【高考风向标】年高考数学一轮复习 第十三章 第7讲 空间中角与距离的计算课件 理

第7讲空间中角与距离的计算考纲要求考纲研读空间向量的应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量．(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系(3)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.1.线线垂直、两异面直线的夹角、两点间的距离等问题的解决往往借助于向量坐标．正方体、长方体、底面有一角为直角的直棱柱、底面为菱形的直四棱柱、四棱锥等凡能出现三条两两垂直直线的图形，常常考虑空间直角坐标系．2．能较易建立直角坐标系的，尽量建立直角坐标系．其次要注意向量运算与基本性质相结合的论述，这是今后的方向，可以“形到形”，可以“数到形”，注意数形结合.1．异面直线所成的角锐角或直角

过空间任一点O分别作异面直线a与b的平行线a′与b′.那么直线a′与b′所成的____________，叫做异面直线a与b所成的角，其范围是_____________．(0°，90°]2．直线与平面所成的角(1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成的角等于_____.0°(2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于____.(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是_____________．(0°，90°)90°斜线与平面所成的_______是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最___的角．线面角小

3．二面角 从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角．从二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做___________．直二面角

4．点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离．求点到平面的距离通常运用_______，即构造一个三棱锥，将点到平面的距离转化为三棱锥的_____．等积法高

5．直线与平面平行，那么直线任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离．A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件BC3．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为()A．90°B．60°C．45°D．30°D4．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为___________.45°或135°5．如图13－7－1，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为_______.图13－7－1考点1线面所成角的计算

例1：如图

13－7－2，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点． (1)求证：AF∥平面BCE； (2)求证：平面BCE⊥平面CDE； (3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．图13－7－2图D32求直线与平平面所成的的角，大致致有两种基基本方法：：①传统立体体几何的综综合推理法法：通过射射影转化法法作出直线线与平面所成的的线面角，，然后在直直角三角形形中求角的的大小．找找射影的基本方法是是过直线上上一点作平平面的垂线线，连接垂垂足和斜足足得到直线在平面内内的射影；；有时也可可通过找到到经过斜线线且垂直于于已知平面的垂面来来确定斜线线在平面内内的射影，，此时平面面与垂面的的交线即为射影．②空间向量量的坐标法法：建系并并确定点及及向量的坐坐标，然后后利用向量的夹夹角公式通通过坐标运运算求得直直线和平面面所成的角角．【互动探究究】1．(2010年全国)正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余余弦值为()答案：D考点2面面所成角角的计算例2：(2011年全国)如图13－7－－3，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四四边形,∠DAB＝60°°,AB＝2AD,PD⊥底面ABCD.图13－7－－3(1)证证明：PA⊥BD；(2)若若PD＝AD，求二面面角A－PB－C的余弦值值．图D33求二面角角，大致致有两种种基本方方法：(1)传统立体体几何的的综合推推理法：：①定义义法；②②垂面法法；③三三垂线定理理法；④④射影面面积法．．(2)空间向量量的坐标标法：建建系并确确定点及及向量的的坐标，，分别求求出两个平平面的法法向量，，通过求求两个法法向量的夹角角得出二二面角的的大小．【互动探探究】2．(2011年江江苏)如图13－7－－4，在在正四棱棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，点点N是BC的中点，，点M在CC1上，设二二图13－7－－4面角A1－DN－M的大小为为θ.(1)当当θ＝90°°时，求求AM的长；考点3立立体体几何中中的综合合问题例3：如图13－7－5，，S是△ABC所在平面面外一点点，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，且且SA⊥平面ABC，SA＝3a，求点A到平面SBC的距离．．图13－7－－5图13－7－－6解析：方法一：：如图13－7－6，作AD⊥BC交BC延长线于于D，连接SD.∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，又SA∩AD＝A，∴BC⊥平面SAD.又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAD，且平面面SBC∩平面SAD＝SD.过点A作AH⊥SD于H，由平面面与平面面垂直的的性质定定理可知知，AH⊥平面SBC.于是AH即为点A到平面SBC的距离．方法三：如图图13－7－7，以A为坐标原点，以以AC，AS所在直线为y轴，z轴，以过A点且垂直于yOz平面直线为x轴建立空间直直角坐标系．．图13－7－－7求点到平面的的距离通常有有以下方法：：(1)直接法，即直直接确定点到到平面的垂线线，再求出点点到垂足的距离；(2)间接法，包括括等体积法和和转化法；(3)向量法，即求求出已知点与与平面上一点点连接线段在在平面法向量方向上的射射影长，此射射影长即为所所求点面距．．【互动探究】】3．在长方体体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1，C1，B三点的平面截截去长方体的的一个角后，，得到如图13－7－－8所示的的几何体ABCD－A1C1D1，且这个几何何体的体积为为10.图13－7－8(1)求棱A1A的长；(2)求点D到平面A1BC1的距离．考点4求求二面角例4：如图13－7－9，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，点P在圆柱OQ的底面圆周上上，G是DP的中点，圆柱柱OQ的底面圆的半径OA＝2，侧面积积为8ππ，，∠AOP＝120°.(1)求证：：AG⊥BD；(2)求二面面角P－AG－B的平面角的余余弦值．图13－7－9图13－7－10本小题主要考考查直线与直直线、直线与与平面、平面面与平面的位置置关系、相交交平面所成二二面角以及平平面几何的圆圆等知识，考查空间间想象能力和和推理论证能能力、利用综综合法或向量量法解决立体几何问问题的能力．．1．利用向量量解立体几何何问题，要仔仔细分析问题题特点，把已已知条件用向量表表示，把一些些待求的量用用基向量或其其他向量表示示，将几何的位置关关系的证明问问题或数量关关系的运算问问题转化为典典型的向量运算，以以算代证，以以值定形．这这种方法可减减少复杂的空空间结构分析，使得得思路简捷、、方法清晰、、运算直接，，能迅速准确确地解决问题．立体几何中，，处理空间的的角和距离的的问题主要掌掌握两种方法法：传统方法和和向量方法法．传统方方法需要较较高的空间间想象能力力，需要深刻理解角角和距离的的定义，灵灵