《正态分布》修改课件

2/3/2023高三数学第一章

概率与统计湖北省应城市第一高级中学高二数学组正态分布频率分布直方图数学情景第一步：分组确定组数，组距？区间号区间频数频率累积频率频率/组距1153.5~157.550.05950.05950.0152157.5~161.580.09520.15470.0243161.5~165.5100.11900.27380.0304165.5~169.5150.17860.45340.0455169.5~173.5180.21430.66670.0546173.5~1775180.17860.84520.0457177.5~181.580.09520.94050.0248181.5~185.550.059510.015第二步：列出频率分布表xy频率/组距中间高，两头低，左右大致对称第三步：作出频率分布直方图频率组距产品尺寸（mm）ab

若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称此曲线为概率密度曲线．总体在区间内取值的概率概率密度曲线概率密度曲线的形状特征．

“中间高，两头低，左右对称”

知识点一：正态密度曲线上图中概率密度曲线具有“中间高，两头低”的特征，像这种类型的概率密度曲线,叫做“正态密度曲线”，它的函数表达式是知识点二：正态分布与密度曲线f(x)=，x∈(－∞,+∞)①式中的实数、(>0)是参数，分别表示总体的平均数(期望)与标准差，这个总体是有无限容量的抽象总体，其分布叫做正态分布,f(x)的图象称为正态曲线。正态分布由参数、唯一确定，正态分布常记作N(、2)（1）当=时,函数值为最大.(3)的图象关于对称.（2）

的值域为

（4）当∈时为增函数.当∈时为减函数.正态密度曲线的图像特征μ（－∞，μ]（μ，+∞）012-1-2x-33X=μσ正态曲线=μf(x)=，x∈(－∞,+∞)①正态曲线的性质：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交(2)曲线关于直线x=对称(3)当x=时，曲线位于最高点(4)当x<时，曲线上升(增函数)；当x>时，曲线下降(减函数)并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近(5)一定时，曲线的形状由确定越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；

越小．曲线越“瘦高”，总体分布越集中

在实际中遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布．例如：生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标（如电子管的使用寿命、电容器的电容量、零件的尺寸、铁水的含碳量、纤维的纤度、……）一般都服从正态分布．在测量中，测量结果一般可以表示为ξ=a+η.其中a表示被测量的量的真值（未知常数），η表示测量的随机误差，ξ和η一般都服从正态分布．在生物学中，同一群体的某种特征（如某一地区同年龄组儿童的发育特征，如身高、体重、肺活量），在一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等，一般也服从正态分布．在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等，水文中的水位，也都服从或近似服从正态分布．

总之，正态分布广泛存在于自然现象、生产及科学技术的许多领域之中．正态分布在概率和统计中占有重要地位．当μ＝0，σ＝1时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表达式是

其相应的曲线称为标准正态曲线。标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要地位。任何正态分布的问题均可转化成标准总体分布的概率问题。知识点：标准正态曲线x0xOy由于标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态分布表”（课本第65页）

。标准正态分布表中，相应于x0的值(x0)是指总体取值小于x0的概率，即

(x0)=P(x<x0)

用图形表示为(阴影部分面积)由于标准正态曲线关于轴对称，表中仅给出了对应与非负值的值。如果，那么由下图中两个阴影部分面积相等知：利用标准正态分布表，可求出标准正态总体在任一区间内取值的概率。即，可用如图的蓝色阴影部分表示。公式：x0x1x2x0xOy说明：(1)(x0)=1(x0)(2)标准正态总体在任一区间(x1,x2)内取值的概率P(x1<x<x2)=(x2)(x1)(3)对任一正态总体N(,2)，取值小于x的概率即，若服从正态分布N(,2)，则服从标准正态分布例2.求标准正态总体在(1,2)内取值的概率．解：利用等式P=(x2)

(x1)有P=(2)

(1)=(2){1[(1)]}=(2)+(1)1=0.9772+0.84131=0.8185例3.若x～N(0,1),求(l)P(2.32<x<1.2)；(2)P(x2).解：(1)P(2.32<x<1.2)=(1.2)(2.32)

=(1.2)[1(2.32)]=0.8849(10.9898)=0.8747.(2)P(x2)=1P(x<2)=1(2)=l0.9772=0.0228.例4.服从正态分布N(1,4)，试求(1)F(3)(2)P(2<<5)(3)P(>0)解：∵服从正态分布N(1,4)，则=服从标准正态分布=(2)(0.5)=0.97720.6915=0.2857=1(0.5)=(0.5)=0.6915

例5．分别求正态总体N(μ,σ2)在区间(μ－σ,μ+σ)，(μ－2σ,μ+2σ)，(μ－3σ,μ+3σ)内取值的概率．解：F(μ+σ)=Ф()=Ф(1),F(μ－σ)=Ф()=Ф(－1),

所以正态总体N(μ,σ2)在(μ－σ，μ+σ)内取值的概率是F(μ+σ)－F(μ－σ)=Ф(1)－Ф(－1)=Ф(1)－[1－Ф(1)]=2Ф(1)－1=2×0.8413－1≈0.683；

同理，正态总体N(μ，σ

2)在的(μ－2σ，μ+2σ)内取值的概率是F(μ+2σ)－F(μ－2σ)=Ф(2)－Ф(－2)≈0.954；正态总体N(μ，σ2)在的(μ－3σ，μ+3σ)内取值的概率是F(μ+3σ)－F(μ－3σ)=Ф(3)－Ф(－3)≈0.997；上述计算结果可用下表和图来表示：区间取值概率

下面以正态总体为例，说明统计中常用的假设检验方法的基本思想．我们从上表看到，正态总体在(μ－2σ,μ+2σ)以外取值的概率只有4.6％，在(μ－3σ,μ+3σ)以外取值的概率只有0.3％，由于这些概率值很小，通常称这些情况发生为小概率事件．也就是说，通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的．小概率事件：发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生进行假设检验的方法与步骤：

一、提出统计假设，具体问题里的统计假设服从正态分布N(,2)

二、确定一次试验中的a值是否落入(3,+3)；三、作出判断：如果a(3,+3)，就接受假设；如果a(3,+3)，就拒绝假设，说明生产过程中出现了异常情况

服从正态分布的总体特征产品尺寸这一典型总体，它服从正态分布。它的特征：生产条件正常稳定，即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等可以控制的条件都相对稳定，而且不存在产生系统误差的明显因素。

一般地，当一随机变量是大量微小的独立随机因素共同作用的结果，而每一种因素都不能起到压倒其他因素的作用时，这个随机变量就被认为服从正态分布。1.5正态分布(习题课)1.5正态分布例1.查表求下列各值(0.5)、(2.3)、(1.45)

0.30850.98930.0735例2.已知某车间正常生产的某种零件的尺寸满足正态分布N(27.45,0.052),质量检验员随机抽查了10个零件，测得它们的尺寸为：27.34、27.49、27.55、27.23、27.40、27.46、27.38、27.58、27.54、27.68,请你根据正态分布的小概率事件，帮助质量检验员确定哪些零件应该判定在非正常状态下生产的

解：小概率事件是指在一次试验中几乎不可能发生的事件,我们对落在区间(27.4530.05,27.45+30.05)=(27.3,27.6)之外生产的零件尺寸做出拒绝接受零件是正常状态下生产的假设,有两个零件不符合落在区间(27.3,27.6)之内；答：尺寸为27.23和尺寸为27.68的两个零件，它们是在非正常状态下生产的例3.灯泡厂生产的白炽灯寿命ξ(单位:h),已知ξN(1000,302),要使灯泡的平均寿命为1000h的概率为99.7％,问灯泡的最低使用寿命应控制在多少小时以上？解：因为灯泡寿命ξN(1000,302)，故ξ在(1000330,1000+330)内取值的概率为99.7％，即在(910,1090)内取值的概率为99.7％，故灯泡的最低使用寿命应控制在910h以上例4.假设某市今年高考考生成绩服从正态分布N(500,1002)，现有25000名考生，计划招生10000名，试估计录取分数线解：设分数线为，那么分数超过的概率应为录取率，即查表得(0.25)0.5987，故∴525故录取分数线估计为525分

例5.某县农民年均收入服从=500元，=20元的正态分布(1)求此县农民年均收入在500元520元间人数的百分比(2)如果要使农民的年均收入在(a,+a)的概率不少于0.95，则