第二章连续时间系统时域分析

第二章连续时间系统的时域分析2.1引言2.2微分方程式的建立与求解2.3起始点的跳变—从0-到0+状态的转换2.4零输入响应和零状态响应2.5冲激响应与阶跃响应2.6卷积2.7卷积的性质2.8用算子符号表示微分方程2.9以“分配函数”的概念认识冲激函数δ（t）2.1

引言系统数学模型的时域表示时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。本章中我们主要讨论输入、输出描述法。2.2微分方程式的建立与求解主要内容物理系统的模型微分方程的列写n阶线性时不变系统的描述求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。输入激励输出响应对于线性时不变系统，在时间域通常使用线性常系数微分方程来表示输入输出之间的关系。一、物理系统的数学模型二．微分方程的建立根据实际系统的物理特性建立系统的微分方程。对于电路系统，主要是按照元件的约束特性及系统结构的约束特性网络拓扑约束来建立对应的微分方程。元件的约束特性：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系等。网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL（基尔霍夫电流定律），KVL（基尔霍夫电压定律）

。例2-2-1电感电阻电容根据KCL代入上面元件伏安关系，并化简有这是一个代表RLC并联电路系统的二阶微分方程。求RLC并联电路的端电压与激励源间的关系。解：()tisRRiLLiCciab+-()tv弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦力为，外加牵引力为，其外加牵引力与刚体运动速度间的关系可以根据达朗贝尔定律推导出为这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。教材P43-44

两个不同性质的系统具有相同的数学模型（二阶微分方程），都是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则可以用高阶微分方程表示。例2-2-2kmsF机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧牵引，三．n阶线性时不变系统的描述一个线性系统，其激励信号与响应信号之间的关系，可以用下列形式的高阶微分方程式来描述若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。四．求解系统微分方程的经典法分析系统的方法：建立方程，求解方程。

求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。

解系统微分方程，也就是在已知输入激励的条件下求系统的响应r(t)。齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式注意重根情况处理方法。（例2-2-3）特解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。

（例2-2-4）经典法全解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解。例2-2-3

系统的特征方程为特征根因而对应的齐次解为解：例2-2-4如果已知：分别求两种情况下此方程的特解。给定微分方程式为使等式两端平衡，试选特解函数式将此式代入方程得到

解：等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有联解得到所以，特解为这里，B是待定系数。代入方程后有：(2)几种典型激励函数相应的特解激励函数e(t)响应函数r(t)的特解(特征根s¹α)(特征根s=)α我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，将响应定义为时对应微分方程的解，初始条件定义为

初始条件的确定是重点要解决的问题。下一节将给出解微分方程的例题2.3起始点的跳变—从0-到0+状态的转换起始状态初始状态起始点的跳变响应区间：激励信号加入之后系统状态变化区间一般在t=0时刻加入，响应区间为当系统用微分方程表示时，系统从到状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含及其各阶导数项。

说明一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：对于一个具体的电网络，系统的状态就是系统中储能元件的储能情况;但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感，状态就会发生跳变。

例2-3-1根据电路形式，列回路方程列结点电流方程(1)（1）建立电路的微分方程解：(2)求系统的完全响应系统的特征方程特征根齐次解代入式(1)方程右端自由项为要求系统的完全响应为特解(3)换路前因而有由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变,(4)求得要求的完全响应为当系统已经用微分方程表示时，系统的0-状态到0+状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含δ(t)及其各阶导数。如果包含有δ(t)及其各阶导数，说明相应的0-到0+状态发生了跳变，即r(0+)≠r(0-)或r′(0+)≠r′(0-)等等。这时为确定r(0+)、r′(0+)等0+状态值，可以用冲激函数匹配法。冲激函数匹配法的原理是根据t=0时刻微分方程左右两端的δ(t)及其各阶导数应该平衡相等。例2-3-2如果描述系统的微分方程为给定0-状态起始值为r(0-)，确定它的0+状态r(0+)。解：方程右端存在，因而有必定含有由此推出而方程右端不含因此除含有以外，还必须包含以平衡由于解题思路数学方法描述例2-3-3（即例2-3-1）（1）将e(t)代入，得时的微分方程为解：()te24Ot()()()()。和用冲激函数匹配法求和如图，已知输入的微分方程为描述++--==0dd0,00dd540

)(LTIrtrrtrte(2)方程右端的冲激函数项最高阶次是，因而有代入微分方程求得因而有经典法不足之处若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。*另一种方法是卷积法（将在2.6节讨论）系统完全响应=零输入响应+零状态响应2.4零输入响应和零状态响应先看一个实例例2-4-1已知电容两端起始电压vc(0-)，激励源为e(t),求t>0时的系统响应vc(t)。微分方程为vc(0-)-R++-+-vc(t)e(t)解：KVL()()()teRCtvRCtvdtdcc11=++=()cRdCdtvt()vtc()et()it系统的完全响应可以看作由外加激励源和起始状态共同作用的结果。系统的完全响应=零状态响应+零输入响应

一般情况，设系统是线性时不变的，含起始状态系统方框图为：H[·]e(t){x(0-)}r(t)=H[e(t)]+H[{x(0-)}]零输入响应rzi(t)：H[{x(0-)}]没有外加激励信号的作用，只有起始状态（起始时刻系统电容、电感储能）所产生的响应。

零状态响应rzs(t)：H[e(t)]

不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。

（H[·]表示系统作用的结果）零输入响应满足方程满足方程零状态响应自由响应齐次解强迫响应特解零输入响应零状态响应完全响应例2-4-2解：解得例2-4-3把t<0电路看作起始状态，分别求t>0时的零输入响应和零状态响应。1、零输入响应t>0电路：+-e(t)R1CL+-vc(0-)iL(0-)R2i(t)解：R1=1ΩC=1FL=1/4H+-vc(0-)=6/5ViL(0-)=4/5AR2=3/2

Ωi(t)满足微分方程：t>0零输入等效电路：R1=1Ω+-vc(0-)=6/5ViL(0-)=4/5AR2=3/2

Ωizi(0+)iL(0+)作出t=0+时刻的等效电路求得：零输入响应的形式：将代入求出常数要求的零输入响应：2.零状态响应+-e(t)=4u(t)C=1FL=1/4HR2=3/2Ωizs(t)R1=1Ω等效电路：微分方程：由例2-3-1可求得把e(t)=4u(t)代入方程右端得自由项利用冲激函数匹配法：代入原方程：求得3.完全响应零状态响应零输入响应瞬态响应稳态响应t→∞时保留下来的那部分分量自由响应齐次解强迫响应特解H[·]e(t){x(0-)}r(t)=H[e(t)]+H[{x(0-)}]对外加激励信号e(t)和它对应的响应rzs(t)=H[e(t)]的关系而言，若系统的起始状态为零，{xi(0-)}=0，则零输入响应为零，那么用常系数微分方程描述的系统是线性的和时不变的。如果起始状态{xi(0-)}≠0，由于响应中零输入分量的存在，导致系统响应对外加激励e(t)不满足叠加性和均匀性，也不满足时不变性，因而是非线性时变系统。同时由于零输入分量存在，使响应的变化不可能只发生在激励变化之后，因而系统也是非因果的。这样可以说用常系数微分方程描述的系统只有在起始状态为零的条件下，系统才是线性时不变的，而且是因果的。如果将起始状态也看成是一种激励，如电压源vC(0-)和电流源iL(0-)，则对零输入响应rzi(t)而言也满足叠加性和均匀性，因而可以把常系数微分方程描述的系统的线性加以扩展：（1）响应的可分解性：系统响应可以分解为零输入响应和零状态响应。（2）零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应rzs(t)对于外加激励信号e(t)呈现线性，称为零状态线性。（3）零输入线性：当外加激励为零时，系统的零输入响应rzi(t)对于各起始状态呈线性关系，称为零输入线性。注意2.5冲激响应和阶跃响应一．定义1．冲激响应h(t)系统在单位冲激信号作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。

2．阶跃响应g(t)系统在单位阶跃信号激励下产生的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用g(t)表示。

3．h(t)与g(t)的关系冲激信号与单位阶跃信号之间存在微分与积分关系，因而对于LTI系统，h(t)与g(t)间也同样存在微分积分关系，即由于系统冲激响应h(t)要求系统在零状态条件下，且输入激励为单位冲激信号δ(t)，因而冲激响应h(t)仅取决于系统的内部结构及其元件参数。也就是说，不同结构和元件参数的系统，将具有不同的冲激响应。因此，系统的冲激响应h(t)可以表征系统本身的特性。换句话说，不同的系统就会有不同的冲激响应h(t)。二．h(t)表示系统特性任意信号都可以用冲激信号的组合来表示：若将e(t)作用到冲激响应为h(t)的线性时不变系统，则系统的响应为：由于h(t)是在零状态下定义的，因而上式表示的响应是系统的零状态响应rzs(t)。（卷积积分的计算及性质将在2.6、2.7节介绍）卷积（H[·]表示系统作用的结果）系统的时域、频域、S域模型冲激响应h(t)与系统函数H(ω)、H(s)从时域和变换域两方面表征了同一系统的本性。响应及其各阶导数(最高阶为n次)三.冲激响应求解(1)冲激响应的数学模型对于线性时不变系统,可以用一高阶常系数微分方程表示

激励及其各阶导数(最高阶为m次)令e(t)=(t)则r(t)=h(t) （式一）起始状态(2)h(t)解的形式由于δ（t）及其各阶导数在t≥0+时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。在n>m时，h(t)可以表示为（式二）式中待定系数Ak(k=1,2,…,n)可以采用冲激函数匹配法确定，即将式二代入式一中，为保持系统对应的动态方程式恒等，方程式两边所具有的冲激信号及其高阶导数必须相等，根据此规则即可求得系统的冲激响应h(t)中的待定系数。当n≤m时,要使方程式两边所具有的冲激信号及其高阶导数相等，则h(t)表示式中还应含有δ(t)及其相应阶的导数δ(m-n)(t),δ(m-n-1)(t),…δ′(t)等项。此时可设冲激响应h(t)中是否含有冲激信号δ(t)及其高阶导数，是通过观察动态方程右边的δ(t)的最高次与左边h(t)的导数最高次来决定。对于h(t)中的含u(t)项，其形式由特征方程的特征根来决定，其设定形式与零输入响应的设定方式相同，即将特征根分为不等根、重根、共轭根等几种情况分别设定。例2-5-1

设系统微分方程为求其冲激响应。（方法一）解:n=2>m=1方程的特征根为a1=-2,a2=-3,可以设而方程右端为将上述结果代入后对比可得最后解出A1=3，A2=-2冲激响应为为了保证等式两边系数相平衡，显然当m=n时，h(t)的表达式中应包含δ(t)项；当m>n时,h(t)中还应包含δ(t)的相应阶导数项。此时可设δ(t)的筛选特性：δ(t)f(t)=f(0)δ(t)无须求h(0+)和例2-5-2对例2-3-1所示电路，求电流i(t)对激励e(t)=δ(t)的冲激响应。（方法二）解：冲激响应系统的微分方程将e(t)→(t)， i(t)→h(t)下面利用冲激函数匹配法求h(0+)和由于方程右端自由项(t)的最高阶导数为″(t)，所以须求h(0+)和代入方程进一步求参数A1、A2响应及其各阶导数(最高阶为n次)四.阶跃响应求解(1)阶跃响应的数学模型对于线性时不变系统,可以用一高阶常系数微分方程表示

激励及其各阶导数(最高阶为m次)令e(t)=u(t)则r(t)=g(t) （式一）起始状态(2)g(t)解的形式与冲激响应方程右端恒为零不同，阶跃响应方程右端的自由项含有δ(t)及其各阶导数，同时还包含阶跃函数u(t)，因而阶跃响应表示式中，除去含齐次解形式之外，还应含有特解项。（式二）例2-5-3求电流i(t)对激励e(t)=u(t)的阶跃响应g(t)阶跃响应g(t)满足方程求特解B，对t≥0+代入方程10B=4故B=2/5解：B为常数，因为激励为阶跃信号，即时，其为常数1，由P46表2-2有，激励函数为常数时，响应函数的特解也为常数。利用冲激函数匹配法求常数A1、A2，由于方程右端自由项(t)的最高阶导数为′

(t)，所以注意：该题也可以直接利用例2-5-2的结果以及h(t)与g(t)的微、积分的关系求得。代入方程一．卷积（Convolution）卷积积分的结果为另一个新的时间信号。

信号的脉冲分量分解之实质是将信号表示为其本身与单位脉冲函数的卷积，换句话说，即任意信号可以用冲激信号的组合表示。线性时不变系统的零状态响应为：2.６卷积由上式知卷积的物理意义：卷积的原理就是将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应，求解系统对任意激励信号的零状态响应。二．卷积的计算信号存在时间的局限性（如分段信号），卷积的积分限会有所变化。卷积积分中积分限的确定是非常关键的。(1)利用图解说明确定积分限(2)借助于阶跃函数u(t)确定积分限卷积的图解步骤方法一：利用图解确定积分限例2-6-1Ot()tf1111-Ot()t1f111-()tf2Ot323Ot231-1浮动坐标浮动坐标：下限上限t-3t-0t：移动的距离t=0未移动f2(t-)t>0右移f2(t-)t<0左移f2(t-)-11t>0右移f2(t-)t-1两波形没有重合处，二者乘积为0，即积分为0-1t1时两波形有重合部分，积分开始不为0，积分下限-1，上限t，t为移动时间;1t2即1t21t2范围内两波形有重合部分，积分不为0，积分下限-1，上限1;2t4即2

t4Ot()t1f111-2t4范围内两波形有重合部分，积分不为0，积分下限t-3，上限1;t4Ot()t1f111-两波形没有重合处，二者乘积为0，即积分为0即t4t-310)(2)(12=--tttfttf，而有非零值1)(1=tf而时)(2-ttf为零卷积结果Ot()tf1111-)(tgtO2421-1用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积分限尤为方便准确，但比较繁琐。用解析式做容易出错，最好将两种方法结合起来。

方法二：借助于阶跃函数u(t)确定积分限例2-6-2定积分限（关键）波形Ot()rt2Ot()te12Ot()th1例2-6-3tA)(t-thOttA)(thOt)(teOa0w202wa+一．代数性质1．交换律2．分配律3．结合律2.7卷积的性质二．位移性证明交换律卷积结果与交换两函数的次序无关。因为反褶与反褶的积分面积与t无关。一般选简单函数为移动函数。如矩形脉冲或(t)。分配律、结合律在系统分析中的应用：分配律用于系统分析，相当于并联系统的冲激响应，等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。

å()th1()th2++()te()tr（a）并联系统的结合律用于系统分析，相当于串联系统的冲激响应，等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。

（b）串联系统的()th1()th2()te()tr微分性积分性三．微分、积分性质推广：微分性质积分性质联合使用n>0微分,n<0积分微分n次，积分m次m=n,微分次数＝积分次数微分性质的证明两端对t求导

同理已知即四.与冲激函数或阶跃函数的卷积推广：信号的脉冲分量分解之实质是将信号表示为其本身与单位脉冲函数的卷积。延时微积分例2-7-111111-)(tf)(thtt2OO1tO11t2())(1tf-)(th¢O)1(-O12O1211-tt)(tg)()1(t-f)(t-¢th1-tt3()1-011t-1/2e(t)012th(t)01t-1/2(-1)012t011t-1例2-7-23t（a）（b）（c）（d）由图c、d，可以看出如果对某一信号微分后出现冲激信号，则卷积最终结果是另一信号对应积分后平移叠加的结果。需要注意：因常数信号经微分变成零，此时需要特殊处理。013仅用来表示定义域不对它们进行积分计算2例2-7-3图(a)系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激响应如图(b)所示。求复合系统的冲激响应，并画出它的波形。(a)(b)解：如下图所示

å()th1()th1()th2++()tf()tyt()th1O11t()th2O112t()thO1123021h1(t)+h2(t)t此题如果直接利用卷积微分与积分性质计算，则将得出错误的结果。例2-7-4解：ot()tf1121ot()tf211-()()11++-tuet教材P85习题2-19（b）此题若将f1(t)看成两个信号的叠加，则也可以利用该性质计算：o12t)()(21tftf*微分算子和积分算子

微分算子定义

(2.3-1)

积分算子定义

(2.3-2)

定义表明,微分和积分算子分别是微分和积分运算符号的另一种简化表示.例如性质:性质1以p的正幂多项式出现的运算式,在形式上可以象代数多项式那样进行展开和因式分解.例如:

性质2设A(p)和B(p)是p的正幂多项式,则

A(p)B(p)f(t)=B(p)A(p)f(t)(2.3-3)性质3微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消去.例如,方程

py(t)=pf(t)不能随意消去公因子p而得到y(t)=f(t)的结果.因为他们之间可以相差一个常数c.正确结果应写为:y(t)=f(t)+c性质4

设A(p),B(p),D(p)均为p的正幂多项式,则:(2.3-4)但是:(2.3-5)可见,对函数进行先除后乘算子p的运算时,公式的分子与分母中共有p算子允许消去.而对函数进行先乘后除运算时,则不能相消.也就是说,对函数乘除算子p的顺序不能随意颠倒.LTI系统的微分算子方程

微分算子方程

对于n阶LIT连续系统,其输入输出方程是n阶线性常系数微分方程.若设系统输入为f(t),输出为y(t),则可表示为

(2.3-6)

利用微分算子将上式表示成

(2.3-7a)

或缩写成

(2.3-7b)

或进一步简记为

(2.3-7c)

式中

上面诸式中

和

均为常数,且

。式(2.3-7)称为系统的微分算子方程,简称算子方程.系统传输算子

将微分算子方程(2.3-7c)在形式上改写为

(2.3-8)

式中

(2.3-9)

它代表了系统对输入的传输作用,故称为响应对激励的传输算子,或系统的传输算子.

图2.3-1给出了用传输算子H(p)表示的LIT连续系统的输入输出模型.

例2.3-1设某连续系统的传输算子为

试写出系统的输入输出微分方程。解：令系统输入为

，输出为

。由给定的传输算子

写出系统算子方程

该方程所代表的

与

之间的真正关系是

故系统的输入输出微分方程为

电路系统算子方程一.算子电路模型

将各基本元件

上的电压,电流关系(

)用微积分算子形式表示,得到的模型称为元件的算子模型,如表2.2所示.

表2.2电路元件的算子模型元件名称电路符号u~i关系（VAR）VAR的算子形式算子模型电阻

电感

电容