2017-2018版高中数学第一章数列1.2数列的函数特性学案5

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE10学必求其心得，业必贵于专精PAGE1。2数列的函数特性学习目标1。理解数列的几种表示方法.2.能从函数的观点研究数列．知识点一数列的表示方法思考以数列2，4，6,8，10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？梳理数列的表示方法有____________法、________法、列表法、递推公式法．知识点二数列的增减性思考观察知识点一中数列2，4,6，8，…的图像，随着n的增大，an有什么特点?梳理一般地，按项的增减趋势分类，从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an＋1____an，那么这个数列叫作____________；从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即an＋1____an，那么这个数列叫作____________；各项相等的数列叫作____________；从第2项起,有些项小于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫作____________．类型一数列的表示方法例1图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在4个三角形图案中,着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式,并在直角坐标系中画出它的图像．反思与感悟由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与序号之间的联系，善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化，从而达到解决问题的目的．跟踪训练1传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是________．类型二数列的增减性命题角度1判断数列的增减性例2判断数列{eq\f（n,n＋1）}的增减性．反思与感悟对于无穷数列，不可能从第2项起逐项验证是否大于前一项．故需考察an＋1－an的正负来研究数列的增减性．跟踪训练2若数列｛n2＋λn}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．命题角度2求数列中的最大项与最小项例3在数列{an}中，an＝(n＋1)（eq\f(10,11))n(n∈N＋）．(1）求证：数列{an}先递增，后递减;（2）求数列{an｝的最大项．反思与感悟数列中最大项与最小项的两种求法(1)若求最大项an，则an应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（an≥an＋1,,an≥an－1，）)若求最小项an，则an应满足eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an＋1,,an≤an－1.）)(2)将数列看作一个特殊的函数，通过求函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应注意n∈N＋这一条件．跟踪训练3已知数列｛an}的通项公式为an＝eq\f(4n－12,2n－7)，求数列{an｝的最大项和最小项．1．已知数列｛an}的通项公式是an＝eq\f(n＋2,n＋1)，则这个数列是()A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．摆动数列2．已知数列{an}满足a1＝2,an＋1－an＋1＝0(n∈N＋)，则此数列是（)A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．摆动数列3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．1．{an}与an是不同的两种表示，｛an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数列{an｝的第n项，an与｛an｝是“个体”与“整体"的从属关系．2．数列的表示方法：(1)图像法；（2)列表法；(3)通项公式法；（4)递推公式法．3．判断数列增减性的办法一般是作差：an＋1－an,通过判断差的正负来判断数列{an}的增减性．当an>0,也可用作商法与1比较大小判断数列的增减性．通过判断数列在各区间上的增减性，可求出数列的最大项与最小项．

答案精析问题导学知识点一思考对数列2,4，6,8，10,12，…可用以下几种方法表示：①通项公式法：an＝2n.②递推公式法:eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a1＝2，，an＋1＝an＋2，n∈N＋.)）③列表法：n123…k…an246…2k…④图像法:梳理通项公式图像知识点二思考图像上升，an随n增大而增大．梳理〉递增数列〈递减数列常数列摆动数列题型探究例1解这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1，3，9,27。则所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是an＝3n－1.在直角坐标系中的图像为一些孤立的点（如图所示)．跟踪训练155例2解设an＝eq\f(n，n＋1），则an＋1－an＝eq\f（n＋1,n＋2)－eq\f(n，n＋1）＝eq\f(1，n＋2n＋1)>0，∴{eq\f(n，n＋1）}是递增数列．跟踪训练2(－3,＋∞)解析设an＝n2＋λn，则an＋1－an＝(n＋1）2＋λ(n＋1）－n2－λn＝2n＋1＋λ〉0对任意n∈N＋恒成立．∴(2n＋1＋λ)min＝3＋λ>0,∴λ〉－3.例3（1)证明令eq\f(an，an－1)>1(n≥2），即eq\f（n＋1·\f（10，11)n，n·\f(10，11)n－1）〉1，整理得eq\f（n＋1,n）>eq\f（11，10），解得n<10.令eq\f(an，an＋1）>1，即eq\f（n＋1·\f（10,11）n,n＋2·\f(10,11）n＋1)〉1.整理得eq\f（n＋1，n＋2）〉eq\f(10，11)，解得n>9。所以数列{an｝从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列{an}先增后减．（2)解由(1）知a9＝a10＝eq\f（1010,119）最大．跟踪训练3解因为an＋1－an＝eq\f(4n－8,2n－5）－eq\f（4n－12,2n－7)＝eq\f（4n－82n－7－4n－122n－5，2n－52n－7)＝eq\f（8n2－44n＋56－8n2－44n＋60,2n－52n－7)＝－eq\f(4，2n－52n－7)＝－eq\f(1,n－\f（5，2)n－\f(7，2))当n≤2时，an＋1－an<0，即an＋1〈an；当n＝3时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n≥4时，an＋1－an〈0，即an＋1<an.又当n≤3时，an〈2；当n≥4时，an〉2.所以a4〉a5〉…〉a