第二章随机信号分析

第二章随机信号分析12.1引言通信系统最根本的问题是研究信号在系统中的传输和交换的全过程。通信过程实际是信号和噪声过通信系统的过程。信号和噪声都是随机信号随机信号：具有随机性的信号，即“事先不可预知”。确知信号：确定的信号，“事先可预知”。信息源所发的消息“事先不可预知”，因此通信系统中遇到的信号通常总带有某种随机性，是随机信号。各种噪声和干扰是“不确定的”，因此随机噪声。用概率和统计的方法来研究随机信号。本章主要介绍随机信号和噪声的特性表述，以及它们通过线性系统的基本分析方法。2001Copyright2SCUTDT&PLabs2.2随机过程的一般表述通信过程是一种随机过程。通信过程是信号和噪声过通信系统的过程，而信号和噪声都是随机信号，因此通信过程是一种随机过程。随机过程:随即过程是时间t的函数，但在任一时刻上观察到的值是不确定的。即随机过程不能用一个或几个时间的确定函数来描述。可以用随机过程的统计特征描述随机过程。概率分布函数及概率密度函数数字特征，如数学期望、方差、相关函数2001Copyright3SCUTDT&PLabs2.2随机过程的一般表述概率分布函数及概率密度函数一维概率分布函数F1(x1,t1)

x(t)表示一随机过程，其一维概率分布函数F1(x1,t1)表示在t1时刻，x(t)的值比给定值x1小的可能性是多少。一维概率密度分布函数f1(x1,t1)一维只表示一个时刻点

t1的概率分布，对随即过程的统计描述是极不充分的，因此一般用多维概率分布函数和多维概率密度分布函数表示。2001Copyright4SCUTDT&PLabs2.2随机过程的一般表述数字特征数学期望E[x(t)],表示平均值。方差D[x(t)],表示偏移量(距离平均值)。2001Copyright5SCUTDT&PLabs2.2随机过程的一般表述自相关函数R(t1,t2),衡量同一个过程的相关程度。自协方差B(t1,t2),衡量同一个过程的相关程度。1)]([tE21),(ttB(t1,t2)=R2)](t-×E[xx2001Copyright6SCUTDT&PLabs2.2随机过程的一般表述互相关函数Rxh(t1,t2),衡量两个过程x(t)

和h(t)

的相关程度。互协方差Bxh(t1,t2)：1)]([tE21),(ttBxh(t1,t2)=Rxh2)](t-×E[h

x数学期望E[x(t)]和自相关函数R(t1,t2)

是最重要的两个数字特征。2001Copyright7SCUTDT&PLabs2.3平稳随机过程定义:(1)若随机过程的所有n维分布函数或n维概率密度函数都与时间起点无关，则称之为平稳随机过程。(严平稳，狭义平稳)(2)若随机过程的数学期望与时间t无关，为a，而其相关函数仅与时间间隔有关，则称之为广义平稳过程。即：E[x(t)]＝a,

R

(t1,t1+)=R

()2001Copyright8SCUTDT&PLabs平稳随机过程的各态经历性(重点)随机过程的任一实现,都经历了随机过程的所有可能状态.因此,可以用一个实现的统计特性来了解整个过程的统计特性,通过“时间平均”获得“统计平均”。2001Copyright9SCUTDT&PLabs课堂练习求x(t)=sin(0

t+)的数学期望和自相关函数求数学期望：E

[x(t)]＝E

[sin(0

t+)]＝E

[sin0

t*cos+cos0

t*sin

]＝sin0

t*

E

[cos]+cos0

t*

E

[sin]

-∞∞E

[sin]=sind＝0-∞∞记住：E

[cos]=cosd=0，E

[x(t)]＝sin0

t*

E

[cos]+cos0

t*

E

[sin]＝0

记住：E[sinn*

(0

t+)]＝E[cosn*

(0

t+)]

=0(对积分)★注意：对谁积分？

是对非时间t的变量x积分。对x(t)而言，0

常量，t为时间变量，只有为非时间变量。因此对积分。2001Copyright10SCUTDT&PLabs求自相关函数：R(t1,t2)＝E[x

(t1)×x(t2)]

通常令t2＝t1+，得R

(t1,t1+)=E[x

(t1)×x(t1+)]＝E[sin(0

t1+)×sin(0

(t1+)+)]＝E[sin(0

t1+)×sin(0

t1++0)]＝E{sin(0

t1+)×[sin(0

t1+)*cos0+cos(0

t1+)*sin0]}＝E[sin2(0

t1+)

*cos0+sin(0

t1+)*cos(0

t1+)*sin0]＝E[sin2(0

t1+)]

*E[cos0]+E[sin(0

t1+)]*E[cos(0

t1+)]*E[sin0]

注意，对积分，因此

E[cos0]＝cos0，而E[sin(0

t1+)]＝0＝E[sin2(0

t1+)]

*cos0E[sin2(0

t1+)]＝E[0.5(1-cos2(0

t+)]＝0.5{E[1]－

E[cos2(0

t+)]

＝0.5[1－

0]＝0.5

Rsin(0t+)

(t1,t1+)=0.5cos0

2001Copyright11SCUTDT&PLabs重要结论：对x(t)=sin(0

t+)，数学期望为

0，自相关函数为0.5cos0，因此为平稳随机过程。对x(t)=cos(0

t+)

，数学期望为

0，自相关函数为0.5cos0，它的统计特性与sin(0

t+)的一样，也为平稳随机过程。对x(t)=sinn*

(0

t+)

，数学期望为

0，自相关函数为0.5cosn

0，与sin(0

t+)相比，其统计特性只是相应的在三角函数中×

n，也为平稳随机过程。对x(t)=cosn*

(0

t+)

，数学期望为

0，自相关函数为0.5cosn

0，同样与sinn*

(0

t+)的统计特性一样，也为平稳随机过程。2001Copyright12SCUTDT&PLabs2.4平稳随机过程的相关函数及功率谱平稳随机过程的相关函数的重要性其它统计特性可以通过相关函数求得。平稳随即过程的自相关函数与其功率谱密度之间互为傅立叶变换关系。2001Copyright13SCUTDT&PLabs2.4平稳随机过程的相关函数及功率谱平稳随机过程的相关函数的性质:(1)R

(0)＝E[x2(t)]＝s…R

(0)为x(t)的平均功率(2)R

()＝R

(-)…R

()是偶函数(3)R

()≤R

(0)…R

(0)是R

()的上界(4)R

(∞)＝E2[x(t)]…R

(∞)为x(t)的直流功率(5)R

(0)－R

(∞)＝s2…s2是方差，为x(t)的交流功率R

(0)R

()R

(∞)a2直流功率ts2交流功率平均功率s2001Copyright14SCUTDT&PLabs课堂练习平稳随机过程x(t)=sin(0

t+)，求x(t)的数学期望、方差、直流功率、交流功率、平均功率。自相关函数：R

()=0.5cos0数学期望：E[x(t)]=0因此x(t)为平稳随机过程，因此平均功率：s=E[x2(t)]=

R

(0)=0.5cos0=0.5数学期望：E[x(t)]=0，直流功率：E2[x(t)]=0交流功率=平均功率－直流功率=

0.5－0=0.5方差：s2=交流功率=

0.52001Copyright15SCUTDT&PLabs2.自相关函数与功率谱密度的关系定义:为确定性过程或随机过程某实现的功率谱密度，其中FT()是过程变量在截断区间[-T/2,T/2]上的Fourier变换。对于随机过程，称Ps()的数学期望为该过程的功率谱密度，即2001Copyright16SCUTDT&PLabs可以证明：平稳随机过程的功率谱密度等于该过程的自相关函数的富里叶变换。表示富里叶变换复习：富里叶变换。

Ps()＝R

()e-j

d-∞∞-∞∞R

()＝(1/2)

Ps()ej

d(逆变换)2001Copyright17SCUTDT&PLabs课堂练习例2.4.1x(t)=sin(0

t+)，求x(t)的功率谱密度函数。思路：首先证明x(t)是平稳随机过程，然后对自相关函数R

()进行傅立叶变换，求得功率谱密度函数Ps()。其步骤为：1，求数学期望E[x(t)]＝0，自相关函数R

(t1,t2)＝0.5cos0，因此数学期望与时间无关，相关函数仅与时间间隔有关，因此x(t)是平稳随机过程。2，对R

()进行傅立叶变换，求得Ps()

-∞∞-∞∞-∞∞Ps()＝0.5cos0

×e

-j

d=(1/4)(ej0+e-j0

)×e-j

d=(1/4)(ej(0

-)+e-j(0

+))d=(2/4)[(0

-)+(0

+)]2001Copyright18SCUTDT&PLabs2.5高斯过程高斯过程的定义：其一维概率密度函数为正态分布a为均值(数学期望)，为方差。2001Copyright19SCUTDT&PLabs2.5高斯过程高斯过程的重要性质：n维概率密度函数为n维正态分布，它完全由n个随机变量X(t1)...X(tn)的数学期望(aj)、方差(j)及两两之间的相关函数（协方差bij）决定。因此,对高斯过程来说,只研究它的数字特征就可以了。广义平稳的高斯过程也是严格平稳的。若高斯过程随机变量在不同时刻取值互不相关bij=0,(i<>j)，则它们彼此独立，即fn(x1…xn,t1…tn)=f(x1,t1)×f(x2,t2)…×f(xn,tn)如果一个线性系统的输入随机过程是高斯的,那么线性系统的输出过程仍然是高斯的。2001Copyright20SCUTDT&PLabs噪声通常是一种高斯过程，又称为高斯噪声。误差函数与补误差函数：正态分布函数经常表示为与误差函数相联系的形式erf(x)=dz20x-z2e误差函数：dz2

x∞-z2e补误差函数：erfc(x)=1-erf(x)=查表求误差函数与补误差函数值：P473erf(1.28)=0.92973erfc(1.28)=1-erf(1.28)2001Copyright21SCUTDT&PLabs2.6窄带随机过程窄带系统：频谱宽度△f<<fc,且中心频率fc>>0的系统。窄带随机过程的定义：随机过程表示为：x(t)=a(t)cos[ct+(t)]，a(t)为包络函数，(t)为相位函数，若a(t)和(t)

的变化均比cos

c

t慢得多，则称x(t)为窄带随机过程。2001Copyright22SCUTDT&PLabs2.6窄带随机过程窄带随机过程的两种表示：x(t)=

a(t)cos[ct+(t)]

a(t)为包络函数，(t)为相位函数x(t)=

a(t)cos

(t)cosct-a(t)sin(t)sinct=

xc(t)cosct-xs(t)sinct

xc(t)=

a(t)cos

(t)为同相分量

xs(t)=

a(t)sin(t)为正交分量2001Copyright23SCUTDT&PLabs白噪声定义：如果随机过程n(t)的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即Pn(ω)=n0/2，则称n

(t)为白噪声。白噪声是一个理想的宽带过程。统计特性：均值为0，自相关函数Rn()=(n0/2)()，R

()仅在时间间隔为0时取非零。白噪声是平稳的随机过程。P(2001Copyright24SCUTDT&PLabs本章重点重点章节2.4：P30例2.4.1，习题2.4（重点题型）

1，求随机过程x(t)的数学期望E[x(t)]=a、自相关函数R

(t1,t1+)=E[x

(t1)×x(t1+)]=R()，证明x(t)是平稳随机过程。P()＝R

()e-j

d-∞∞2，对自相关函数R()进行傅立叶变换求功率谱密度P()。3，由R()求x(t)的功率=R(0)，直流功率=R

(∞)，交流功率＝R(0)－R

(∞)＝2（方差）2001Copyright25SCUTDT&PLabs本章重点重点概念：2.3，宽平稳与严平稳的定义，平稳随机过程的“各态历经性”。2.5，高斯过程的4条重要性质。2.6，窄带系统的定义，窄带随机过程的两种表示。2001Copyright26SCUTDT&PLabs习题讲解3-2x(t)=2cos(2

t+)，是离散随机变量，只分布在0和0.5处，P(=0)=P(=0.5)=0.5。E[x(1)]=E[2cos(2

+)]=2E[cos]=2[P(=0)cos0+P(=0.5)cos0.5)=2[0.5cos0+0.5cos0.5)=1而课堂练习中是连续随机变量，因此-∞∞E

[cos