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5.2中心极限定理1、独立同分布中心极限定理2、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理引言

在实际问题中，许多随机变量，是由大量相互独立的随机因素综合影响形成的。而每一个因素在总的影响中的作用是微小的。这种随机变量往往服从或近似服从正态分布。以一门大炮的射程为例，影响大炮的射程的随机因素包括炮身结构导致的误差、炮弹内炸药质量导致的误差、瞄准时的误差、受风向\风速的干扰而形成的误差。其中每一种误差是微小的，是独立的。人们关心的是总误差的影响。实践指出大炮的射程的总误差服从或近似服从正态分布。这就是中心极限定理的实际背景。即设随机变量X1,X2

,

…

,Xn,…相互独立,同分布,一、定理5.4(独立同分布中心极限定理):注不论Xi(i

=1,2,…)服从什么分布,当n很大时,其中Φ(x)是标准正态分布N(0,1)的分布函数,这个结论在数理统计中十分有用.值是100g,标准差是10g,求一盒螺丝钉质例1、

有一盒同型号的螺丝钉,共100个,已知该型号螺丝钉的质量是一个随机变量,期望量超过10.2kg的概率.由中心极限定理有例2、(01年)一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克,标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977？(Φ(2)=0.977,Φ(X)是标准正态分布)。最多可装98箱。则对于任意x∈R,有二、定理5.5(棣莫佛—拉普拉斯定理):设随机变量Xn～B(n,p)(n=1,2,…),证将Xn看作n个相互独立的服从0—1分布的随机变量Y1

,Y2

,…,Yn之和,即又因E(Yk)=p,D(Yk)=p(1-p)(k=1,2,…),由独立同分布中心极限定理知注定理5.5是定理5.4的特殊情况.三、推论5.1:设随机变量X

～B(n,p),则当n很大时,近似地有X

～N(np,np(1

-p)),从而有如下近似公式:注

(1)对于随机变量X

～B(n,p),在实际应用中(2)中心极限定理和切比雪夫不等式均是用来求个问题，用这两种方法求得的数值可能不同.解某一事件概率的近似方法,当然对于同一例7.2已知男孩出生率为51.5%，现问10000个初生婴儿中男孩数在5100与5300之间的概率.解设X

表示10000个初生婴儿中男孩数.由题意知X～B(10000,0.515),由中心极限定理知E(X)=5150

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