《走向清华北大》高考总复习 函数的单调性与最大(小)值课件

第六讲函数的单调性与最大(小)值回归课本1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2.当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说y=f(x)在这一区间上具有单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.(3)若函数y=f(x)在某个区间内可导,当f′(x)>0时,f(x)为增函数;当f′(x)<0时,f(x)为减函数.2.函数的最值前提一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I,都有f(x)≤M;①对于任意x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M.②存在x0∈I,使得f(x0)=M.结论M为最大值M为最小值结论 M为最大值 M为最小值定义在闭区间上的单调函数必有最大(小)值.设f(x)是定义在[m,n]上的单调增函数,则它的最大值是f(n),最小值是f(m).考点陪练1.(2010·福建)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的是()A. B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1)答案:A答案:B答案:D答案:C5.设x1,x2为y=f(x)的定义义域内内的任任意两两个变变量,有以下下几个个命题题:①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0;②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0;其中能能推出出函数数y=f(x)为增函函数的的命题题为________.答案:①③③类型一一函函数单单调性性的判判定与与证明明解题准准备:判断函函数的的单调调性的的常见见方法法有三三种:定义法法､直接法法､图象法法.1.用定义义法证证明函函数单单调性性的步步骤:(1)取值:设x1,x2为该区区间内内任意意的两两个值值,且x1<x2,则Δx=x2-x1>0;(2)作差变变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并通过过因式式分解解､配方､有理化化等方方法,向有利利于判判断差差值符符号的的方向向变形形;(3)定号:确定差差值Δy的符号号,当符号号不确确定时时,可考虑虑分类类讨论论;(4)判断:根据定定义作作出结结论.2.直接法法:运用已已知的的结论论,直接得得到函函数的的单调调性.如一次次函数数､二次函函数､反比例例函数数的单单调性性均可可直接接说出出.了解以以下结结论,对直接接判断断函数数的单单调性性有好好处:(1)函数y=-f(x)与函数数y=f(x)的单调调性相相反;(2)当f(x)恒为正正或恒恒为负负时,函数与与y=f(x)的单调调性相相反;(3)在公共共区间间内,增函数数+增函数数=增函数数,增函数数-减函数数=增函数数等;(4)复合函函数单单调性性判断断,要注意意掌握握“同增､异减”的原则则.3.图象法法:是根据据函数数的图图象直直观判判断函函数在在某个个区间间上的的单调调性的的方法法.[反思感感悟]利用函函数单单调性性的定定义证证明f(x)的单调调性时时,比较f(x1)与f(x2)的大小小常用用作差差法,有时可可运用用作商商法､放缩法法等;讨论函函数的的单调调性值值域问问题不不可忽忽视函函数的的定义义域.类型二二函函数的的奇偶偶性与与单调调性解题准准备:因为奇奇函数数的图图象关关于原原点对对称,所以结结合图图象可可得奇奇函数数在(a,b)与(-b,-a)上的单单调性性相同同.因为偶偶函数数的图图象关关于y轴对称称,所以偶偶函数数在(a,b)与(-b,-a)上的单单调性性相反反.[分析]利用f(-x)=-f(x)求a,b的值.∵x21+1>0,x22+1>0,x2-x1>0,而x1,x2∈[0,1]时,x1x2-1<0,∴当x1,x2∈[0,1]时,f(x1)-f(x2)<0,函数y=f(x)是增函函数;当x1,x2∈[1,+∞)时,f(x1)-f(x2)>0,函数y=f(x)是减函函数.又f(x)是奇函函数,∴f(x)在[-1,0]上是增增函数数,在(-∞∞,-1]上是减减函数数.又x∈[0,1],u∈[-1,0]时,恒有f(x)≥≥f(u),等号只只在x=u=0时取到到,故f(x)在[-1,1]上是增增函数数.(3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增,在[1,+∞∞)上递减,则f(x)在x=1处可取得最最大值.∴f(1)=，∴函数的最最大值为,无最小值.类型三求求函数的最最值解题准备:(1)若函数是二二次函数或或可化为二二次函数型型的函数,常用配方法法.(2)利用函数的的单调性求求最值:先判断函数数在给定区区间上的单单调性,然后利用单单调性求最最值.(3)基本不等式式法:当函数是分分式形式且且分子分母母不同次时时常用此法法.(4)导数法:当函数较复复杂(如指､对数函数与与多项式结结合)时,一般采用此此法.(5)数形结合法法:画出函数图图象,找出坐标的的范围或分分析条件的的几何意义义,在图上找其其变化范围围.[分析]在解决该类类型函数的的最值时,首先考虑到到应用均值值不等式求求解,但须逐一验验证应用均均值不等式式所具备的的条件.若条件不具具备,应从函数单单调性的角角度考虑.类型四抽抽象函数的的单调性与与最值解题准备:抽象函数是是近几年高高考的热点点,研究这类函函数性质的的根本方法法是“赋值”,解题中要灵灵活应用题题目条件赋赋值转化或或配凑.【典例4】函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.(1)求证:f(x)是R上的增函数数;(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.[分析](1)是抽象函数数单调性的的证明,所以要用单单调性的定定义.(2)将函数不等等式中抽象象的函数符符号“f”运用单调性性“去掉”,为此需将右右边常数3看成某个变变量的函数数值.[解](1)设x1,x2∈R,且x1<x2.∴x2-x1>0,则f(x2-x1)>1.∵f(a+b)=f(a)+f(b)-1,∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1又f(x2-x1)-1>0,因此f(x2)>f(x1),故f(x)在R上是增函数数.(2)令a=b=2,则f(4)=2f(2)-1.又f(4)=5,∴f(2)=3.原不等式即即为f(3m2-m-2)<f(2).由(1)知f(x)在R上是增函数数,∴3m2-m-2<2.[反思感悟](1)若函数f(x)是增函数,则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2,函数不等式式(或方程)的求解,总是想方设设法去掉抽抽象函数的的符号,化为一般不不等式(或方程)求解,但无论如何何都必须在在定义域内内或给定的的范围内进进行.(2)在解答过程程中易出现现不能正确确构造f(x2-x1)的形式或不不能将不等等式右边3转化为f(2)从而不能应应用函数的的单调性求求解,导致此种错错误的原因因是没有熟熟练掌握单单调性的含含义及没弄弄清如何利利用题目中中的已知条条件或者不不能正确地地将抽象不不等式进行行转化.错源一不不注意分段段函数的特特点[剖析]本题的错误误在于没有有注意分段段函数的特特点,只保证了函函数在每一一段上是单单调递减的的,没有使函数数f(x)在(-∞,1]上的最小值值大于(1,+∞∞)上的最大值值,从而得出错错误结果.[答案]C错源二判判断复合合函数的单单调性时,未弄清内､外函数的单单调性而致致错技法一复复合法[方法与技巧巧]复合函数求求单调区间间是一个难难点,我们应明确确单调区间间必须是定定义域的子子集,当求单调区区间时,必须先求出出原复合函函数的定义义域,再根据基本本函数的单单调性与““同为增,异为减”的的原则判断断复合函数数的单调区区间.技法二定定义法[方法与技巧巧]利用函数单单调性的定定义求单调调区间的关关键有两点点:一是对f(x1)-f(x2)要正确变形形,主要途径有有:因式分解､配方､通分､有理化等