第二章拉氏变换和拉氏反变换

2/2/20231第二章拉氏变换和拉氏反变换第二章数学模型2/2/20232拉氏变换与反变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。能够把描述系统运动状态的微分方程很方便的转换为系统的传递函数，并由此发展出分析和设计控制系统的工程方法。2/2/202332/2/20234三、拉氏变换和拉氏反变换

拉氏变换设函数f(t)(t0)在任一有限区间上分段连续，且存在一正实常数，使得：则函数f(t)的拉普拉斯变换存在，并定义为：式中：s=+j（，均为实数）；第二章数学模型2/2/20235称为拉普拉斯积分；F(s)称为函数f(t)的拉普拉斯变换或象函数，它是一个复变函数；f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。

拉氏反变换L－1为拉氏反变换的符号。第二章数学模型2/2/20236

几种典型函数的拉氏变换

单位阶跃函数1(t)10tf(t)单位阶跃函数第二章数学模型2/2/20237

指数函数（a为常数）指数函数0tf(t)1第二章数学模型2/2/20238

正弦函数与余弦函数正弦及余弦函数10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-1由欧拉公式，有：

第二章数学模型2/2/20239从而：同理：第二章数学模型2/2/202310

单位脉冲函数(t)0tf(t)单位脉冲函数1由洛必达法则：所以：第二章数学模型2/2/202311

单位速度函数（斜坡函数）10tf(t)单位速度函数1第二章数学模型2/2/202312

单位加速度函数单位加速度函数0tf(t)函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到。

第二章数学模型2/2/202313

拉氏变换积分下限的说明在某些情况下，函数f(t)在t＝0处有一个脉冲函数。这时必须明确拉氏变换的积分下限是0－还是0+，并相应记为：第二章数学模型2/2/202314

拉氏变换的主要定理

叠加定理

齐次性：L[af(t)]=aL[f(t)]，a为常数；

叠加性：L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)]

a，b为常数；显然，拉氏变换为线性变换。第二章数学模型2/2/202315

实微分定理证明：由于即：第二章数学模型2/2/202316所以：同样有：式中，f'(0)，f''(0)，……为函数f(t)的各阶导数在t=0时的值。第二章数学模型2/2/202317当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时（零初始条件）：第二章数学模型2/2/202318当f(t)在t=0处具有间断点时，df(t)/dt在t=0处将包含一个脉冲函数。故若f(0+)

f(0－)，则：第二章数学模型2/2/202319

复微分定理若L[f(t)]=F(s)，则除了F(s)的极点之外，有：第二章数学模型2/2/202320

积分定理当初始条件为零时：若f(0+)

f(0－)，则：第二章数学模型2/2/202321证明：第二章数学模型2/2/202322同样：当初始条件为零时：第二章数学模型2/2/202323

延迟定理设当t<0时，f(t)=0，则对任意0，有：函数f(t-)0tf(t)f(t)f(t-)第二章数学模型2/2/202324

位移定理例：第二章数学模型2/2/202325

初值定理证明：初值定理建立了函数f(t)在t=0+处的初值与函数sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关系。

第二章数学模型2/2/202326

终值定理若sF(s)的所有极点位于左半s平面，即：存在。则：第二章数学模型证明：2/2/202327终值定理说明f(t)稳定值与sF(s)在s=0时的初值相同。第二章数学模型又由于：即：2/2/202328

卷积定理若t<0时，f(t)＝g(t)＝0，则f(t)和g(t)的卷积可表示为：其中，f(t)g(t)表示函数f(t)和g(t)的卷积。第二章数学模型2/2/202329证明：第二章数学模型2/2/202330

时间比例尺的改变例：第二章数学模型2/2/202331

求解拉氏反变换的部分分式法

部分分式法

如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成为下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)假定F1(s),F2(s),…，Fn(s)的拉氏反变换可以容易地求出，则：L-1[F(s)]=L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)]=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)第二章数学模型2/2/202332在控制理论中，通常：为了应用上述方法，将F(s)写成下面的形式：式中，p1，p2，…，pn为方程A(s)=0的根的负值，称为F(s)的极点；ci=bi

/a0

(i=0,1,…,m)。此时，即可将F(s)展开成部分分式。

第二章数学模型2/2/202333F(s)只含有不同的实数极点式中，Ai为常数，称为s=-pi极点处的留数。于是：第二章数学模型2/2/202334例：求的原函数。解：第二章数学模型2/2/202335即：第二章数学模型2/2/202336F(s)含有共轭复数极点

假设F(s)含有一对共轭复数极点-p1、-p2，其余极点均为各不相同的实数极点，则：式中，A1和A2的值由下式求解：上式为复数方程，令方程两端实部、虚部分别相等即可确定A1和A2的值。第二章数学模型2/2/202337注意，此时F(s)仍可分解为下列形式：由于p1、p2为共轭复数，因此，A1和A2的也为共轭复数。第二章数学模型2/2/202338例：求的原函数。解：令：，则：

第二章数学模型2/2/202339根据：有：即：由上式两边实部和虚部分别相等，得：第二章数学模型2/2/202340而：所以：第二章数学模型2/2/202341查拉氏变换表得：令，即：于是：第二章数学模型2/2/202342例：求的原函数。解：第二章数学模型2/2/202343即：所以：第二章数学模型2/2/202344第二章数学模型2/2/202345查拉氏变换表得：第二章数学模型2/2/202346F(s)含有重极点

设F(s)存在r重极点-p0，其余极点均不同，则：

式中，Ar+1，…，An利用前面的方法求解。第二章数学模型2/2/202347……第二章数学模型2/2/202348注意到：所以：第二章数学模型2/2/202349例：求的原函数。解：第二章数学模型2/2/202350于是：第二章数学模型2/2/202351

用MATLAB展开部分分式设：在MATLAB中，多项式通过系数行向量表示，系数按降序排列。如要输入多项式：x4-12x3+25x+126>>p=[1-12025126]p=1-12025126第二章数学模型2/2/202352用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式，即：num=[b0

b1…bm]den=[a0

a1…an]MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展开，其句法为：[r,p,k]=residue(num,den)其中，r,p分别为展开后的留数及极点构成的列向量、k为余项多项式行向量。第二章数学模型2/2/202353若无重极点，MATLAB展开后的一般形式为：若存在q重极点p(j)，展开式将包括下列各项：第二章数学模型2/2/202354例：求的部分分式展开。>>num=[111395226];>>den=[110355024];>>[r,p,k]=residue(num,den)r=1.00002.5000-3.00000.5000p=-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000k=1展开式为：第二章数学模型2/2/202355例：求的部分分式展开。>>num=[1001056];>>den=[15972];>>[r,p,k]=residue(num,den)r=-4.000020.0000-20.000010.0000p=-2.0000-1.0000-1.0000-1.0000k=1-5展开式为：第二章数学模型2/2/202356[num,den]=residue(r,p,k)函数residue也可用于将部分分式合并，其句法为：>>r=[1234]';p=[-1-2-3-4]';k=0;>>[num,den]=residue(r,p,k)num=107015096den=110355024例：第二章数学模型2/2/202357

应用拉氏变换解线性微分方程

求解步骤

将微分方程通过拉氏变换变为

s的代数方

程；

解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表

达式；

应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。第二章数学模型2/2/202358原函数（微分方程的解）象函数微分方程象函数的代数方程拉氏反变换拉氏变换解代数方程拉氏变换法求解线性微分方程的过程第二章数学模型2/2/202359

实例设系统微分方程为：若xi

(t)

=1(t)，初始条件分别为x'o(0)、xo(0)，试求xo(t)。解：对微分方程左边进行拉氏变换：

第二章数学模型2/2/202360即：第二章数学模型2/2/202361对方程右边进行拉氏变换：从而：第二章数学模