第二章 复变函数积分

一億美元的太空照片这次只批改1班的同学，2班同学的作业只写“查”、“阅”。第二次反过来。依次类推。请在作业本上务必写上班级、学号！未交作业的同学学号：物理学1班为5、6、40物理学2班为9、11、45

复变函数积分理论是复变函数的核心内容，关于复变函数的许多结论都是通过积分来讨论的，更重要的是我们要讨论解析函数积分的性质，并给出解析函数积分的基本定理与基本公式，这些性质是解析函数理论的基础，我们还将得到解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。解析函数?路积分路积分的概念和性质实变函数复变函数定义性质记住记住??提问路积分路积分的计算思路化复数为实数公式I∫Cf(z)dz=∫C(u+iv)(dx+idy)=∫C(udx-vdy)+i∫C(udy+vdx)公式II∫Cf(z)dz=∫C(u+iv)(eiφdr+ireiφdφ)=∫Ceiφ[(udr-vrdφ)+i(urdφ+vdr)]典型应用实例例3.2.2（非闭合环路积分中的换元积分法）

计算积分

【解法1】在整个复平面上解析，且运用复积分的牛顿－莱布尼兹公式有【解法2】换元积分法令，则当，有；当，有

所以

例3.2.4计算积分因而积分与路径无关，可用分部积分法得【解】由于

在复平面内处处解析，附：希腊字母读音表及意义

大写小写英文读音国际音标意义Ααalpha/'alfa/角度，系数Ββbeta/'beitə/磁通系数，角度，系数Γγgamma/'gæmə/电导系数，角度Δδdelta/'deltə/变动，密度，屈光度Εεepsilon/ep'silon/对数之基数Ζζzeta/'zi:tə/系数，方位角，阻抗，相对粘度Ηηeta/'i:tə/迟滞系数，效率Θθtheta/'θi:tə/温度，角度Ιι℩iota/ai'oute/微小，一点Κκkappa/kæpə/介质常数∧λlambda/'læmdə/波长，体积Μμmu/mju:/磁导系数，微，动摩擦系数，流体粘度Ννnu/nju:/磁阻系数Ξξxi/ksai/随机数，（小）区间内的一个未知特定值Οοomicron/oumaik'rən/高阶无穷小函数例计算，其中C为从原点到点3+4i的直线段．

【解】直线的方程可写成或于是又因由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积分与路径无关的条件，所以的值不论是怎样的曲线都等于，这说明有些函数的积分值与积分路径无关．计算作业（必做）积分路径是直线段计算积分路径是直线段精美图苑：吳哥(柬埔寨古都)

记住单连通区域与多连通区域设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于B，则称B为单连通区域，否则称为多连通区域。BB单连通域多连通域记住这个定理是柯西(Cauchy)于1825年发表的，古莎(Goursat)于1900年提出了修改，故又称为柯西－古莎定理.举例记住举例记住填“顺时针方向”，“逆时针方向”记住

据此规定，故有界单连通区域积分的边界线沿为正方向。而对于有界复连通区域，外边界取为边界线的正方向，内边界取为正方向．（注意：对于无界区域则相反，内边界取为边界线的正方向）举例记住

据此规定，故有界单连通区域积分的边界线沿逆时针方向为正方向．而对于有界复连通区域，外边界取逆时针为边界线的正方向，内边界取顺时针方向为正方向．（注意：对于无界区域则相反，内边界取顺时针方向为边界线的正方向）。xyORxyORxyROr1xyR-ROxOyxOy21举例指出记住记住123举例可直接用如下公式：是圆周务必记住计算作业（必做）是圆周计算可直接用如下公式：务必记住0xy2-22-21-1是圆周计算精美图苑：巴西里約熱內盧救世主耶穌雕像

记住记住复积分的牛顿－莱布尼兹公式务必记住世界科技发展史10万年前火的使用、石制工具3万年前关于来世、生育等思想1万年前栽种谷物、动物驯养、陶器出现5000年前金字塔和庙宇、史前巨石阵4000年前中国早期的天文学，金属加工，印度数学开端3000年前埃及历法约2000年前后托勒密的天文学和地学希腊数学家和哲学家毕达哥拉斯（公元前572--公元前497年）、柏拉图(公元前427年--前347年）和亚里士多德（公元前384

--公元前322）和希腊数学家如欧几里得（公元前325--公元前265）记住记住记住提问记住应用举例柯西公式应用举例例1问题：计算回路积分分析：与柯西公式比较，可知f(z)=cosh(z),a=-1解：由柯西公式柯西公式例2问题：计算回路积分分析：与柯西公式比较，可知f(z)=，a=例3问题：计算回路积分分析：记住或记住记住例例问题：计算回路积分分析：与推广的柯西公式比较，可知f(z)=sinh(z)，a=0，n=1解：由推广的柯西公式作业（必做）作业（选做）第31页1、计算2