第五章-大数定律-中心极限定理

第五章大数定律及中心极限定理§1大数定律§2中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理问题1掷一颗均匀的正六面体的骰子,出现幺点的概率是1/6,在掷的次数比较少时,出现幺点的频率可能与1/6相差得很大.但是在掷的次数很多时,出现幺点的频率接近1/6几乎是必然的.§1大数定律第五章大数定律及中心极限定理即大量测量值的算术平均值具有稳定性。这就是大数定律所阐述的内容。测量的经验就是：问题2：测量一个工件时，由于测量具有误差，为什么以各次的平均值来作为测量的结果？而且只要测量的次数足够多，总可以达到要求的精度？这两个例子说明：

在大量随机现象中,不仅看到了随机事件的频率具有稳定性,而且还看到大量测量值的平均结果也具有稳定性。这种稳定性就是本章所要讨论的大数定律的客观背景。即,无论个别随机现象的结果如何,或者它们在进行过程中的个别特征如何,大量随机现象的平均结果实际上与每一个别随机现象的特征无关,并且几乎不再是随机的了。

大数定律以确切的数学形式表达了这种规律性,并论证了它成立的条件,即从理论上阐述了这种大量的、在一定条件下的、重复的随机现象呈现的规律性即稳定性.第五章大数定律及中心极限定理§1大数定律（Lawof

BigNumbers）大数定律的定义切比雪夫大数定律伯努利大数定律辛钦定律§1大数定律第五章大数定律及中心极限定理定义1a是一个常数；若对任意想想：数列的收敛性定义，比较数列与随机变量序列

收敛性的区别。一、定义意思是:,当而意思是:当a时,Yn落在内的概率越来越大.§1大数定律第五章大数定律及中心极限定理定理0依概率收敛的性质：第五章大数定律及中心极限定理定义2§1大数定律定理1(切比雪夫大数定律)设X1,X2…是相互独立的随机变量序列,各有数学期望E(X1),E(X2),…及方差D(X1),D(X2),…并且对于所有k=1,2,…都有D(Xk)<ι,其中ι是与k无关的常数,则任给ε>0,有随机变量的算术平均值随机变量期望的算术平均值将比较密地聚集在它的数学期望的附近.它与数学期望之差,当时n→∞,依概率收敛到0.这就是大数定律.切比雪夫定理为这一定律作出了精确的数学公式.切比雪夫定理说明:在定理的条件下,当n充分大时,n个独立随机变量的平均数这个随机变量的离散程度是很小的.这意味,经过算术平均后得到的随机变量§1大数定律第五章大数定律及中心极限定理定理2（切比雪夫Chebyshev大数定律的特殊情形）

且具有相同的数学期望及方差，这说明：在定理成立的条件下，n个随机变量的算术平均值，当n无限增加时，将几乎变成一个常数。§1大数定律第五章大数定律及中心极限定理由切比雪夫不等式得：证：第五章大数定律及中心极限定理定理3（伯努利Bernoulli大数定律）证：令§1大数定律即，当试验次数n无限增加时,事件A的频率依概率收敛于它的概率P(A).切比雪夫定理的一个推论：第五章大数定律及中心极限定理由定理2有该定理给出了频率的稳定性的严格的数学意义。§1大数定律§1大数定律第五章大数定律及中心极限定理注：伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。定理4（辛钦大数定律）且具有数学期望比较辛钦大数定律与切比雪夫大数定律条件的差别及强弱。是不完全相同的.这些结果可以看作是服从同一分布并且期望值为μ的n个相互独立的随机变量X1,X2…Xn的试验数值。由定理4可知,当n充分大时,取这一定理使算术平均值的法则有了理论依据.假使要测量某一个物理量μ,在不变的条件下重复测量n次,得到的观测值作为的μ近似值,可以认为所发生的误差是很小的,即对于同一个随机变量X进行n次独立观察,则所有观察结果的算术平均数依概率收敛于随机变量的期望值.大数定律告诉我们两个结论:对于同一随机变量X的随机变量序列1.随机变量的算术平均值2.随机事件的频率第五章大数定律及中心极限定理§2中心极限定理独立同分布的中心极限定理李雅普诺夫定理棣莫佛-拉普拉斯定理用频率估计概率时误差的估计第五章大数定律及中心极限定理在实际中有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的。而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的。这种随机变量往往近似地服从正态分布。这种现象就是中心极限定理的客观背景。正态分布在随机变量的各种分布中,占有特别重要的地位.在某些条件下,即使原来并不服从正态分布的一些独立的随机变量,它们的和的分布,当随机变量的个数无限增加时,也是趋于正态分布的.中心极限定理是讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理。§2中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理一、定义§2中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理定理1（独立同分布的中心极限定理(Levy-Lindeberg)）中心极限定理说明了正态分布的重要地位，它也是统计学中处理大样本时的重要工具。二、中心极限定理（CentralLimitTheorem）在一般情况下,很难求出n个随机变量之和的分布函数，根据中心极限定理，当n充分大时，可以通过正态分布给出其近似的分布。§2中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理§2中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理定理2（李雅普诺夫定理）(Liapunov定理)则服从中心极限定理，即：

这个定理的实际意义是:如果一个随机现象由众多的随机因素所引起,每一因素在总的变化里起着不显著的作用,就可以推断,描述这个随机现象的随机变量近似的服从正态分布.由于这些情况很普遍,所以有相当多一类随机变量遵从正态分布,从而正态分布成为概率统计中最重要的分布.这个定理对离散的和连续的随机变量都适用.§2中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理定理2表明，在定理的条件下，随机变量第五章大数定律及中心极限定理由定理1有结论成立。定理3（棣莫佛-拉普拉斯定理）(DeMoivre--Laplace)证明：由二项分布和两点分布的关系知其中相互独立且都服从于两点分布，且§2中心极限定理§2中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理推论：说明：这个公式给出了n较大时二项分布的概率

计算方法。定理（拉普拉斯定理）（1）局部极限定理：当n→∞时（2）(积分极限定理)：当n→∞时二项分布的近似分布§2中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理例1车间有200台车床，它们独立地工作着，开工率为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证这个车间正常生产。设至少要供给这个车间r千瓦电才能以99.9%的概率保证这个车间正常生产。由题意有解：记某时刻工作着的车床数为X，则X~B(200,0.6).第五章大数定律及中心极限定理即供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车间正常生产。§2中心极限定理§2中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理用频率估计概率时误差的估计：由棣莫佛-拉普拉斯定理知§2中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理第一类问题是第二类问题是问最少应做多少次试验？这时只需求满足下式的最小的n,第三类问题是用这个关系式可解决许多计算问题。§2中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理例2今从良种率为1/6的种子中任取6000粒，问能以0.99的概率保证在这6000粒种子中良种所占的比例与1/6的差的绝对值不超过多少？相应的良种粒数在哪个范围内？解：由棣莫佛-拉普拉斯定理（第三类问题）第五章大数定律及中心极限定理故近似地有§2中心极限定理§2中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理良种粒数X的范围为§2中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理例3系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个部件的损坏率为0.1。系统要正常工作，至少有85个部件正常工作，求系统正常工作的概率。解：由棣莫佛-拉普拉斯定理有则X~B(100,0.1)。则整个系统能正常工作当且仅当设X是损坏的部件数，一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。例5解：设最多可装n箱，保障不超载的概率大于0.977。由中心极限定理有第五章大数定律及中心极限定理§2中心极限定理因此最多可装98

箱，保障不超载的概率大于0.977。第五章大数定律及中心极限定理§2中心极限定理例.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？解:设 ξk为第k次掷出的点数,k=1,2,…,100,则ξ1,…,ξ100独立同分布.由中心极限定理标准化变换(1)直接计算:(2)的计算结果与(1)的相差较大,这是由于n不够大.一般要求n至少为50,有时也放宽到n≥30使用.例10部机器独立工作,每部停机的概率为0.2.求3部机器同时停机的概率解10部机器中同时停机的数目(2)若用局部极限定理近似计算:解：例设电站供电网有10000盏电灯,夜晚每一盏电灯开灯的概率都是0.7,而假定开关时间彼此独立,估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.解10000件产品中的废品数ξ服从二项分布,例产品为废品的概率为P=0.005,求10000件产品中废品数不大于70的概率正态分布和Poisson分布虽然都是二项分布的极限分布,但Poisson分布以n→∞,同时p→0,np→λ为条件,而正态分布则只要求n→∞这一条件.一般说来,对于n很大,p(或q)很小的二项分布(np≤5)用正态分布来近似计算不如用Poisson分布计算精确.解设ξ为500发炮弹命中飞机的炮弹数目(1)用二项分布公式计算:例每颗炮弹命中飞机的概率为0.01,求500发炮弹命中5发的概率(2)用Poisson公式计算,直接查附表一可得:P5(5)≈0.175467(3)用拉普拉斯局部极限定理计算:下面用三种方法计算并加以比较:例在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：(1)保险公司亏本的概率有多大？(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？于是由中心极限定理(1)P{η<0}=P{1000012-1000ξ<0}解：设ξ表示一年内死亡的人数，则ξ~B(n,p),其中n=10000，p=0.6%，设η表示保险公司一年的利润，

η=1000012-1000ξ=1P{ξ120}1

(7.75)=0;=P{ξ≥120}P{η>60000}=P{1000012-aξ>60000}=P{ξ60000/a}0.9;（2）设赔偿金为a元，则令由中心极限定理,上式等价于小结