晶格振动和热学性质第一节课件

固体物理

SolidStatePhysics周剑平物理学与信息技术学院zhoujp@2013.9.~2014.1文津楼506星期二14:30-17:20第3讲晶格振动和热学性质

3CrystalVibrationsandThermalProperites

一维单原子链一维双原子链简正坐标三维晶格振动晶格比热SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU本章研究内容晶格振动的研究

——晶体的热学性质，热运动是晶体宏观性质的表现

。研究固体宏观性质和微观过程的重要基础，强烈地影响着物质的热学性质、电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等物理性质。杜隆－珀替经验规律一摩尔固体有N个原子，有3N个振动自由度，按能量均分定律，每个自由度平均热能为kBT/2，摩尔比热量3N0kB，为一常数。但实际上，低温下比热随温度的降低而降低。热膨胀、传导和晶格振动的非谐效应密切相关。SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU绝热近似讨论晶体结构时，我们把晶体内的原子看作是处于自己的平衡位置上固定不动的，但实际上，物质是在不断运动的，量子力学告诉我们，即使达到绝对零度，仍具有零点能的振动。它强烈地影响着物质的比热、热导、热膨胀、光反射等物理性质。绝热近似用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来描述电子对离子运动的影响。——将电子的运动和离子的运动分开晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式——格波格波的研究——先计算原子之间的相互作用力——根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU一维单原子链运动一维单原子链晶格周期为a，原子质量m，相对各自平衡位置的位移分别为ui平衡位置时，两个原子间的互作用势能V(a)发生相对位移

=ui–ui+1后，相互作用势能V(a+)考虑到平衡条件势能展式中保留到二阶——简谐近似

相邻原子间的作用力：力常数SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU一维单原子链运动只考虑最近邻原子间的相互作用，总的势能为第n个原子受力第n个原子的运动方程——每一个原子运动方程类似——方程的数目和原子数相同：力常数SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU运动方程的解试解（格波方程）naq

—第n个原子振动位相因子带入运动方程化简得到解得色散关系——波的频率-波矢关系真空中光波

=cq，空气中声波

=vq而格波的色散关系是非线性的。SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU格波物理意义格波简谐近似下，格波是简谐平面波格波意义：对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相格波的波形图（格波意义2）正方向的原子沿X轴向右振动负方向的原子沿X轴向左振动q的物理意义：波的传播方向（即沿q的方向）上，naq表示相位差表示SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU格波物理意义格波——格波解晶体中所有原子共同参与的一种频率相同、振幅相等的振动，不同原子间存在固定位相差einaq，每一确定q的解代表波长为2p/|q|的集体运动，这种振动以波的形式在整个晶体中传播，称为格波。格波波长：格波波矢：波矢表示波数，方向表示波的传播方向，q取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则晶格振动状态不同不同原子间位相差：相邻原子的位相差：SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU不同波长的格波如果l为整数，则q

和q'描述同一晶格振动状态格波得到色散关系所以所以，q

和q'描述同一晶格振动状态SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU不同波长的格波例如波长格波1(Red)相邻原子位相差格波2(Green)相邻原子位相差两条曲线描写的格点的运动状态完全相同.唯一不同的就是两格点之间的运动状态.而这些中间状态的差异并不影响物理实质.——两种波矢的格波中，原子的振动完全相同。SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU第一Brillouin区——两种波矢的格波中，原子的振动完全相同。所以相邻原子的位相差取波矢取——第一Brillouin区——只研究第一Brillouin晶格振动问题——其它区域不能提供新的物理内容色散关系：频率极大值和极小值只有频率在之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减（低频滤波），截止频率。SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU长波极限格波：长波极限情况当q→0时此时，一维单原子格波的色散关系与连续介质中弹性波的色散关系一致弹性波速（相速）为其中K，

为连续介质的弹性模量和介质密度——长波极限下，一维单原子晶格格波可以看作是弹性波——晶格可以看成是连续介质，其中波动方程和解为：SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU长波极限格波长波极限情况——声学波（accousticwave）相邻两个原子之间的位相差此时，一个波长内包含许多原子，晶格可看作连续介质波长格波的群速SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU短波极限格波短波极限情况当q→/a

时波长相邻两个原子振动的位相相反，恢复力和频率都达到最大值格波的群速在Brillouin区边界处，相当于受到Bragg反射，能量不能向外传播——驻波用到的两个定义：波速（相速），群速SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNUBorn-Karman边界条件周期性边界条件（Born-Karman边界条件）一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个原子的振动形式都一样实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述为了解决这一矛盾，采用周期边界条件——Born-Karman边界条件（1）N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的特点（2）N很大，原子运动近似为直线运动（3）处理问题时要考虑到环链的循环性SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU波矢的分立性设第n个原子的位移为un再增加N个原子之后，第N+n个原子的位移uN+n，则——h为整数波矢的取值范围h的取值范围h—N个整数值波矢q——取N个不同的分立值——第一布里渊区包含N个状态SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU状态密度相邻两个波矢间隔（每一个q的取值所占的空间）q的分布密度均匀分布L＝Na——晶体链的长度密度分布SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNUq取值第一Brillouin区的尺度第一Brillouin区的状态数得到结论求解格波步骤：（1）列运动方程；（2）取试探解；（3）代入原方程，得到久期方程；（4）由久期方程求色散关系（5）加周期边界条件；（6）求状态密度晶格振动格波数目（第一布里渊区内分立波矢量的数目）=晶格原胞数目=自由度数目SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU一维双原子链运动一维复式格子的情形——一维无限长链——两种原子m

和M(M>m)构成一维复式格子——M原子位于……，2n-1，2n+1，2n+3……

——m原子位于……，2n，2n+2，2n+4……——同种原子间的距离2a（晶格常数）——系统有N个原胞（2N个原子）简谐近似，只考虑最近邻原子间的相互作用，力常数为，总的势能为SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU一维双原子链运动第2n原子m受力第2n+1原子M受力运动方程方程解的形式

两种原子振动的振幅A和B是不同的SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU运动方程方程的解——A、B有非零的解，系数行列式为零解方程SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU得到久期方程：方程的两个解得到一维复式晶格中两种独立的格波，与q之间存在着两种不同的色散关系——-声学波——+光学波两种原子的振幅色散关系SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU长波极限：利用得到色散关系声学波——声学波的色散关系与一维单原子形式相同——可以看作是弹性波，晶格可以看成是连续介质长波极限SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU长波极限：波长振幅比——原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致——代表原胞质心的振动事实上，对于声学波，总有两种原子具有相同的运动方向长波极限SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU光学波振幅比——长光学波同种原子振动位相一致，相邻原子振动相反——原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动事实上，对于光学波，总有长波极限SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU短波极限：波长两种格波的频率声学波振幅比声学波：原胞中轻原子不动，只有重原子振动，相邻重原子运动方向相反光学波振幅比光学波：原胞中重原子不动，只有轻原子振动，相邻轻原子运动方向相反短波极限andSchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU振动图像一般情况下两支格波振动示意图SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU双原子链小结AcousticalwaveOpticalwave振动频率之间的关系在第一Brillouin区边界处，有一个频率间隙（禁区）一维双原子晶格叫做带通滤波器SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNUM和m原子振动方程相邻原胞之间位相差相邻晶胞之间的位相差限制为（参考单原子链取值）波矢q的值——仍然在第一Brillouin区内第一Brillouin区大小q取