可免去（d）,由式（e）得到（c）（d）（e）剪力图例

长度为l、抗弯刚度为EI的超静定梁AB，在C截面处承受集中荷载F，如图所示。试作梁的弯矩图。解：（1）设支座B为多余约束，相应的多余约束力为FB，选取图所示的悬臂梁为基本系统。（2）建立变形协调条件。比较基本系统和原结构，在支座B处应满足相同的变形条件，即（3）通过查表5.1，可以得到

（4）代入变形协调方程式，得补充方程为（5）作梁的弯矩图。6.3能量法解超静定系统6.3.1摩尔定理解超静定系统

图a为梁、桁架组合结构，由横梁AB和三根杆1、2、3组成，在梁跨中C处受铅垂集中力F作用，设梁的抗弯刚度为EI杆的抗拉（压）刚度均为EA，且，忽略轴向力对梁的影响，试确定该系统的内力。（a）此结构为一次内力超静定系统。设选3杆为多余杆，则图b为其相当系统，将3杆截开，在m、m′上代之以轴力。（b）（b）变形协调条件根据相当系统的受力，由对称性得系统在A、B处的约束反力由节点D，可求出杆1和2的轴力为（c）在对称结构、对称力作用下梁的弯矩方程AC段和CB段也一定是对称的，只要列出AC段，则为求相对位移，需在3杆的m、m′截面各加一单位力，如图c所示，得（b）（c）由莫尔积分式（4.30），得补充方程为6.3.2图乘法解超静定系统

图a，试绘内力图，确定危险截面。

这是一次外力超静-定系统，设取图b为相当系统，为便于采用图乘法，将分布力引起的和待定多余约束Fcy引起的弯矩图分别绘于图c、d，由单位广义力FCy引起的弯矩图为图e。变形协调条件为,由式（4.33），得图乘法表示的补充方程为：由平衡条件可得6.3.3力法解超静定系统

在力法中往往将补充方程写成普遍适用的标准形式，特别强调广义力和广义位移概念的应用。变形协调条件。现以图a为例，它是一次外力超静定系统，需建立一个补充方程。取支座B为多余约束FBy,如写成普遍形式，用X1代替，图b、c分别为基本系统和相当系统。如以Δ1表示在F和X1共同作用下，相当系统在B截面沿X1方向的位移。因为B为活动铰支座，它在X1方向受到约束，位移为零，所以（a）（b）（c）（d）（e）（f）（d）（e）（f）要计算Δ1，可以分别算出基本系统在外力F和未知力X1分别作用时的位移，各用Δ1F和表示（图d、e），其中第一个脚标表示发生位移的地方和方向，第二个脚标表示引起该位移的因素。由叠加原理，得(5.2)系数δ11和常数Δ1F可由莫尔积分（对于直杆可用图乘法）求出，由式（5.2）就能求出未知力X1

。式（5.2）中的位移和力均可表示为广义位移和广义力。F代表广义载荷，X1表示“多余”的广义约束力（外力或内力）。所以式（5.2）即为力法的基本方程。

当超静定系统为n次时

(5.3)(5.4)δ12=δ21，δ13=δ31，…δn1=δ1n，即δij=δji(i=1,2,…n;j=1,2,…n)。所以式（5.4）中的系数矩阵是对称矩阵。

6.4对称和反对称特性的应用如图a所示，为两端固定的半园弧曲杆结构，其几何条件、约束条件和刚度都与对称轴是对称的，称为对称结构。其特点是将结构绕对称轴折叠后，在对称轴两侧部分完全重合。如果在该结构的对称位置作用的载荷，其大小、方向、性质完全相同，即与对称轴完全重合，则称为对称载荷（图b）反之，若为反向重合则为反对称载荷（图c）。

将系统在对称轴处切开，一般暴露出三个内力FN、FS、M作为多余未知力，使求外力超静定改变为求内力超静定。轴力和弯矩M是对称内力，而剪力FS和扭矩T是反对称内力。

在对称载荷作用下，在对称轴处切开的截面上，只有对称内力，而反对称内力必为零，即FS=0（图d）。在反对称载荷作用下，对称轴处的截面上只有反对称内力，而对称内力必为零，即FN=0,M=0（图e）

。注意：上述结论只在对称截面处成立，对其它截面不成立。例6桁架如图a所示，杆的刚度均为EA，在F力作用下，求桁架内力。

解这是一次内力超静定系统，可用变形比较法，也可用力法方程求解，由式（5.1）

用力法求解时，设将6杆作为多余杆，将它在任一截面m-m切开，代以待定未知力X1=1，求得单位力状态的内力