高中数学空间几何体的表面积与体积

球的体积和表面积知识导图学法指导球心和球的半径是球的灵魂，抓住了球心就抓住了球的位置，知道了球的半径就可求出球的体积和表面积．．在许多有关球的问题中，要画出实际空间图形比较困难，但平面图形的问题来解决．高考导航高考考查球的题型有：计算球的表面积或体积；求球与其他简单几何体的组合体的表面积或体积．常以选择题或填空题的形式出现，难度较低，分值

分.知识点 球的表面积与体积公式一个关键掌握好球的表面积公式

＝πR，球的体积公式

V

＝πR是公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．．两个结论两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．(2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方．：

π：

π＝

：，解析：πr．判断下列命题是否正确.

正确的打“√”，错误的打“×”两个球的半径之比为 ： ： 经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径． ☆答案☆：√ √．如果两个球的体积之比为

：，那么两个球的表面积之比为 A． ： B． ：． ： ． ： ∴r ：＝ ：，∴ ：＝ ：☆答案☆：．一条直线被一个半径为

的球截得的线段长为

，则球心到直线的距离为 A． B．． ．解析：如图所示，d＝ －＝☆答案☆：．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球的表面积为________．解析：

长方体外接球直径长等于长方体对角线长，即

＝＋＋＝

，所以球的表面积＝4π＝14π.☆答案☆：14π类型一 球的体积与表面积32π例

球的体积是

，则此球的表面积是 16π 64πA．12π B．16π C.

【解析】 设球的半径为

，则由已知得π【解析】 设球的半径为

，则由已知得π＝

，解得

设球半径为r

，则由＋＝可得×πr＋πr×球球的半径与圆柱的底面半径相同如图所示，则球的半径是________cm. 32π＝故球的表面积

＝4π＝16π.＝πr×r，解得

r＝故球的半径是

【☆答案☆】 ,利用球的体积公式先求半径R，再利用球的表面积公式求解．＝π＝π中系数的特征及半径的立方．方法归纳积公式

＝4π中系数的特征及半径的平方．必要时需逆用表面积公式得到球的半径关于表面积的关系式．同时还应注意体积公式

注意：计算与球有关的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠．,

＝

×

＝

×

.为原来的 A．

倍 B．

倍 C.

倍．

倍一个半球的表面积为，则相对应的此球的半径应为 3π 3πA.3π B.

3π C.

3π

3π解析：设改变前、后球的半径分别是

r，r′，则由条件可知4πr′＝×4πr.4πr′ 4πr∴r′＝

r，′＝

＝πr＋2πr＝，∴r＝

3π3π

.☆答案☆： 先根据球的表面积的关系，得出半径之比，再求出体积之比．类型二 球的截面问题例

一平面截一球得到直径为

圆面的距离是

，则该球的体积是 A．12π

cm B．36π

cm ．

π

cm．108π

cm已知球的两平行截面的面积分别为5π

和

8π同一侧，且距离为

，则这个球的表面积为________．接

，则

垂直于截面圆

.在接

，则

垂直于截面圆

.在

eq

\o\ac(△,OO)

中，

＝

，

＝

，∴球的体积

＝×π×＝36π

(cm． ∴球的半径

＝＝ ＋

＝

，＝，则

＝在

eq

\o\ac(△,OO)

＝，则

＝在

eq

\o\ac(△,OO)

中，＝，

＝，

＝r

，则

r＝－，∴πr在

eq

\o\ac(△,OO)

中，＝，

＝＋，

＝r

，则

r＝－＋，∴πr＝π[－＋＝5π，即

－＋＝

②.以

r

为半径，

为圆心的截面圆的面积为

8π，球的半径为

， ＝π(－＝8π，即

－＝ ①. 由①②得

＝，＝∴球的表面积为

＝4π＝4π×＝36π.【☆答案☆】 (2)36π作经过球心和截面圆圆心的轴截面；作截面图时，注意两个截面在圆心的同一侧，构成两个直角三角形，再求解．方法归纳球的截面问题的解题方法 在 在

△

中，∠＝，＝

，＝

＝

×＝ ，＝，由勾股定理得

＋＝，解得

＝

化为平面中圆的有关问题解决．球的半径，球心到截面的距离

d，截面圆的半径

r

d＝－r，可知二求一．跟踪训练

球面上有三个点

，，，其中＝，＝，＝，且球心到平面

的距离为球半径的一半，那么这个球的半径为 A． B． ．

．

解析：平面

截球所得的截面是一个圆面，，，

三点在这个圆面的圆上，∵＝，＝，＝，∴＝＋，∴

为这个圆的直径．设

的中点为

M

，球的半径为，则M

为截面圆的圆心，

为其半径， ☆答案☆：先证明三角形

ABC

是直角三角形，AC

AC

的中点为，则

为截面圆的圆心，

为其半径，求出，找到

与球半径的关系，利用勾股定理求出球半径即可．,类型三 内切球与外接球问题例

已知

，

是球

的球面上两点，∠＝，

为该球面上的动点．若三棱锥

－

体积的最大值为

，则球

的表面积为 A．36π B．64π ．144π．256π【解析】 如图，设球的半径为

，因为∠＝，＝＝.

eq

\o\ac(△,，而)eq

\o\ac(△,，而)

面积为定值，＝

最大，最大为××＝，所以当点

到平面

的距离最大时，所以当

为与球的大圆面

垂直的直径的端点时，体积

所以

＝所以球

的表面积

＝4π＝4π×＝144π.故选

C.【☆答案☆】 解题时要认真分析图形，明确切点、接点的位置，作出合适的辅助图形，确定有关元素间的位置和数量关系．方法归纳处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径“切点”或“接点”转化为平面问题来计算．跟踪训练

已知圆柱的高为

，它的两个底面的圆周在直径为

的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 3π π πA．π B.

解析：如图所示，由题可知球心在圆柱的中心处，球的半径

＝－

＝

，，圆柱的高－

＝

，

则圆柱的体积

则圆柱的体积

＝πr＝ .故选

B.☆答案☆：B先确定圆柱上、下底面圆的半径，然后再求该圆柱的体积.解析：设两球的半径分别为r

，r

，表面积分别为

解析：设两球的半径分别为r

，r

，表面积分别为

，

，一、选择题每小题

分，共

分．已知两个球的半径之比为 ：，那么这两个球的表面积之比为 A． ： B． ：． ： ． ： ∵r ：r＝ ：，∴

：

＝4πr

：4πr＝r

：r＝

：故选

A.☆答案☆：A．

安徽省合肥市检测平面

α

截球

所得截面圆的半径为，球心

到平面

α

的距离为

，则此球的体积为 ＋

＝

＋

＝

，所以球的体积

＝

．

π D．

π解析：

球的半径

＝

π＋πr＝12π，解析：π＋πr＝12π，解析：设大球半径为r，所以r＝

，所以

－r＝－＝☆答案☆：B．两球的体积之和是

12π，它们的大圆周长之和是

6π，则大球与小球的半径之差是 A． B．． ． 2π＋2πr＝6π，＝得☆答案☆：A．已知一个正方体的体积是

，则这个正方体的内切球的表面积是 A．8π B．6π．4π D．π解析：设该正方体的棱长为

r

＝，∴＝，∴正方体的内切球直径为

，r＝，∴内切球的表面积

＝4πr＝4π.☆答案☆：

．半径为 π

的球的体积与一个长、宽分别为

的长方体的体积相等，则长方体的表面积为 A． B．． ．，故球的体积为π，故球的体积为π＝π·

π

π＝，则长方体的高为

48÷6÷4＝，故长方体的表面积为

××＋×＋×＝＝

π×

＋＝

π×

＋

π×

＋解析：设大铁球的半径为

，由ππ×

，得

＝，得

＝☆答案☆：二、填空题每小题

分，共

分．已知三棱锥

P－

中，⊥底面

，＝，底面

是边长为

的正三角形，三棱锥P－

的体积为________．解析：依题意有，三棱锥P－

的体积 ＝·|＝×

××＝

☆答案☆：

．把直径分别为

的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________

☆答案☆：．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为

，深为

的空穴，则该球半径是________

，表面积是________

.解析：设球心为

，

是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为

，

为小圆

的一条直径，设球的半径为

，则

＝－

，则－＋＝，解之得

＝

，所以该球表面积为＝4π＝4π×＝100π(cm．☆答案☆： 100π三、解答题每小题

分，共

分．若三个球的表面积之比为

：

：，求这三个球的体积解析：设三个球的半径分别为解析：设三个球的半径分别为

，

，

， ∵三个球的表面积之比为 ：

：， ∴4π ：4π ：4π＝ ： ：，即

： ： ：，

：

：

＝ ： ：，

：

：

＝：

＝π：π ：π＝

：

：

：＝

：

：．已知球心

到过球面上三点

，，

的截面的距离等于球半径的一半，且

＝＝＝

，求球的体积．且

′＝

＝

设球的半径为

，则

′且

′＝

＝

设球的半径为

，则

′＝.

，′，因为

＝＝＝

，所以

′为正三角形

的中心，由球的截面性质，知 eq

\o\ac(△,OO)′

为直角三角形，－＝

，所以

＝－＝

，所以

＝

所以

＝π＝π

(cm．能力提升

分钟，

分．已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为

的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 3πA．π B.

π π 解析：设圆柱的底面半径为r，球的半径为

，且

＝，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，

及圆柱的高的一半构成直角三角形．－

－

＝

.

∴圆柱的体积为

∴圆柱的体积为

＝πr＝

π×＝

4.故选

B.☆答案☆：B．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为

、

、

，则它的外接球的表面积为________．解析：设长方体的有公共顶点的三条棱的长分别为

、、，则＝由已知得

＝＝

，，，

＝

，解得

＝，＝

所以球的半径

＝＋＋＋＝所以

＝4π＝9π.解析：设正方体棱长为，三个球的半径依次为

，

，

，则有

＝，

＝，

＝

，

＝

，

＝

，

＝

，所以☆答案☆：9π．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个球的表面积之比．

：

：

：

＝ ：

：

：

：

所以

：

＝

：＝

：

：即这三个球的表面积之比为 ： ：

的圆锥内接于一个体积