高中数学人教B版3第一章计数原理 学业分层测评8

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是()A.第15项 B.第16项C.第17项 D.第18项【解析】第6项的二项式系数为Ceq\o\al(5,20)，又Ceq\o\al(15,20)＝Ceq\o\al(5,20)，所以第16项符合条件.【答案】B2.(2023·吉林一中期末)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)))n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是() 【解析】根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n＝32，可得n＝5，Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)x2(5－r)·x－r＝Ceq\o\al(r,5)x10－3r，令10－3r＝1，解得r＝3，所以展开式中含x项的系数是Ceq\o\al(3,5)＝10，故选C.【答案】C3.设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于() \f(3n－1,2)＋1 \f(3n＋1,2)【解析】令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n，①令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n，②①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)，∴a0＋a2＋…＋a2n＝eq\f(3n＋1,2).故选D.【答案】D4.(2023·信阳六高期中)已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则eq\f(b,a)的值为()\f(128,5) \f(256,7)\f(512,5) \f(128,7)【解析】a＝Ceq\o\al(4,8)＝70，设b＝Ceq\o\al(r,8)2r，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,8)2r≥C\o\al(r－1,8)2r－1，,C\o\al(r,8)2r≥C\o\al(r＋1,8)2r＋1，))得5≤r≤6，所以b＝Ceq\o\al(6,8)26＝Ceq\o\al(2,8)26＝7×28，所以eq\f(b,a)＝eq\f(128,5).故选A.【答案】A5.在(x－eq\r(2))2010的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝eq\r(2)时，S等于()【导学号：62980029】015 B.－23014014 D.－23008【解析】因为S＝eq\f(x－\r(2)2010－x＋\r(2)2010,2)，当x＝eq\r(2)时，S＝－eq\f(23015,2)＝－23014.【答案】B二、填空题6.若(1－2x)2016＝a0＋a1x＋…＋a2016x2016(x∈R)，则eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2016,22016)的值为________.【解析】令x＝0，得a0＝1.令x＝eq\f(1,2)，得a0＋eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2016,22016)＝0，所以eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2016,22016)＝－1.【答案】－17.若n是正整数，则7n＋7n－1Ceq\o\al(1,n)＋7n－2Ceq\o\al(2,n)＋…＋7Ceq\o\al(n－1,n)除以9的余数是________.【解析】7n＋7n－1Ceq\o\al(1,n)＋7n－2Ceq\o\al(2,n)＋…＋7Ceq\o\al(n－1,n)＝(7＋1)n－Ceq\o\al(n,n)＝8n－1＝(9－1)n－1＝Ceq\o\al(0,n)9n(－1)0＋Ceq\o\al(1,n)9n－1(－1)1＋…＋Ceq\o\al(n,n)90(－1)n－1，∴n为偶数时，余数为0；当n为奇数时，余数为7.【答案】7或08.在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图1­3­5所示.那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051图1­3­5【解析】根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，使得连续三项Ceq\o\al(k－1,n)，Ceq\o\al(k,n)，Ceq\o\al(k＋1,n)，有eq\f(C\o\al(k－1,n),C\o\al(k,n))＝eq\f(3,4)且eq\f(C\o\al(k,n),C\o\al(k＋1,n))＝eq\f(4,5).化简得eq\f(k,n－k＋1)＝eq\f(3,4)，eq\f(k＋1,n－k)＝eq\f(4,5)，联立解得k＝27，n＝62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数.【答案】62三、解答题9.已知(1＋2x－x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14.(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a14；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a13.【解】(1)令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27＝128.①(2)令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝(－2)7＝－128.②①－②得2(a1＋a3＋…＋a13)＝256，所以a1＋a3＋a5＋…＋a13＝128.10.已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋2x))n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数最大的项的系数.【解】由Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＝37，得1＋n＋eq\f(1,2)n(n－1)＝37，得n＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋2x))8的展开式共有9项，其中T5＝Ceq\o\al(4,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))4(2x)4＝eq\f(35,8)x4，该项的二项式系数最大，系数为eq\f(35,8).[能力提升]1.若(eq\r(2)－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝() B.－1 D.－2【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(eq\r(2)－1)10，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(eq\r(2)＋1)10，故(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a10)＝(eq\r(2)－1)10(eq\r(2)＋1)10＝1.【答案】A2.把通项公式为an＝2n－1(n∈N＋)的数列{an}的各项排成如图1­3­6所示的三角形数阵.记S(m，n)表示该数阵的第m行中从左到右的第n个数，则S(10,6)对应于数阵中的数是()135791113151719……图1­3­6 【解析】设这个数阵每一行的第一个数组成数列{bn}，则b1＝1，bn－bn－1＝2(n－1)，∴bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]＋1＝n2－n＋1，∴b10＝102－10＋1＝91，S(10,6)＝b10＋2×(6－1)＝101.【答案】B3.(2023·孝感高级中学期中)若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________.【解析】令x＝2，得－5＝a0，令x＝3，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11，所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.【答案】54.已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N＋)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值；(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次项的系数之和.【解】(1)由已知Ceq\o\al(1,m)＋2Ceq\o\al(1,n)＝11，所以m＋2n＝11，x2的系数为Ceq\o\al(2,m)＋22Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(mm－1,2)＋2n(n－1)＝eq\f(m2－m,2)＋(11－m)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11－m,2)－1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(21,4)))2＋eq\f(351,16).因为m∈N＋，所以m＝5时，x2的系数