【创新方案】高考数学 第七章第七节 立体几何体中的向量方法课件 新人教A

1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则(

)A．l1∥l2

B．l1⊥l2C．l1与l2相交但不垂直

D．以上均不正确解析：∵a·b＝2×(－6)＋4×9＋6×(－4)＝0，∴a⊥b，从而l1⊥l2.答案：B2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为(

)A．45°B．135°C．45°或135°D．90°答案：C3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为________．4．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1

中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.(1)求证：BC1⊥AB1；(2)求证：BC1∥平面CA1D.证明：如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．1．两个重要要向量(1)直线的方向向向量直线的方向向向量是指指和这条直直线平行(或重合)的向量，一一条直线的的方向向量量有个．(2)平面的法向向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量量，则这个个向量叫做做平面α的法向量．．显然一个个平面的法法向量有个，它们是是共线向量量．无数无数2．直线的方方向向量与与平面的法法向量在确确定直线和和平面位置关系中的的应用(1)直线l1的方向向量量为u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)．如果l1∥l2，那么u1∥u2⇔u1＝λu2⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2；如果l1⊥l2，那么u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)直线l的方向向量量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为为n＝(a2，b2，c2)．若l∥α，则u⊥n⇔u·n＝0⇔.若l⊥α，则u∥n⇔u＝kn⇔.(3)平面α的法向量为为u1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为为u2＝(a2，b2，c2)．若α∥β，u1∥u2⇔u1＝ku2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)；若α⊥β，则u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔.a1a2＋b1b2＋c1c2＝0a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2a1a2＋b1b2＋c1c2＝03．利用空间间向量求空空间角(1)求两条异面面直线所成成的角设a、b分别是两异异面直线l1、l2的方向向量量，则(2)求直线与平平面所成的的角设直线l的方向向量量为a，平面α的法向量为为n，直线l与平面α所成的角为为θ.则sinθ＝|cos〈〈a，n〉|＝.考点一利用空间向量证明平行、垂直关系如图所示，，在四棱锥锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面面PAB⊥平面PAD.如图，已知知直三棱柱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角角三角形，，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求证：B1F⊥平面AEF.(2010·天津高考)如图，在长长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求异面直线线EF与A1D所成角的余余弦值；(2)证明AF⊥平面A1ED；(3)求二面角A1－ED－F的正弦值．．考点二利用空间向量求空间角(2010·湖南高考)如图所示，，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的的正弦值；；(2)在棱C1D1上是否存在在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的的结论．考点三利用空间向量解决存在性问题如图，四边边形ABCD是边长为1的正方形，，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．(1)求异面直线线NE与AM所成角的余余弦值；(2)在线段AN上是否存在在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，，求线段AS的长；若不不存在，请请说明理由由．利用空间向向量证明空空间中线面面关系，计计算空间的的各种角是是高考对立立体几何的的常规考法法．它以代代数运算代代替复杂的的空间的想想象，给解解决立体几几何问题带带来了鲜活活的方法．．另外，空空间向量还还可以用来来解决许多多探索性问问题，这类类问题具有有一定的思思维深度，，更能考查查学生的能能力，因此此正逐渐成成为高考命命题的热点点题型．2．证明空间间向量的平平行、垂直直的方法(1)证线线平行行与垂直．．若直线l1和l2的方向向量量分别为v1和v2，则：①l1∥l2⇔v1∥v2.②l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)证线面平行行与垂直若直线l的方向向量量为v，平面α的法向量为为n，则：①l∥α⇔v⊥n.②l⊥α⇔v∥n.(3)证面面平行行与垂直若平面α和β的法向量分分别为n1，n2，则①α∥β⇔n1∥n2.②α⊥β⇔n1⊥n2.3．利用空间间向量求空空间角的方方法(1)若异面直线线l1和l2的方向向量量分别为v1和v2，它们所成成的角为θ，则cosθ＝|cos〈〈v1，v2〉|.(2)利用空间向向量方法求求直线与平平面所成的的角，可以以有两种办法：①分别求出出斜线和它它在平面内内的射影直直线的方向向向量，转转化为求两两个方向向向量的夹角角(或其补角)；②通过平面面的法向量量来求，即即求出斜线线的方向向向量与平面面的法向量量所夹的锐锐角，取其其余角就是是斜线和平平面所成的的角．(3)利用空间向向量方法求求二面角，，也可以有有两种办法法：①分别在二二面角的两两个面内找找到一个与与棱垂直且且从垂足出出发的两个个向量，则则这两个向向量的夹角角的大小就就是二面角角的平面角角的大小；；②通过平面面的法向量量来求：设设二面角的的两个面的的法向量分分别为n1和n2，则二面角角的大小等等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．[特别警示]利用空间向向量方法求求二面角时时，注意结结合图形判判断二面角角是锐角还还是钝角．．1．若直线l的方向向量量为a，平面α的法向量为为n，能使l∥α的是()A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解析：若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.答案：D2．设平面α的法向量为为(1,