高中数学北师大版第一章三角函数 全国一等奖

9函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像习题课时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知函数f(x)＝sinπx的图像的一部分如图(1)，则图(2)的函数图像所对应的函数解析式可以为()(1)(2)A．y＝f(2x－eq\f(1,2))B．y＝f(2x－1)C．y＝f(eq\f(x,2)－1)D．y＝f(eq\f(x,2)－eq\f(1,2))答案：B解析：因为图(2)中的图像可以看作是图(1)中的图像先向右平移一个单位，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的二分之一倍而得到，所以图(2)所对应的函数解析式应是y＝f(2x－1)．故选B.2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在x＝1处取得最大值，则()A．函数f(x－1)一定是奇函数B．函数f(x－1)一定是偶函数C．函数f(x＋1)一定是奇函数D．函数f(x＋1)一定是偶函数答案：D解析：因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在x＝1处取得最大值，则说明sin(ω＋φ)＝±1，解得ω＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，因此函数利用诱导公式，f(x＋1)必然是偶函数，选D.3．设ω>0，函数y＝sin(ωx＋eq\f(π,3))＋2的图像向右平移eq\f(4π,3)个单位后与原图像重合，则ω的最小值是()\f(2,3)\f(4,3)\f(3,2)D．3答案：C解析：因为ω>0，函数y＝sin(ωx＋eq\f(π,3))＋2的图像向右平移eq\f(4π,3)个单位后与原图像重合，说明至少平移一个周期，或者是周期的整倍数，因此eq\f(4π,3)＝nT＝n·eq\f(2π,ω)∴当n＝1，ω＝eq\f(3,2).4．函数f(x)＝3sin(3x＋φ)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－2,f(b)＝2，则g(x)＝2cos(2x＋φ)在[a，b]上()A．是增函数B．是减函数C．可以取得最大值D．可以取得最小值答案：C解析：由f(x)在[a，b]上为增函数及f(a)＝－2,f(b)＝2知，g(x)在[a，b]上先增后减，可以取到最大值．5．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图像不可能是()答案：D解析：当a＝0时，f(x)＝1，选项C符合；当0<|a|<1时，T>2π，且f(x)的最小值为正数，选项A符合；当|a|>1时，T<2π，且f(x)的最小值为负数，选项B符合；在选项D中，由振幅得|a|>1，则T<2π，而由图像知T>2π矛盾，故选D.6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝eq\f(π,2)时，f(x)取得最大值，则()A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数答案：A解析：由T＝6π，得ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(1,3).当x＝eq\f(π,2)时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\f(π,2)＋φ))＝1，即eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，可得φ＝eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z.而－π<φ≤π，可得φ＝eq\f(π,3).故f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(π,3)))，结合其图像可知选A.二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图像如图所示，则ω＝________.答案：eq\f(3,2)解析：由图，知eq\f(T,4)＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,3)，∴T＝eq\f(4π,3).又T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(4π,3)，∴ω＝eq\f(3,2).8．已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))的图像向左平移eq\f(π,6)个单位长度后与函数g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))的图像重合，则正数ω的最小值为________．答案：eq\f(23,2)解析：函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))的图像向左平移eq\f(π,6)个单位长度后，得到的图像所对应的函数是y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)ω＋\f(π,4)))，其图像与函数g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))的图像重合，∴eq\f(π,6)ω＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z.又ω>0，∴当k＝1时，ω取得最小值为eq\f(23,2).9．关于f(x)＝3sin(2x＋eq\f(π,4))有以下命题：①若f(x1)＝f(x2)＝0，则x1－x2＝kπ(k∈Z);②f(x)图像与g(x)＝3cos(2x－eq\f(π,4))图像相同；③f(x)在区间[－eq\f(7π,8)，－eq\f(3π,8)]上是减函数；④f(x)图像关于点(－eq\f(π,8)，0)对称．其中正确的命题是________．答案：①②解析：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,6)－\f(π,3)))＝3sineq\f(3π,2)＝－3，∴①正确；由－eq\f(π,12)<x<eq\f(5π,12)⇒－eq\f(π,2)<2x－eq\f(π,3)<eq\f(π,2)，函数y＝3sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增，知函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))上单调递增，②正确；因为f(x)＝3sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，∴把y＝3sin2x的图像向右平移eq\f(π,6)个单位长度得到函数f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图像，③不正确．三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．已知函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ－\f(π,6)))＋1(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为eq\f(π,2).(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))的值；(2)将函数f(x)的图像向右平移eq\f(π,6)个单位长度后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)的单调递减区间．解：(1)∵f(x)为偶函数，∴φ－eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴φ＝kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)．又0<φ<π，∴φ＝eq\f(2π,3)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,2)))＋1＝2cosωx＋1.又函数f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为eq\f(π,2)，∴T＝eq\f(2π,ω)＝2×eq\f(π,2)，∴ω＝2，∴f(x)＝2cos2x＋1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,8)))＋1＝eq\r(2)＋1.(2)将f(x)的图像向右平移eq\f(π,6)个单位长度后，得到函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))的图像，所以g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))＋1＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)))＋1.而2kπ≤eq\f(x,2)－eq\f(π,3)≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋eq\f(2π,3)≤x≤4kπ＋eq\f(8π,3)(k∈Z)时，g(x)单调递减．∴函数g(x)的单调递减区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4kπ＋\f(2π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)．11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))在一个周期内的图像如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)设0<x<π，且方程f(x)＝m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围以及这两个根的和．解：(1)观察图像，得A＝2，T＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)－\f(π,6)))÷eq\f(3,4)＝π.∴ω＝eq\f(2π,T)＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．∵函数f(x)的图像经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，2))，∴2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)＋φ))＝2，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝1.又|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6)，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).(2)∵0<x<π，∴方程f(x)＝m的根的情况，相当于f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图像与g(x)＝m的图像的交点个数情况.又0<x<π，∴在同一坐标系中画出f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))(0<x<π)和g(x)＝m(m∈R)的图像(如图所示)．由图，可知当－2<m<1或1<m<2时，直线g(x)＝m与曲线f(x)有两个不同的交点，即方程f(x)＝m有两个不同的实数根，∴m的取值范围为(－2,1)∪(1,2)．当－2<m<1时，此时两交点关于直线x＝eq\f(2π,3)对称，两根和为eq\f(4,3)π；当1<m<2时，此时两交点关于直线x＝eq\f(π,6)对称，两根和为eq\f(π,3).12．已知f(x)＝sin2(2x－eq\f(π,4))－2t·sin(2x－eq\f(π,4))＋t2－6t＋1(x∈[eq\f(π,24)，eq\f(π,2)])，其最小值为g(t)．(1)求g(t)的表达式．(2)当－eq\f(1,2)≤t≤1时，要使关于t的方程g(t)＝kt有一个实根，求实数k的取值范围．解：(1)因为x∈[eq\f(π,24)，eq\f(π,2)]，可得sin(2x－eq\f(π,4))∈[－eq\f(1,2)，1]．f(x)＝[sin(2x－eq\f(π,4))－t]2－6t＋1(x∈[eq\f(π,24)，eq\f(π,2)])．当t<－eq\f(1,2)时，则当sinx＝－eq\f(1,2)时，f(x)min＝t2－5t＋eq\f(5,4)；当－eq\f(1,2)≤t≤1时，则当sinx＝t时，f(x)min＝－6t＋1；当t＞1时，则当sinx＝1时，f(x)min＝t2－8t＋2；故g(t)＝eq