高二(上学期)期末数学试卷及答案解析

第第页第=page22页，共=sectionpages22页高二(上学期)期末数学试卷及答案解析（时间120分钟，满分150分）题号一二三四总分得分一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）倾斜角为135°，在轴上的截距为的直线方程是（

）A. B. C. D.设双曲线上的点到点的距离为15，则点到的距离是（

）A.7 B.23 C.7或23 D.5或23命题甲：双曲线C的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C的方程是：，那么甲是乙的（）A.分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件对抛物线y2=4x，下列描述正确的是（）A.开口向上，焦点为（0，1） B.开口向上，焦点为

C.开口向右，焦点为（1，0） D.开口向右，焦点为已知a、b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面．下列选项中说法正确的是（）

①若a∥b，b⊂α，则a∥α②若a⊥α，b⊥a，则b∥α

③若a⊥α，b⊥β，a∥b则α∥β④若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥bA.①② B.③④ C.②③ D.③已知圆，则过点的最短弦所在直线的方程是（

）A. B. C. D.已知曲线C的方程为+=1，给定下列两个命题：p：若9＜k＜25，则曲线C为椭圆；q：若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则k＜9；那么，下列命题为真命题的是（

）A. B.

C. D.​椭圆+=1上的点到直线（t为参数）的最大距离是（）A.3 B. C.2 D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中下列结论正确的是（）

A. B.与所成的角为60°

C. D.与所成的角为60°已知双曲线，则下列说法正确的是（）A.离心率的最小值为4

B.当m=2时，离心率最小

C.离心率最小时，双曲线的标准方程为

D.离心率最小时，双曲线的渐近线方程为如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1B的中点，F为线段BC上的动点（不包括端点），则（）

A.对任意的F点，三棱锥F-ADE与三棱锥A1-ADE的体积相等

B.对任意的F点过D，E，F三点的截面始终是梯形

C.存在点F，使得EF∥平面A1C1D

D.存在点F，使得EF⊥平面BDC1已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（

）A.点的坐标为​​​​​​​

B.若直线过点，则​​​​​​​

C.若，则的最小值为​​​​​​​

D.若，则线段的中点到轴的距离为三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）过原点且倾斜角为60°的直线被圆所截得的弦长为

．设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是

．将边长为的正方形沿翻折成直二面角，若四点在同一个球面上，则该球的体积等于_______________.以椭圆=1的右焦点为圆心，且与双曲线=1的两条渐近线都相切的圆方程为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，求直线的方程.

已知圆和点

（1）若过点有且只有一条直线与圆相切，求实数的值，并求出切线方程；

（2）若，过点作圆的两条弦，且互相垂直，求的最大值。

如图，在三棱柱中，平面，，，，、分别为、的中点.

（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积.

如图,已知抛物线，直线与抛物线交于两点，，，与交于点.

（Ⅰ）求点的轨迹方程；

（Ⅱ）求四边形的面积的最小值.

如图，在三棱锥P－ABC中，∠APB＝90°，∠PAB＝60°，AB＝BC＝CA，平面PAB⊥平面ABC．

（1）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；

（2）求二面角B－AP－C的大小．

已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为（O是坐标原点）（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是椭圆C上的一点，过P的直线l与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限，切点为M，证明：|PF|+|PM|为定值．

答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】本题考查直线的斜截式方程，直线的倾斜角和截距，属于基础题.

求出斜率即可得斜截式进而得一般式方程.【解答】解：倾斜角为，

直线的斜率，

在y轴上的截距为，

所求直线方程为，

即.

故选：A.

2.【答案】C

【解析】【分析】根据双曲线的标准方程，考查双曲线的定义,属于基础题．

根据考查双曲线的定义，有||PF1|-|PF2||=8，将代入即可．【解答】​​​​​​​解：∵双曲线-=1，

∴2a=8，（-5，0）,（5，0）是两个焦点，

∵点P在双曲线上，

∴||PF1|-|PF2||=8，

∵点P到点（5，0）的距离为15，

∴,

则点P到点（-5，0）是23或7.

故选C.

3.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查双曲线的标准方程与性质，充分、必要条件的判定，属于基础题．

根据双曲线的性质结合充分条件、必要条件的定义判定即可.

【解答】

解：∵双曲线C的方程是：，

∴渐近线方程是：y=±，

又∵双曲线=-1的渐近线方程也是y=±，

∴根据充分、必要条件的定义可判断：甲是乙的必要不充分条件，

故选：B

4.【答案】C

【解析】解：∵抛物线方程为y2=4x，∴抛物线分布在一二象限，可得它的开口向右；

又∵2p=4，∴=1，∴抛物线的焦点坐标为（1，0）．

综上所述，抛物线y2=4x开口向右，焦点为（1，0）．

故选：C．

根据抛物线方程为y2=4x，先定位再定量．

本题给出抛物线的标准方程，求它的开口方向与焦点坐标，着重考查了抛物线的标准方程及基本概念等知识，属于基础题．

5.【答案】D

【解析】解：由a、b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，知：

在①中，若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故①错误；

在②中，若a⊥α，b⊥a，则b∥α或b⊂α，故②错误；

在③中，a⊥α，b⊥β，a∥b，则由面面平行的判定定理得α∥β，故③正确；

在④中，若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b相交、平行或异面，故④错误．

故选：D．

在①中，a∥α或a⊂α；在②中，b∥α或b⊂α；在③中，由面面平行的判定定理得α∥β；在④中，a与b相交、平行或异面．

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

6.【答案】A

【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系和两条直线垂直时斜率的关系，直线的点斜式方程，属于基础题.

先分析出当直线l与圆心和点P的连线垂直时弦最短，然后求出直线l的斜率，即可得到直线方程.【解答】解：由已知，圆C的标准方程为(x-2)2+y2＝9，

​圆心为（2，0），点P(1，2)在圆内，

则圆心和点P所在的直线的斜率为，

而当直线l与圆心和点P的连线垂直时弦最短，

所以直线l的斜率为，

所以方程为，即x-2y+3=0，

故选：A.

7.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查复合命题真假判断的应用，根据条件判断p，q的真假是解决本题的关键，属于基础题.

判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．

【解答】

解：由25-k=k-9时，2k=34，得k=17时，方程不表示椭圆，即命题p是假命题，

若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则，

即，得k＜9，即命题q是真命题，

则（￢p）∧q为真命题，其余为假命题，

故选：C．

8.【答案】D

【解析】解：由直线（t为参数）消去参数可得x+2y-=0，

设与椭圆相切且与x+2y-=0平行的直线为x+2y+m=0．

联立，化为8y2=4my+m2-16=0，

令△=16m2-32（m2-16）=0，化为m2=32．

解得

取m=4，得直线x+2y+4=0．

则直线x+2y-=0与直线x+2y+4=0的距离d==即为所求的椭圆+=1上的点到直线（t为参数）的最大距离．

故选：D．

由直线（t为参数）消去参数可得x+2y-=0，设与椭圆相切且与x+2y-=0平行的直线为x+2y+m=0．与椭圆方程联立，令△=0求得m，再利用两条平行线之间的距离公式即可得出．

本题考查了直线与椭圆相切的位置关系、两条平行线之间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．

9.【答案】AD

【解析】【分析】本题考查异面直线及其所成的角与直线与直线的位置关系,属于中档题.

​先把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，再根据所给结论进行逐一判定即可得到结果.

【解答】解：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，

则AB∥CM，CM⊥EF，所以AB⊥EF，故A正确；

由于∥CM，所以与所成的角为0°，故B错误；

EA∥MN，EA⊥CD，所以MN⊥CD，故C错误；

EF与MN为异面直线，EA∥MN，

∴EF与MN所成角即为，

由于△EFA为等边三角形，

所以=60°，即与所成的角为，故D正确.

所以AD正确.

故选：AD.

10.【答案】BCD

【解析】解：由双曲线的方程可得a2=m，b2=m2-m+4，

所以c2=a2+b2=m+m2-m+4=m2+4，

所以双曲线的离心率e===≥=2，

当且仅当m=，即m=2时取等号；

所以A不正确，B正确，

离心率最小时，m=2，这时双曲线的标准方程为：-=1，所以C正确；

由C可得，渐近线的方程为：±=0，可得y=±x，所以D正确；

故选：BCD．

由双曲线的方程可得a，b的值，进而求出c的值，再求双曲线的离心率，由均值不等式可得离心率的最小值及此时的m的值，判断出所给命题的真假．

本题考查双曲线的性质及均值不等式的性质的应用，属于中档题．

11.【答案】ABD

【解析】解：如图所示，

∵A1D1∥面ADE，BC∥面ADE，且A1B⊥面ADE，

∴F和A1到面ADE的距离相等，故三棱锥F-ADE与三棱锥A1-ADE的体积相等，A正确；

过D，E，F三点的截面为四边形PFDQ，且PF∥QD，DF与PQ不平行，故四边形PFDQ始终是梯形，B正确；

∵面EMCN∥面A1C1D，而EF总与面A1C1D相交于点E，故不存在这样的点F，使得EF∥平面A1C1D，C错误；

∵A1C⊥面BDC1，∴当EF∥A1C，即F为BC中点时，EF⊥面BDC1，故存在这样的点F，使得EF⊥平面BDC1，D正确．

故选：ABD．

证明F和A1到面ADE的距离相等判断A；证明PF∥QD且DF与PQ不平行判断B；证明EF总与面A1C1D相交于点E判断C；取F为BC中点时，可得EF⊥面BDC1判断D．

本题考查空间中直线与平面位置关系的判定，考查平面的基本性质与推理，训练了利用等体积法求多面体的体积，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．

12.【答案】BCD

【解析】【分析】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，考查数形结合以及转化思想的应用，属于较难题．

求出抛物线的焦点坐标，判断A，直线MN与抛物线联立，利用根与系数的关系判断B；根据抛物线的通径，判断C；通过数形结合转化求解判断D即可．【解答】解：抛物线化为x2=y，焦点为F（0，），所以A不正确；

MN过F时，可知斜率存在，设方程为y=kx+,

由，可知，则，所以B正确；

若=，则|MN|的最小值为抛物线的通径长，为2p=，所以C正确；

抛物线x2=y的焦点为F（0，），准线方程为y=，

取MN中点为P，

过点M、N、P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，

则|MM′|=|MF|，|NN′|=|NF|，|MM′|+|NN′|=|MF|+|NF|=，

所以|PP′|==，

所以线段MN的中的P到x轴的距离为|PP′|-==，所以D正确；

故选：BCD．

13.【答案】

【解析】【分析】此题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.

由题意利用点斜式可得直线方程为​​​​​​​，再利用点到直线的距离和垂径定理即可得到弦长.【解答】解：设弦长为l；

∵过原点且倾斜角为60°的直线为

整理圆的方程为，圆心为(0，2)，半径

∴圆心到直线的距离为，

∴​​​​​​​；

∴弦长

故答案为：.

14.【答案】

【解析】【分析】本题考查直线的倾斜角和斜率，属于中档题.

作出图形，确定边界，利用直线的斜率和倾斜角间的关系，确定直线的斜率的取值范围.【解答】解：如图所示：∵点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，

∴所求直线l的斜率k满足k≥kPB

或k≤kPA，∴

∴即直线的斜率的取值范围是故答案为

15.【答案】

【解析】【分析】本题考查学生对球的性质的使用和对公式的利用，其中根据已知求出球的半径是解答的关键，因为外接球的球心到4顶点的距离相等，可知其球心位置和球的半径，即可求出球的体积.【解答】解：如图，折叠后的图形为三棱锥A-BCD，且平面ABD⊥平面BCD，

取BD的中点E，连接AE，CE，

∵AB=AD=1，

∴AE⊥BD，

同理，CE⊥BD，

∴∠AEC=90°，

∴EA=EB=EC=ED=，

即E为外接球球心O，R=,

∴球O的体积V=πR3=，

故答案为.

16.【答案】（x-5）2+y2=16

【解析】解：∵c2=169-144=25，∴椭圆的右焦点为F（5，0），

∴所求圆的圆心坐标是（5，0）．

∵双曲线的渐近线方程是，

由点到直线的距离公式可知（5，0）到的距离=4，

∴所求圆的半径为4．

故所求圆的方程是（x-5）2+y2=16．

答案：（x-5）2+y2=16．

求出椭圆的右焦点得到圆心，再求出双曲线的渐近线，由圆心到渐近线的距离得到圆的半径，由此可以得到圆的方程．

求出圆的圆心和半径，就得到圆的方程．

17.【答案】解：∵直线经过两条直线和的交点，

∴，

∴．

∴P（0，2）,

又∵直线l与垂直，

∴直线l的斜率为-,

∴所求直线方程为，

即4x+3y-6=0．

​故答案为4x+3y-6=0．

【解析】本题考查直线与直线的位置关系，考查直线方程的点斜式，属于基础题.

​首先求出两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点为P（0，2），再根据两直线垂直的性质可得直线l的斜率为-，从而得到直线方程．

18.【答案】(1)由条件知点在圆上，所以，则。当时，点为,，此时切线方程为，即。当时，点为,，此时切线方程为，即。所以所求的切线方程为或即.

【解析】试题分析：本题考查直线与圆相切的性质。切线的斜率与直线OM垂直，可求得切线的斜率。又过点M，则可利用点斜式写出切线方程。

考点：直线与圆的位置关系、基本不等式

19.【答案】（Ⅰ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，

​​​​​​​

又∵F是BC的中点，

∴；

∵E是A1C1的中点，

∴FG∥EC1，FG=EC1，

∴四边形FGEC1为平行四边形，

∴C1F∥EG，

∵C1F⊄平面EAB，EG⊂平面EAB，

∴C1F∥平面EAB；

（Ⅱ）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，

∴，

∴=

​​​​​​​．

则三棱锥​​​​​​​的体积为.

【解析】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,属于中档题.

（Ⅰ）取AB中点G，连接EG，FG，证明四边形FGEC1为平行四边形，推出C1F∥EG，然后利用直线与平面平行的判定定理证明C1F∥平面EAB；

（Ⅱ）由AB⊥BC，求出AB，然后求解几何体的体积即可．

20.【答案】解法一:

解：(I）设

，

∵

，

∴

是线段

的中点，∴

，①，

.②，∵

，∴

.

∴

，依题意知

，

∴

.③，

把②、③代入①得：

，即

.

∴点

的轨迹方程为

.

(II)解：依题意得四边形

是矩形，

∴四边形

的面积为

，

，

∵

，当且仅当

时，等号成立，

∴

.

∴四边形

的面积的最小值为

.

解法二:

解:(I)依题意,知直线

的斜率存在,设直线

的斜率为

,

由于

,则直线

的斜率为

.

故直线

的方程为

,直线

的方程为

.

由

消去

,得

.

解得

或

,

∴点

的坐标为

.同理得点

的坐标为

.

∵

，

∴

是线段

的中点,

设点

的坐标为

,

则

消去

,得

.

∴点

的轨迹方程为

.

(II)依题意得四边形

是矩形，

∴四边形

的面积为

,

,

.

当且仅当

,即

时,等号成立.

∴四边形

的面积的最小值为

.

【解析】本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识)，属于中档题.（I）由题意得，依题意,知直线

的斜率存在,设直线

的斜率为

,再运用数量积公式即可求解；（II）依题意得四边形

是矩形，再运用四边形的面积公式即可求解.

21.【答案】解：解法一：（1）设AB的中点为D，AD的中点为O，连结PO，CO，CD．

由已知，△PAD为等边三角形．

所以PO⊥AD．

又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AD，

所以PO⊥平面ABC．

所以∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角．

不妨设AB=4，则PD=2，，OD=1，.

在Rt△OCD中，.

所以，在Rt△POC中，.

故直线PC与平面ABC所成的角的大小为.

（2）过D作DE⊥AP于E，连结CE.

由已知可得，CD⊥平面PAB．

根据三垂线定理知，CE⊥PA．

所以∠CED为二面角B－AP－C的平面角．

由（1）知，.

在Rt△CDE中，.

故二面角B－AP－C的大小为arctan2.

解法二：（1）设AB的中点为D，作PO⊥AB于点O，连结CD．

因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AD，

所以PO⊥平面ABC．

所以PO⊥CD．

由AB=BC=CA，知CD⊥AB．

设E为AC中点，

则EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB．

如图，以O为坐标原