高中数学苏教版2二阶矩阵与平面向量

学业分层测评(一)学业达标]1.画出矩阵eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(23－1,1－12))所表示的三角形.【解】矩阵eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(23－1,1－12))所表示的点依次为A(2，1)，B(3，－1)，C(－1，2)，则三点所确定的三角形如图所示：2.已知矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1x,y2))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(m＋2n2x＋y,x－ym－n)).若A＝B，求x＋y＋m＋n的值.【导学号：30650003】【解】∵A＝B，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋2n＝1，,2x＋y＝x，,x－y＝y，,m－n＝2.))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0，,m＝\f(5,3)，,n＝－\f(1,3).))∴x＋y＋m＋n＝0＋0＋eq\f(5,3)－eq\f(1,3)＝eq\f(4,3).3.已知方程组为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－2y＝3，))(1)写出由它的系数构成的矩阵；(2)若将常数项与系数联合起来，可以构成一个二行三列的矩阵，试写出该矩阵.【解】(1)因为方程x＋y＝2中x与y的系数分别为1，1；方程x－2y＝3中x与y的系数分别为1，－2，所以原方程组系数构成的矩阵为M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,1－2)).(2)M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(112,1－23)).4.营养配餐中心为学生准备了各种菜肴，每份中能量、脂肪、蛋白质的含量各不相同.“红烧肉”中所含上述三种营养成分分别为649千卡(1千卡＝4187焦耳)、30g、10g；“青椒肉丝”中所含上述三种营养成分分别为258千卡、20g、19g；“韭菜豆芽”中所含上述三种营养成分分别为131千卡、15g、3g，试将上述结果用矩阵表示出来.【解】各种菜肴中各种营养成分的含量如下表：能量(千卡)脂肪(g)蛋白质(g)红烧肉6493010青椒肉丝2582019韭菜豆芽131153所以可用矩阵M表示为M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6493010,2582019,131153)).5.设矩阵A为二阶矩阵，且规定其元素aij＝i2＋j2，i＝1，2，j＝1，2，试求矩阵A.【解】根据题意，则有A＝(aij)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11a12,a21a22))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12＋1212＋22,22＋1222＋22))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(25,58)).6.已知n阶矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(36…aij…a1n,611…a2j…a2n,………………,ai1ai2…aij…ain,………………,an1an2…anj…ann))，其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数.(1)写出a45的值；(2)写出aij的计算公式.【解】(1)∵第1列成等差数列，a11＝3，公差为3，∴a41＝3＋(4－1)×3＝12.∵第2列成等差数列，a21＝6，公差为5，∴a42＝6＋(4－1)×5＝21.又∵第4行成等差数列，公差为21－12＝9，∴a45＝12＋(5－1)×9＝48.(2)由(1)得ai1＝3＋(i－1)×3＝3i，ai2＝6＋(i－1)×5＝5i＋1，∴第i行的公差为2i＋1，∴aij＝3i＋(j－1)×(2i＋1)＝2ij＋i＋j－1.7.已知甲、乙、丙三人中，甲、乙相识，甲、丙不相识，乙、丙相识.若用0表示两人之间不相识，用1表示两人之间相识，请用一个矩阵表示他们之间的相识关系.(规定每个人都和自己相识)【解】将他们之间的相识关系列表如下：甲乙丙甲110乙111丙011故用矩阵表示为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(110,111,011)).能力提升]8.小王是个气象爱好者，他根据多年收集的资料，发现了当地天气有如下的规律：晴天的次日是晴天的概率为eq\f(3,4)；晴天的次日是阴天的概率为eq\f(1,8)；晴天的次日是雨天的概率为eq\f(1,8).同样的，阴天的次日为晴天、阴天、雨天的概率分别是eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,4)；雨天的次日为晴天、阴天、雨天的概率分别是eq\f(1,4)，eq\f(1,2)，eq\f(1,4).试用矩阵表示上述数据.【导学号：30650004】【解】晴天、阴天、雨天的次日分别是晴天、阴天、雨天的概率关系如下表：晴天的概率阴天的概率雨天的概率晴天的次日eq\f(3,4)eq\f(1,8)eq\f(1,8)阴天的次日eq\f(1,2)eq\f(1,4)eq\f(1,4)雨天的次日eq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1