第二章线性自动调节系统的数学描述

第二章

线性自动调节系统的数学描述§2-1数学模型的建立数学模型定义：系统中各变量之间的相互关系用数学方程来描述，称为系统的数学模型。系统的数学模型从两方面来描述：（1）稳态工况——代数方程（2）动态特性——微分方程、传递函数、响应函数、状态变量分析法线性系统的特点当若干个装置的输入变量和输出变量之间都具有线性关系时，把它们串联、并联或采用反馈方式连接后，总的输入与输出间的关系也是线性的。线性系统满足叠加原理：当线性系统具有两个以上输入变量时，其系统的输出变量等于每个输入变量单独作用所引起的输出变量变化之和。非线性系统非线性系统近似线性化的原则：在某个一定的工况下，当系统参数在小范围内变化时，可以应用“小偏差法”将某些非线性系统予以线性化。小偏差法：将变量的非线性函数用台劳公式展开为这些变量在平衡点附近的增量表达式，然后略去高于一次增量的各项，获得近似的线性函数。设输出量是输入量的非线性函数

在平衡点处，将展开成台劳级数令；，则由于是微小增量，故可略去高阶无穷小项，得到近似式1、机械系统弹簧质量系统2、电气系统RLC串联回路3、热力系统基本方程热电偶测温特性数学模型液体加热器3、热力系统根据能量平衡关系，单位时间流入和流出容器的热量差等于储热量的变化率在周围空气温度不变的条件下，被加热的水向周围散失的热量变化设热容4、液力系统简单的液力系统设输入流量在平衡点增加了，则按水箱质量守恒定律有在小偏差工况下，可视为常数4、气力系统储气罐根据理想气体状态方程，假设充气过程是等温过程当气罐压力变化时，也随之变化，设阀2的线性化气阻为，则同时假设气容建立物理系统微分方程的基本步骤分析系统的工作原理，确定输入和输出变量的相互变化关系。写出各变量之间的运动方程消去中间变量，得到输出与输入变量之间的微分方程。§2-2传递函数热电偶测温系统的动态特性传递函数线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉普拉斯变换式与输入量的拉普拉斯变换式之比。传递函数反映了系统自身的动态本质。传递函数线性定常系统微分方程的一般式为拉式变换传递函数静态放大系数及静态方程若取，即微分方程所有导数项为零则传递函数就是静态放大系数静态方程反映了在稳态时输出与输入之间的关系§2-3脉冲响应和阶跃响应典型的输入函数单位脉冲函数单位阶跃函数单位斜坡函数单位脉冲响应定义:在输入为单位脉冲函数时,系统输出随时间而变化的过程,称为单位脉冲响应。数学表达式：函数图形：单位脉冲函数单位脉冲响应函数：单位阶跃响应函数定义:在输入为单位阶跃函数时,系统输出随时间而变化的过程,称为单位阶跃响应。数学表达式：函数图形：单位阶跃函数单位阶跃响应函数：热电偶的单位脉冲响应函数及曲线单位脉冲响应曲线热电偶的单位阶跃响应函数及曲线单位阶跃响应曲线§2-4基本环节及环节的联接方式基本环节比例环节积分环节惯性环节微分环节迟延环节比例环节微分方程传递函数特点：输出信号能按一定比例、无迟延和无惯性地复现输入信号的变化。因此，输出信号和输入信号随时间变化的曲线形状完全相同。比例环节（电阻、线性化的流阻、热阻）单位阶跃响应曲线积分环节微分方程或传递函数特点：输出信号与输入信号的积分值成比例，或者说输出信号的变化速度与输入信号成比例。积分环节具有输出“爬行”现象。引用积分环节可以消除被调量的偏差。积分环节（电容器、液容、热容）单位阶跃响应曲线特点：凡是输出量反映输入量对时间的累加值的环节都属于积分环节。一个储藏物质或能量的元件，若以流量为输入信号，以表征储藏量多少的相当于势能的参数作为输出信号，则这种元件的特征属于积分环节。惯性环节（一阶非周期环节）微分方程传递函数惯性环节单位阶跃响应曲线惯性环节根分布与阶跃响应间的关系惯性环节（热电偶、水箱、储气罐、电加热器、阻容电路）阻容电路特点：由一个阻力（热阻、水阻、气阻、电阻）和一个容量（热容、水容、气容、电容）所组成，其输出信号是从容量上取得的势能（温度、水位、气压、电压）。微分环节微分方程传递函数微分环节单位阶跃响应曲线实际微分环节微分方程传递函数实际微分环节单位阶跃响应曲线实际微分环节阻容电路纯迟延环节定义：输出信号的变化与输入信号的变化完全相同，只是落后了一段时间，则这种环节为纯迟延环节。动态方程：输入信号输出信号传递函数

纯迟延环节单位阶跃响应曲线纯迟延环节纯迟延环节可以看作无穷多个一阶惯性环节的串联对于惯性大的对象，当阶次较高时，为了简化其传递函数，常把它看作具有纯迟延环节特性的对象。环节的联接方式串联并联反馈联接串联环节的串联串联特点：若干个环节串联后，总的传递函数等于各个环节传递函数的乘积。总的传递函数与各串联环节的串联次序无关。但环节之间的信号必须具有单向性，即只能由前一环节影响后一环节，而后一环节不能影响前一环节。并联环节的并联特点：若干个环节并联后，总的传递函数等于各个环节传递函数之代数和。示例热电偶顺极性串联示例热电偶反极性串联速度式热电偶反馈联接环节的反馈联接正反馈：当输入信号和反馈信号相加时为~。负反馈：当输入信号和反馈信号相减时为~。示例示例反馈联接的重要特性当前向环节的放大系数相当大时，，则反馈系统的总的传递函数只取决于反馈环节的特性，而与前向环节的特性无关。方框图的等效变换简化的原则：设法移动相加点（综合点）或引出点的位置，在保证总的传递函数不变的条件下，消除回路间的交叉。方框图等效变换的几条规则相邻相加点之间的移动在信号传输线上依次叠加的几个信号，若其间没有引出信号，则可以任意改变它们的次序而效果不变。若干个引出点相邻，表明是同一信号传输到若干个地方去，若其间没有信号输入，则可以任意改变它们的次序，其效果不变。方框图等