异面直线所成角的计算

异面直线所成角的计算

石家庄市第十五中学姚素月ab′bO一.复习定义，奠定基础注意：异面直线所成角的范围是直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O,分别引直线a′∥a,b′∥b。我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.（0，]a′预备知识角的知识正弦定理a=2RsinAa=2RsinASABC=bc

sinA余弦定理ABCbcacosA=ABCbca★求角的步骤：1.确定角2.求角求异面直线所成角的步骤有哪些？想一想

二实际操作，形成技能（一)请同学们在练习本上规范写出下列题目，然后小组内交流，交流完后派代表到前面展示，其他小组认真聆听，并加以完善。ADCBFE例1、在三棱锥A-BCD中AD=BC=2a，E，F分别是AB，CD的中点EF=，求AD和BC所成的角M∠EMF=120ºAD和BC所成的角为60º切记:别忘了角的范围!!例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，如图，连B1D1与A1C1交于O1，于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）O1MDB1A1D1C1ACB解：为什么？于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角），例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，如图，连B1D1与A1C1交于O1，解：为什么？O1MDB1A1D1C1ACB由余弦定理得A1C1与BD1所成角的余弦值为方法归纳：平移法连A1M，在A1O1M中即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。解法二：方法归纳：补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。在A1C1E中，由余弦定理得A1C1与BD1所成角的余弦值为

如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，F1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的方体B1F

，(二)、数学思想、方法、步骤总结：解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。2.方法：3.步骤：求异面直线所成的角：①作（找）②证③求1.数学思想：平移构造可解三角形正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OB1与A1C1所成的角的度数为A1B1C1D1ABCDO练习1900在正四面体S-ABC中，SA⊥BC,E,F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）CSABEFD(A)300(B)450(C)600(D)900练习2BSABEFCDG练习2（解法二）SACBEFSABEFC练习2（解法三）练习3：如图，P为ΔABC所在平面外一点，PC⊥AB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。

（1）求证：EF与PC为异面直线；（2）求EF与PC所成的角；（3）求线段EF的长。ABCPEF假设EF与PC不是异面直线,则EF与PC共面由题意可知其平面为PBC这与已知P为ΔABC所在平面外一点矛盾练习3：如图，P为ΔABC所在平面外一点，PC⊥AB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。

（1）求证：EF与PC为异面直线；（2）求EF与PC所成的角；（3）求线段EF的长。ABCPEF为EF与PC所成的角或其补角EF与PC所成的角为练习3：如图，P为ΔABC所在平面外一点，PC⊥AB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。

（1）求证：EF与PC为异面直线；（2）求EF与PC所成的角；（3）求线段EF的长。ABCPEF练习4．如图，a、b为异面直线，直线a上的线段AB=6cm，直线b上的线段CD=10cm，

E、F分别为AD、BC的中点，且EF=7cm，求异面直线a与b所成的角的度数．ABCDEFab定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）小结：1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角，体现了化归的数学思想。2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的范围：（1）当cosθ

＞0时，所成角为θ（2）当cosθ

＜0时，所成角为π－θ（3）当cosθ=0时，所成角为3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有关知识解决。90o（2）补形