第五章 大数定律与中心极限定理

第五章大数定律与中心极限定理第一节大数定律一、复习切比雪夫不等式

定理1(切比雪夫不等式)设是一随机变量,数学期望E(X)与方差D(X)都存在,对任给常数,有等价地二、大数定律

讨论“概率是频率的稳定值”的确切含义例1掷一枚均匀分币，出现正面的概率为1/2.例2测量一个长度为a的物体,算术平均数逐渐稳定到a.大数定理:就是以确切的数学形式表达大量重复出现的随机现象的统计规律.定义5.1.1设{Xn}是一随机变量序列，若对任意有成立，则称依概率收敛于X.记为定理5.1.2设{Xn}是一随机变量序列，若成立，则称随机变量序列服从大数定律.二、大数定律定理1（切比雪夫大数定律）设X1,X2,…,Xn是一列相互独立的随机变量序列，若存在常数C，使得则对任意的有

证明

则令由切比雪夫不等式，有证毕

定理2(切比雪夫大数定律的特殊情况)相互独立且具有相同的数学期望和方差:则对于任意的有此时称依概率收敛于记为设

定理3(伯努利大数定律)设nA是n重伯努利试验中事件A出现的次数,又A在每次试验中出现的概率为,则对于任意的有即频率依概率收敛于概率即证明令由于故由定理2,知有并且定理4（Markov大数定律）设是一随机变量序列，若则对于任意的有证由切贝晓夫不等式得例5.1设{Xn}是一独立随机变量序列，若则称服从大数定律.证由Markov大数定律得证.从而定理5（辛钦大数定律）设独立同分布，数学期望均为,则对于任意的有或第二节中心极限定理中心极限定理揭示了正态分布的普遍性。

定理1(林德伯格-列维中心极限定理)设独立同分布,且则对于任意的实数x,有由该定理,当n很大时,就可以认为近似服从正态分布.定理2(棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理)设nA是n重伯努利试验中事件A出现的次数,又A在每次试验中出现的概率为则对于任意的实数x,有证明令由于并且故由定理1，得证.根据该定理，若则当很大时，有

例1将一枚硬币连续的抛掷1000次,分别计算出现正面的次数大于530,550的概率.解设X为出现正面的次数,则有由棣莫弗-拉普拉斯定理,有同理

例2某车间有同型号的机床200部,每部机器开动的概率为0.7,假定各机床开关是相互独立的,开动时每部机器要耗电能15个单位,问电厂最少要供应该车间多少单位电能,才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产?解设表示某一时刻机器开动的台数,则设电厂至少要供应个单位的电能,则由题意,有由棣莫弗-拉普拉斯定理,有查表得,应有故至少须向该车间供应2261个单位的电能,才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.

例4一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱的平均重50千克，标准差5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.997.解设是装运的第箱的重量,是所求得箱数,有条件可知,可以把看作是相互独立同分布的随机变量,而总重量是独立同分布的随机变量之和.由林德伯格-列维定理,由题意知并且要求满足所以必须满足即最多可以装98箱。概率论中的关键词随机试验,样本空间,事件,频率,概率,等可能概型,条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,独立性,伯努利概型;