【学海导航】高三数学第一轮总复习 7.5 直线与圆、圆与圆的位置关系课件

第七章直线和圆的方程17.5

直线与圆、圆与圆的位置关系

考点搜索●点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系●过圆上一点的切线方程，相交圆的公共弦所在的直线方程高考猜想1.判定点、直线与圆的位置关系.2.根据直线与圆的位置关系求有关量的值或取值范围.3.求直线与圆的方程.2

1.已知点P(x0,y0)和圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2，若点P在圆内，则(x0-a)2+(y0-b)2①_____;若点P在圆上，则(x0-a)2+(y0-b)2②_____；若点P在圆外，则(x0-a)2+(y0-b)2③______.2.已知直线l:Ax+By+C=0和圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0)，圆心C到直线l的距离为d，则当④_____时，直线l与圆C相交；当⑤______时，直线l与圆C相切;当⑥_____时，直线l与圆C相离.＜r2=r2>r2d<rd=rd>r3

3.设⊙O1的半径为R,⊙O2的半径为r(R＞r),两圆的圆心距|O1O2|=d,则当⑦_______时,两圆内含;当⑧______时,两圆内切;当⑨______时,两圆外切;当⑩_______________时,两圆相交;当11_______时,两圆外离.4.已知点M(x0,y0)和圆O:x2+y2=r2(r＞0).若点M在圆O上,则过点M的圆的切线方程是12___________;若点M在圆O外，过点M作圆的两条切线,切线长|MA|=|MB|=13___________.d＜R-rd=R-rd=R+rR-r＜d＜R+rd>R+rx0x+y0y=r24

5.若圆O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交于A、B两点,则公共弦AB所在的直线方程是14__________________________;经过两圆交点的圆系方程是15_________________________________________.(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0λ(x2+y2+D1x+E1y+F1)+μ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=05

盘点指南：①＜r2;②=r2;③＞r2;④d＜r;⑤d=r;⑥d＞r;⑦d＜R-r;⑧d=R-r;⑨d=R+r;⑩R-r＜d＜R+r;11

d＞R+r;12

x0x+y0y=r2;13;14(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0;15

λ(x2+y2+D1x+E1y+F1)+μ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=06圆x2+y2-4x+4y+6=0截直线x-y-5=0所得的弦长等于()解：易知圆心(2,-2)到直线x-y-5=0的距离为，又圆的半径为2,所以弦长为A7圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为()A.x+y-2=0B.x+y-4=0C.x-y+4=0D.x-y+2=0

解法1：x2-4x+(kx-k+)2=0.该二次方程应有两个相等的实根，即Δ=0，解得k=.所以y-3=(x-1)，即x-y+2=0.D8

解法2：因为点(1，)在圆x2+y2-4x=0上，所以点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直.又因为圆心为(2，0)，所以解得所以切线方程为x-y+2=0.9若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为，则a=____.

解：易知x2+y2+2ay-6=0的半径为由图可知6+a2-(-a-1)2=()2，解得a=1.1101.已知知圆圆C:(x-1)2+(y-2)2=25及直直线线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R).(1)求证证:不论论m为何值,直线l与圆C恒相交；；(2)求直线l被圆截得得的最短短弦的长长度及此此时直线线l的方程.解：(1)证明：直直线l的方程可可写作x+y-4+m(2x+y-7)=0.题型1直线与圆圆的位置置关系分分析11由方程组组可可得所以不论论m取何值，，直线l恒过定点点(3，1)，且故点(3，1)在圆内.即不论m取何值，，直线l与圆C恒相交.(2)由平面几几何知识识可知，，当直线线l经过M(3，1)且与过点点M(3，1)的直径垂垂直时，，弦|AB|最短.12此时，即即解得代入原直直线的方方程可得得直线l的方程为为2x-y-5=0.点评：直线方程程中若只只含一个个参数，，则表示示直线是是平行系系直线或或过定点点系的直直线.本题中的的直线是是恒过定定点的直直线，而而此定点点在圆内内，由此此得出直直线与圆圆相交.131415162.已知圆C经过点A(-2，3)和B(1，4)，且与圆圆x2+y2-7y+1=0相交，其其公共弦弦所在直直线与直直线2x-3y+1=0平行，求求圆C的方程.解：设圆心C(a,b).已知圆的的圆心为为D(0,).又因为两两圆的连连心线与与公共弦弦垂直，，所以化化简，，得3a+2b-7=0.①因为点A、B在圆C上，所以以|AC|=|BC|，题型2圆与圆的的位置关关系分析析17即(a+2)2+(b-3)2=(a-1)2+(b-4)2，化简，得得3a+b-2=0.②联立①②②，解得得a=-1，b=5.从而|AC|2=(-1+2)2+(5-3)2=5.故圆C的方程是是(x+1)2+(y-5)2=5.点评：圆与圆的的位置关关系问题题一般转转化为连连心线、、公共弦弦等问题题，然后后利用直直线与直直线、直直线与圆圆的位置置关系求求解.18求经过点点A(4,-1),且与圆C：x2+y2+2x-6y+5=0相切于点B(1,2)的圆的方程.解：圆C的方程可化为为(x+1)2+(y-3)2=5,所以圆心为C(-1,3),直线BC的方程为x+2y-5=0.①①又线段AB的中点为D()，kAB=-1，所以线段AB的垂直平分线线的方程为即x-y-2=0.②②联立①②，解解得x=3，y=1.所以所求圆的的圆心为E(3，1)，且|BE|=.故所求圆的方方程是(x-3)2+(y-1)2=5.193.自点A(-3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反反射光线所在在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线线l所在直线的方方程.解：已知圆的标准准方程为(x-2)2+(y-2)2=1，其关于x轴的对称圆C′为(x-2)2+(y+2)2=1.设入射光线所所在直线的方方程为y-3=k(x+3)，则此直线与与圆C′相切，所以化化简得题型3对称性问题20所以k=-或k=-.故所求的直线线方程是y-3=-(x+3)或y-3=-(x+3)，即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.点评：对称问题可先先画出草图进进行分析，再再转化题中条条件，将圆的的对称问题转转化为圆心的的对称问题.本题可先求出出关于x轴对称的圆再再求解，也可可将入射线的的斜率转化为为其相反数，，即反射线的的斜率再求解解.21若圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是是()解：由条件可知直直线过圆心，，所以-2a-2b+2=0，即a+b=1,所以1=(a+b)2=a2+2ab+b2≥4ab,所以ab≤.故选A.221.过圆x2+y2=25上一点A(-3，4)作两直线l1、l2，分别与圆圆相交于P、Q.若直线l1、l2的倾斜角互互补，试推推断直线PQ的斜率是否否为定值.解：过点A作x轴的垂线交交圆O于B点.设直线l1、l2分别与x轴相交于M、N点.依据题意，，△AMN为等腰三角角形，所以以AB为∠PAQ的平分线，所以以B为PQ的中点.题型在在直线与与位置关系系中求值（23连结OB,则OB⊥PQ.由对称性知知,点B(-3,-4)，所以kOB=，所以kPQ=为定值.242.已知圆C：x2+y2-4x-14y+45=0及点Q(-2，3).若M是圆C上任意一点点，求|MQ|的最大值和最最小值.解：圆C:(x-2)2+(y-7)2=8，所以|CM|=2，|CQ|=4，所以|MQ|max=|CQ|+r=6，|MQ|min=|CQ|-r=2.题型求求变量的的最大值与与最小值253.已知动圆M与定圆C:(x+4)2+y2=4外切，圆心心M在y轴上移动,圆M与y轴相交于A、B两点,P(-3,0)为定点，求tan∠APB的取值范围围.解：设点M(0，a)，圆M的半径为r，则r+2=，点A(0，a-r)