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多自由度系统振动姓名:何江波学院:机械工程学院邮箱：445875183@2023/2/3教学内容拉格朗日方程多自由系统的无阻尼自由振动2无阻尼自由振动3m1m2k3k1k2F1(t)F2(t)m3k4k5k6F3(t)其中，[m]，[k]分别为质量矩阵，刚度矩阵。[k]和[F]为位移向量和力向量。如果考虑阻尼，则还会存在阻尼矩阵[c]，则动力学方程为：设系统为n自由度系统，振动方程为：(1)[m]为n*n维质量矩阵，[k]为n*n维刚度矩阵，其中[x]

为n维列向量。设方程的解为(2)[A]为n维列向量。将式(2)带入式(1)，得:(3)方程（3）为方程（2）的特征（本征）方程，因此线性系统自由振动的求解转化为相应特征值问题的求解。无阻尼自由振动4通常情况下，[m]和[k]

为正定矩阵。根据线性代数理论，将保证以上所有特征值大于或等于零。并且一般情况下，特征值彼此不相等，即所有特征值都是单根，那么对于每一个特征值都对应一个特征向量。将所有特征值开方，并按大小顺序依次排列，可以得到：

ω1,

ω1,

…,

ωn代表了自由振动的固有频率。由此有结论，n自由度系统有n个固有频率。进一步，每个特征值（每个固有频率）对应于一个特征向量，因此有n个特征向量：这样，我们得到了n个特征对每一个特征对叫做一个模态(mode)，ωi称为第i阶模态频率(或固有频率),[A](i)

称为模态振型(modalshape)。无阻尼自由振动5无阻尼自由振动6例:求图示系统的自然频率。2kmmk2kkx1x2x3求：固有频率和模态向量。解：利用拉格让日方程求出动力学方程：2kmmk2kkx1x2x3无阻尼自由振动74.3无阻尼自由振动，特征值问题特征方程：解得：

8附加条件(特征方程)：根据附加条件(特征方程)，可以得到：

设方程的解为将其带入振动方程中，可以得到：无阻尼自由振动9第二阶模态有1个节点，第三阶模态有2个节点，这由主振型内元素符号变号的次数可以判断出取A3=1,并且将三个特征频率分别带入，便可以得到与之对应的三个模态向量：无阻尼自由振动10模态图形：1121-11-11第一阶模态：第二阶模态：第三阶模态：无节点一个节点两个节点无阻尼自由振动11无阻尼自由振动12将蓝色下划线两式相减：对于ωr：转置左乘假设有两个频率ωr和

ωs

，他们分别对应了一个模态向量对于ωs：左乘无阻尼自由振动13若时，则得到：代回转置式，得到：上面两式表明模态向量关于质量矩阵和刚度矩阵正交每个模

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