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文档简介

2.3.3三次样条插值华长生制作1高次插值出现龙格现象L-插值（牛顿插值）Hermite插值分段插值但分段线性插值在节点处不一定光滑分段Hermite插值但导数值不容易提取（找到）三次样条插值（先由函数值确定导数值，再由分段Hermite插值解决问题）举例：1汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）；2木样条的来源。背景华长生制作2什么是样条:样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数也是连续的1946年,Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数一、三次样条插值函数定义1.华长生制作3------(1)华长生制作4二、三次样条插值多项式------(2)华长生制作5------(3)------(4)华长生制作6少两个条件并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制也要对插值多项式在两端点的状态加以要求也就是所谓的边界条件:第一类(转角)边界条件:第二类(弯矩)边界条件第三类(周期)边界条件------(5)------(6)------(7)华长生制作7加上任何一类边界条件(至少两个)后一般使用第一、二类边界条件,即------(8)或常用第二类边界条件华长生制作82、三弯矩构造法三次样条插值函数可以有多种表达式，有时用二阶导数值表示时，使用更方便。在力学上解释为细梁在处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故称用表示的算法为三弯矩算法。对积分两次,并利用插值条件定出积分常数,可以得到由于在区间上是三次多项式，故在上是线性函数，可表示为其中华长生制作9

这是三次样条插值函数的表达式，当求出后,就由上式完全确定.对求导得由此可得当时,的表达式可得,因此有

利用条件得华长生制作10其中

上述方程组是关于的方程组,有个未知数,但只有个方程.可由前面给出的任一种边界条件补充两个方程。

对于转角边界条件，可以导出两个方程华长生制作11这样可解出，从而得的表达式,若令

则方程组可以写成矩阵形式对于弯矩边界条件,直接得然后再求解矩阵方程。华长生制作12对于周期性边界条件，有可解出，方程组的矩阵形式为其中华长生制作13例1.对于给定的节点及函数值解:华长生制作14得方程组华长生制作15华长生制作16定理.

设在[a,b]上连续，s(x)为满足转角边界条件（或弯矩边界条件）的三次样条插值函数，则对任意有

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