2021-2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系3.2平面与平面垂直的判定3作业含解析新人教版必修220220226142

PAGEPAGE7平面与平面垂直的判定（45分钟100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.在正方体ABCD-A′B′C′D′的6个面中,与平面ABCD垂直的平面的个数为()A.1B.2C.3D.42.(2013·成都高一检测)自二面角内任意一点分别向两个面引垂线,则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是()A.相等B.互补C.相等或互补D.无法确定3.已知a⊂α,b⊂β,c⊂β,a⊥b,a⊥c,则()A.α⊥βB.α与β相交C.α∥βD.以上都有可能4.正方体A1B1C1D1-ABCD中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A.B.C.D.5.(2013·慈溪高一检测)已知α,β是平面,m,n是直线,给出下列表述：①若m⊥α,m⊂β,则α⊥β;②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;③如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n与α相交;④若α∩β=m,n∥m,且n⊄α,n⊄β,则n∥α且n∥β.其中表述正确的个数是()A.1B.2C二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·福州高一检测)已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,有四个命题：①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β.其中正确的命题是.(把所有正确命题的序号都填上)7.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是.8.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=2,AA1EF∥AB,若二面角C1-EF-C等于45°,则BF=.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.如图所示,在Rt△AOB中,∠OAB=,斜边AB=4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角.D是AB上任意一点.求证：平面COD⊥平面AOB.10.(2013·辽宁高考)如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上的点.(1)求证：平面PAC⊥平面PBC.(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C-PB-A的余弦值.11.(能力挑战题)已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,E是侧棱PC上的动点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积.(2)是否不论点E在何位置,都有BD⊥AE?证明你的结论.(3)若点E为PC的中点,作出二面角D-AE-B的平面角.答案解析1.【解析】选D.由正方体的性质知侧棱与底面垂直,知过侧棱的平面都垂直于底面ABCD,因此正方体ABCD-A′B′C′D′的6个面中,与平面ABCD垂直的平面的个数为4.2.【解析】选B.如图,A为二面角内任意一点,BD,CD为AB,AC所在平面与α,β的交线,则∠BDC为二面角α-l-β的平面角,且∠ABD=∠ACD=90°,所以∠A+∠BDC=180°.【举一反三】若本题把自二面角“内”改为“外”,结果怎样?【解析】相等.当点在二面角外时,依据等角定理,所成的角和二面角的平面角相等.3.【解析】选D.b,c不一定相交,故α与β所有关系都有可能.4.【解析】选C.设正方体的棱长为1,AC,BD交于O,连接A1O,因为BD⊥AC,BD⊥AA1,所以BD⊥平面AA1O,所以BD⊥A1O,所以∠A1OA为二面角的平面角.tan∠A1OA=,所以选C.5.【解析】选B.①是平面与平面垂直的判定定理,所以①正确;②中,m,n不一定是相交直线,不符合两个平面平行的判定定理,所以②不正确;③中,还可能n∥α,所以③不正确;④中,由于n∥m,n⊄α,mα,则n∥α,同理n∥β,所以④正确.6.【解析】①因为l⊥α,α∥β,mβ,所以l⊥β⇒l⊥m.所以①正确.②设α∩β=d,mβ,且m∥d时,l⊥m.故命题②错.③因为l∥m,l⊥α,所以m⊥α.又mβ,所以α⊥β.故③正确.④由②知不正确.答案：①③7.【解析】如图,过D作DG⊥AF,垂足为G,连接GK,因为平面ABD⊥平面ABC,又DK⊥AB,所以DK⊥平面ABC,因为AF平面ABC,所以DK⊥AF.所以AF⊥平面DKG,所以AF⊥GK.容易得到,当F接近E点时,K接近AB的中点,当F接近C点时,K接近AB的四等分点.所以t的取值范围是(,1).答案：(,1)8.【解析】因为AB⊥平面BC1,C1F平面BC1,CF平面BC1,所以AB⊥C1F,AB⊥又EF∥AB,所以C1F⊥EF,CF⊥所以∠C1FC是二面角C1-EF-C的平面角,所以∠C1FC=45°,所以△FCC1是等腰直角三角形,所以CF=CC1=AA1=1.又BC=2,所以BF=BC-CF=2-1=1.答案：19.【证明】由题意,CO⊥AO,BO⊥AO,所以∠BOC是二面角B-AO-C的平面角.又因为二面角B-AO-C是直二面角.所以CO⊥BO.又因为AO∩BO=O,所以CO⊥平面AOB.又CO平面COD,所以平面COD⊥平面AOB.【方法锦囊】利用平面与平面垂直的判定定理的关键点(1)相互转化思想：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直,进一步转化为处理线线垂直问题.(2)证明平面与平面垂直,只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的直线垂直即可.10.【解析】(1)由AB是圆的直径,得AC⊥BC,由PA⊥平面ABC,BC平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,所以BC⊥平面PAC.因为BC平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.(2)过C作CM⊥AB于M,因为PA⊥平面ABC,CM平面ABC,所以PA⊥CM,故CM⊥平面PAB.所以CM⊥PB.过M作MN⊥PB于N,连接NC,所以PB⊥平面CMN,所以CN⊥PB.所以∠CNM为二面角C-PB-A的平面角.在Rt△ABC中,由AB=2,AC=1,得BC=,CM=,BM=.在Rt△PAB中,由AB=2,PA=1,得PB=.因为Rt△BNM∽Rt△BAP,所以,故MN=.又在Rt△CNM中,CN=,故cos∠CNM=.所以二面角C-PB-A的余弦值为.11.【解题指南】(1)利用三视图与直观图之间的转化确定相应线段长度.(2)作辅助线,利用线面垂直证明线线垂直.(3)作辅助线,找到并证明二面角的平面角.【解析】(1)由三视图可知,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PC⊥底面ABCD,且PC=2.所以VP-ABCD=S正方形ABCD·PC=×12×2=,即四棱锥P-ABCD的体积为.(2)不论点E在何位置,都有BD⊥AE.证明如下：连接AC,因为四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AC.因为PC⊥底面ABCD,且BD平面ABCD,所以BD⊥PC.又因为AC∩PC=C,所以BD⊥平面PAC.因为不论点E在何位置,都有AE平面PAC.所以不论点E在何位置,都有BD⊥AE.(3)在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F,连接BF.因为AD=AB=1,DE=BE=,AE=AE=,所以Rt△ADE≌Rt△A