第13课平面直角坐标系

第13课平面直角坐标系基础知识题型分类要点梳理题型一确定点的坐标基础自测题型二由确定点的位置的方法转换

写出点的坐标题型三图形变换与点的坐标易错警示10.错误确定平移变换后点的坐标知识点索引思想与方法5.坐标平面内，确定点的位置，使两条线段的和最小要点梳理基础知识·自主学习知识点索引1.平面直角坐标系

在平面内具有____________而且____________的两条数轴，就构成了平面直角坐标系，简称坐标系．建立了直角坐标系的平面叫坐标平面，x轴与y轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫第_______象限、第_______象限、第_______象限、第_______象限．公共原点互相垂直一二三四要点梳理基础知识·自主学习知识点索引要点梳理基础知识·自主学习知识点索引各象限内和坐标轴上的点和坐标的规律：第一象限：____________；第二象限：____________；第三象限：____________；第四象限：____________；x轴正方向：___________；x轴负方向：___________；y轴正方向：___________；y轴负方向：___________；x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0；原点坐标为____________．(＋，＋)正正(－，＋)负正(－，－)负负(＋，－)正负(＋，0)(－，0)(0，＋)(0，－)(0，0)要点梳理基础知识·自主学习知识点索引2.坐标系与实数对关系建立了坐标系的平面，有序实数对与坐标平面内的点____________．一一对应要点梳理基础知识·自主学习知识点索引3.对称点坐标的规律(1)坐标平面内，点P(x，y)关于x轴(横轴)的对称点P1的坐标为____________；(2)坐标平面内，点P(x，y)关于y轴(纵轴)的对称点P2的坐标为____________；(3)坐标平面内，点P(x，y)关于原点的对称点P3的坐标为____________．可用口诀记忆：关于谁轴对称谁不变，关于原点对称都要变．(－x，y)(x，－y)(－x，－y)要点梳理基础知识·自主学习知识点索引4.平移前后，点的坐标的变化规律(1)点(x，y)左移a个单位长度：____________；(2)点(x，y)右移a个单位长度：____________；(3)点(x，y)上移a个单位长度：____________；(4)点(x，y)下移a个单位长度：____________．可用口诀记忆：正向右，负向左，正向上，负向下．(x－a，y)(x＋a，y)(x，y＋a)(x，y－a)基础自测基础知识·自主学习知识点索引1.(2014台湾)如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录．基础自测基础知识·自主学习知识点索引根据图中两人的对话纪录，若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家，则此走法为何？()A.向北直走700公尺，再向西直走100公尺B.向北直走100公尺，再向东直走700公尺C.向北直走300公尺，再向西直走400公尺D.向北直走400公尺，再向东直走300公尺基础自测基础知识·自主学习知识点索引解析根据题意先画出图形，可得OA＝OC＝400＝AE，AB＝CD＝300，DE＝400－300＝100，故邮局出发走到小杰家的路径为：向北直走AB＋AE＝700(公尺)，再向西直走DE＝100(公尺)．故选A.基础自测基础知识·自主学习知识点索引根据图中两人的对话纪录，若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家，则此走法为何？()A.向北直走700公尺，再向西直走100公尺B.向北直走100公尺，再向东直走700公尺C.向北直走300公尺，再向西直走400公尺D.向北直走400公尺，再向东直走300公尺A基础自测基础知识·自主学习知识点索引2.(2014呼和浩特)已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A(－1，4)的对应点为C(4，7)，则点B(－4，－1)的对应点D的坐标为()A.(1，2) B.(2，9)C.(5，3) D.(－9，－4)A解析

∵点A(－1，4)的对应点为C(4，7)，∴平移规律为向右5个单位，向上3个单位，∵点B(－4，－1)，∴点D的坐标为(1，2)．故选A.基础自测基础知识·自主学习知识点索引3.(2014株洲)在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位．当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是()A.(66，34) B.(67，33)C.(100，33)D.(99，34)基础自测基础知识·自主学习知识点索引解析由题意得，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，∵100÷3＝33…1，∴走完第100步，为第34个循环组的第1步，∴所处位置的横坐标为：33×3＋1＝100，纵坐标为：33×1＝33，∴棋子所处位置的坐标是(100，33)．故选C.基础自测基础知识·自主学习知识点索引3.(2014株洲)在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位．当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是()A.(66，34) B.(67，33)C.(100，33)D.(99，34)C基础自测基础知识·自主学习知识点索引4.(2014济宁)如图，将△ABC绕点C(0，1)旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为(a，b)，则点A′的坐标为()A.(－a，－b) B.(－a，－b－1)C.(－a，－b＋1) D.(－a，－b＋2)基础自测基础知识·自主学习知识点索引解析根据题意，点A和A′关于点C对称，设点A′的坐标是(x，y)，解得x＝－a，y＝－b＋2，则点A的坐标是(－a，－b＋2)．故选D.基础自测基础知识·自主学习知识点索引4.(2014济宁)如图，将△ABC绕点C(0，1)旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为(a，b)，则点A′的坐标为()A.(－a，－b) B.(－a，－b－1)C.(－a，－b＋1) D.(－a，－b＋2)D基础自测基础知识·自主学习知识点索引5.(2014菏泽)若点M(x，y)满足(x＋y)2＝x2＋y2－2，则点M所在象限是()A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限C.第一象限或第二象限D.不能确定B解析∵(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，∴x2＋2xy＋y2＝x2＋y2－2，∴xy＝－1＜0，∴x、y异号，∴点M(x，y)在第二象限或第四象限．故选B.题型一确定点的坐标

题型分类·深度剖析知识点索引【例1】(2014南充)如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为则点C的坐标为()题型一确定点的坐标

题型分类·深度剖析知识点索引解析如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形OABC是正方形，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠COE＋∠AOD＝90°，又∵∠OAD＋∠AOD＝90°，∴∠OAD＝∠COE，题型一确定点的坐标

题型分类·深度剖析知识点索引题型一确定点的坐标

题型分类·深度剖析知识点索引【例1】(2014南充)如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为则点C的坐标为()A题型一确定点的坐标

题型分类·深度剖析知识点索引探究提高本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．利用点到坐标轴及原点的距离，结合各象限点的坐标特点，可以确定点的坐标．题型一确定点的坐标

题型分类·深度剖析知识点索引变式训练1

(2013温州)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为(－2，0)，(－1，0)，BC⊥x轴，将△ABC以y轴为对称轴作轴对称变换，得到△A′B′C′(A和A′，B和B′，C和C′分别是对应顶点)，直线y＝x＋b经过点A、C′，则点C′的坐标是________．题型一确定点的坐标

题型分类·深度剖析知识点索引解析

∵A(－2，0)，B(－1，0)，∴AO＝2，OB＝1，∵△A′B′C′和△ABC关于y轴对称，∴OB′＝OB＝1，即点C′的横坐标为1，∵直线y＝x＋b经过点A(－2，0)，∴0＝－2＋b，∴b＝2，即直线为y＝x＋2，∵直线y＝x＋2经过点C′，∴当x＝1时，y＝1＋2＝3，即点C′的坐标为(1，3)．题型一确定点的坐标

题型分类·深度剖析知识点索引变式训练1

(2013温州)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为(－2，0)，(－1，0)，BC⊥x轴，将△ABC以y轴为对称轴作轴对称变换，得到△A′B′C′(A和A′，B和B′，C和C′分别是对应顶点)，直线y＝x＋b经过点A、C′，则点C′的坐标是________．(1，3)题型二由确定点的位置的方法转换写出点的坐标

题型分类·深度剖析知识点索引【例2】已知坐标平面上的机器人接受指令“[a，A]”(a≥0，0°<A<180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向面对方向沿直线地走a.若机器人的位置在原点，面对方向为y轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐标为()题型分类·深度剖析知识点索引题型二由确定点的位置的方法转换写出点的坐标

解析过P作PM⊥y轴于M，在Rt△POM中，∠MOP＝60°，∴∠OPM＝30°，题型二由确定点的位置的方法转换写出点的坐标

题型分类·深度剖析知识点索引【例2】已知坐标平面上的机器人接受指令“[a，A]”(a≥0，0°<A<180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向面对方向沿直线地走a.若机器人的位置在原点，面对方向为y轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐标为()D题型分类·深度剖析知识点索引探究提高本题利用数形结合的方法确定点P的坐标．在阅读理解的基础上，先结合方位角的知识，在平面直角坐标系中找到指定[2，60°]所对应的点P的位置，然后利用解直角三角形的知识和坐标平面内点的坐标特征，求出点P的坐标．题型二由确定点的位置的方法转换写出点的坐标

变式训练2

(2013抚顺)如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是(－1，－1)、(0，2)、(2，0)，点P在y轴上，坐标为(0，－2)．点P关于点A的对称点为P1，点P1关于点B的对称点为P2，点P2关于点C的对称点为P3，点P3关于点A的对称点为P4，点P4关于点B的对称点为P5，点P5关于点C的对称点为P6，点P6关于点A的对称点为P7，…，按此规律进行下去，则点P2013的坐标是_________．题型分类·深度剖析知识点索引题型二由确定点的位置的方法转换写出点的坐标

题型分类·深度剖析知识点索引解析根据对称依次作出对称点，便不难发现，点P6与点P重合，也就是每6次对称为一个循环组循环，用2013除以6，根据商和余数的情况确定点P2013的位置，然后写出坐标即可．如图所示，点P6与点P重合，∵2013÷6＝335…3，∴点P2013是第336循环组的第3个点，与点P3重合，∴点P2013的坐标为(2，－4)．题型二由确定点的位置的方法转换写出点的坐标

变式训练2

(2013抚顺)如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是(－1，－1)、(0，2)、(2，0)，点P在y轴上，坐标为(0，－2)．点P关于点A的对称点为P1，点P1关于点B的对称点为P2，点P2关于点C的对称点为P3，点P3关于点A的对称点为P4，点P4关于点B的对称点为P5，点P5关于点C的对称点为P6，点P6关于点A的对称点为P7，…，按此规律进行下去，则点P2013的坐标是_________．题型分类·深度剖析知识点索引题型二由确定点的位置的方法转换写出点的坐标

(2，－4)题型三图形变换与点的坐标

题型分类·深度剖析知识点索引【例3】(1)(2014益阳)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为()A.1B.1或5C.3D.5解析

①当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；②当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5.故选B.B题型三图形变换与点的坐标

题型分类·深度剖析知识点索引(2)(2013泰安)在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P(2.4，2)平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为()A.(1.4，－1)B.(1.5，2)C.(1.6，1)D.(2.4，1)解析∵A(2，4)，A1(－2，1)，∴点P(2.4，2)平移后的对应点P1为(－1.6，－1)，∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，∴点P2的坐标为(1.6，1)．故选C.C题型三图形变换与点的坐标

题型分类·深度剖析知识点索引探究提高(1)题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径；(2)题考查了坐标与图形变化——旋转的性质，关键在于根据已知条件得出平移距离．题型三图形变换与点的坐标

题型分类·深度剖析知识点索引变式训练3(1)(2014昆明)如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为(1，3)，将线段OA向左平移2个单位长度，得到线段O′A′，则点A的对应点A′的坐标为__________．(－1，3)解析如图，当线段OA向左平移2个单位长度后得到线段O′A′，则A′的坐标为(－1，3)．题型三图形变换与点的坐标

题型分类·深度剖析知识点索引题型三图形变换与点的坐标

题型分类·深度剖析知识点索引解析设CE和x轴交于H，∵点C与点E关于x轴对称，∵△ACE是以□ABCD的对角线AC为边的等边三角形，∵OH＝7，∴AO＝DH＝9－7＝2，∴OD＝7－2＝5，∴D点的坐标是(5，0)．题型三图形变换与点的坐标

题型分类·深度剖析知识点索引(5，0)题型分类·深度剖析思想与方法系列思想与方法系列5坐标平面内，确定点的位置，使两条线段的和最小知识点索引试题已知抛物线y＝x2－x＋1与直线y＝3x－2交于A、B两点，△ABC的顶点C在y轴上．试确定点C的位置，使得△ABC的周长最小．题型分类·深度剖析思想与方法系列知识点索引审题视角

要使得△ABC的周长最小，即AB＋BC＋AC最小，题目中A、B两点的坐标可以由y＝x2－x＋1和y＝3x－2组成的方程组解得，则线段AB的长度一定，这样本题只需求BC＋AC的和最小，问题转化为在y轴上找一点C，使得线段BC、AC的和最小，其解决方法有：先找出点A(或B)关于y轴的对称点A′(或B′)，再作线段A′B(或B′A)，这条线段与y轴的交点C，就是所要求的使得线段BC、AC的和最小的点，也就是使得△ABC的周长最小的点．题型分类·深度剖析思想与方法系列知识点索引规范答题可得交点A、B的坐标分别为A(1，1)、B(3，7)．取点A(1，1)关于y轴的对称点A′(－1，1)，题型分类·深度剖析思想与方法系列知识点索引设直线A′B的解析式y＝kx＋b，题型分类·深度剖析思想与方法系列知识点索引答题模板题型分类·深度剖析答题模板

知识点索引第一步：审题，理解问题；第二步：确定已知定点的位置，求几条线段和的最短(小)值问题一般需要进行图形变换，使得两个定点中的一个与另一个关于某直线的对称点分列于某直线的两侧；第三步：应用待定系数法，求得过定点与另一点对称点的直线的函数解析式；第四步：根据动点所在直线的特点求得动点的坐标，进而解决问题；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题型分类·深度剖析思想与方法系列知识点索引批阅笔记求几条线段和的最短(小)值问题一般