2021-2022学年安徽省滁州市义和中学高三数学理模拟试卷含解析

2021-2022学年安徽省滁州市义和中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数为奇函数，则f(x)的极大值点为（

）A.3

B.－1

C.1

D.－2参考答案：B2.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．3413参考答案：B【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，也就是x在（0，1）的概率．【解答】解：正态分布的图象如下图：正态分布N（﹣1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为×[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]=×（0.9544﹣0.6826）=0.1359；即阴影部分的面积为0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为p==0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000×0.1359=1359．故选B．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．3.下列函数中，在（﹣1，1）上有零点且单调递增的是（）A．y=log2（x+2） B．y=2x﹣1 C．y=x2﹣ D．y=﹣x2参考答案：B【考点】函数零点的判定定理；函数单调性的判断与证明．【分析】逐一分析四个给定函数的单调性，并求出两个在（﹣1，1）上为增函数的函数的零点，即可得到答案．【解答】解：在（﹣1，1）上递增的函数只有y=log2（x+2）和y=2x﹣1，又y=log2（x+2）的零点为x=﹣1，y=2x﹣1的零点为x=0．故选：B．4.一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)A．9

B．10

C．11

D．参考答案：C5.数列{an}是正项等比数列，{bn}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10 B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10 D．a3+a9与b4+b10大小不确定参考答案：B【考点】数列的函数特性．【分析】由于{bn}是等差数列，可得b4+b10=2b7．已知a6=b7，于是b4+b10=2a6．由于数列{an}是正项等比数列，可得a3+a9=≥=2a6．即可得出．【解答】解：∵{bn}是等差数列，∴b4+b10=2b7，∵a6=b7，∴b4+b10=2a6，∵数列{an}是正项等比数列，∴a3+a9=≥=2a6，∴a3+a9≥b4+b10．故选：B．6.(理)不等式4x2－7x－2＜0成立的一个必要不充分条件是A.

B.∪(2，＋∞)

C.

D．(－1,2)参考答案：A7.设等差数列的前项和为，，则

等于（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C略8.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则截面所在平面与底面所在平面所成的锐二面角的正切值为（）A．2 B． C． D．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体建立空间直角坐标系，由三视图求出A、C、D、E的坐标，设平面DEC的法向量，根据平面法向量的条件列出方程，求出法向量的坐标，由两平面的法向量求出成的锐二面角的余弦值，由平方关系求出正弦值，由商的关系即可求出正切值．【解答】解：如图建立空间直角坐标系，截面是平面CDE，由三视图得，A（0，0，0），E（0，0，2），D（0，2，4），C（2，0，0），所以，，设平面DEC的法向量为，则，即，不妨令x=1，则y=﹣1，z=1，可得，又为平面ABC的法向量，设所求二面角为θ，则，∵θ是锐二面角，∴=，则，故选B．9.函数的图象关于x轴对称的图象大致是（

）参考答案：B10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】简单空间图形的三视图．【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，作出图形，可得结论．【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为D．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若在内任取一个实数，则使与圆无公共点的概率为

．参考答案：

12.等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则

.参考答案：10

本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式的应用，难度中等.

因为是等差数列，且，，所以，解得，所以，解得.13.学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说：“A作品获得一等奖”；

乙说：“C作品获得一等奖”丙说：“B，D两项作品未获得一等奖”

丁说：“是A或D作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是__________．参考答案：C若是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是．14.实数x，y满足不等式组：，若z=x2+y2，则z的取值范围是．参考答案：[0，4]【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由z=x2+y2的几何意义，即可行域内动点到原点距离的平方求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，z=x2+y2的几何意义为可行域内动点到原点距离的平方，∴当动点（x，y）为O（0，0）时，z有最小值为0；为A（0，2）时，z有最大值为4．∴z的取值范围是[0，4]．15.的展开式中的系数为10，则实数=

．参考答案：4由二项式定理得，令，则，所以的系数为，所以，．16.（5分）如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图，如果主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为．参考答案：∵主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，∴几何体为底面边长为2，高为的正四棱锥则V==故答案为：17.的展开式中的常数项为______________.(用数字作答)参考答案：24三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，为中点．（1）证明：//平面；（2）证明：平面；参考答案：（Ⅰ）证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，—2分又M为PD的中点，所以PB//MO。————4分因为平面ACM，平面ACM，所以PB//平面ACM。————6分（Ⅱ）证明：因为，且AD=AC=1，所以，即，————8分又PO平面ABCD，平面ABCD，所以，所以平面PAC。————14分19.已知函数，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）如图，函数f（x）在[﹣1，1]上的图象与x轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为P，求与的夹角的余弦．参考答案：解：（Ⅰ）∵=∵x∈R∴，∴函数f（x）的最大值和最小值分别为1，﹣1．（Ⅱ）解法1：令得，∵x∈[﹣1，1]∴或∴，由，且x∈[﹣1，1]得∴，∴，∴=．解法2：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，由三角函数的性质知，，由余弦定理得=．解法3：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，由三角函数的性质知，在Rt△PAM中，∵PA平分∠MPN∴cos∠MPN=cos2∠MPA=2cos2∠MPA﹣1=．考点：三角函数的最值；数量积表示两个向量的夹角；正弦函数的图象．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用两角和的正弦函数化简函数的表达式，然后求函数f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）解法一：通过函数为0，求出M，N的坐标，确定P的位置，求出与，求出与的夹角的余弦．

解法二：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，求出|PM|，|PN|在三角形中利用余弦定理求出与的夹角的余弦．

解法三：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，在Rt△PAM中，求出，通过二倍角公式求出与的夹角的余弦．解答：解：（Ⅰ）∵=∵x∈R∴，∴函数f（x）的最大值和最小值分别为1，﹣1．（Ⅱ）解法1：令得，∵x∈[﹣1，1]∴或∴，由，且x∈[﹣1，1]得∴，∴，∴=．解法2：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，由三角函数的性质知，，由余弦定理得=．解法3：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，由三角函数的性质知，在Rt△PAM中，∵PA平分∠MPN∴cos∠MPN=cos2∠MPA=2cos2∠MPA﹣1=．点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，向量的夹角的求法，可以通过向量的数量积解决，也可以通过三角形解决，考查计算能力，常考题型．20.已知椭圆C：的离心率为，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B1，B2，且MB1⊥MB2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用离心率为，可得，由椭圆短轴的端点是B1，B2，且MB1⊥MB2，可得△MB1B2是等腰直角三角形，由此可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设线AB的方程与椭圆C的方程联立，利用韦达定理，结合PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，建立方程，即可求得结论．解：（Ⅰ）由，得．…依题意△MB1B2是等腰直角三角形，从而b=2，故a=3．…所以椭圆C的方程是．…（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=my+2．将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得（4m2+9）y2+16my﹣20=0．…所以，．…若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA+kPB=0．…设P（a，0），则有．将x1=my1+2，x2=my2+2代入上式，整理得，所以2my1y2+（2﹣a）（y1+y2）=0．…将，代入上式，整理得（﹣2a+9）?m=0．…（13分）由于上式对任意实数m都成立，所以．综上，存在定点，使PM平分∠APB．…（14分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查存在性问题的探究，属于中档题．21.（2017?白山二模）已知函数f（x）=|x﹣m|﹣1．（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围．参考答案：【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）求得不等式f（x）≤2的解集，再根据不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求得实数m的值．（2）由题意可得g（x）=|x﹣2|+|x+3|的最小值大于或等于t﹣2，求得g（x）=|x﹣2|+|x+3|的最小值，可得t的范围．【解答】解：（1）由f（x）≤2得，|x﹣m|≤3，解得m﹣3≤x≤m+3，又已知不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得m=2．（2）当m=2时，f（x）=|x﹣2|﹣1，由于f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，则|x﹣2|+|x+3|﹣2≥t﹣2对一切实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|≥t对一切实数x恒成立，设g（x）=|x﹣2|+|x+3|，于是，所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．综上可得，g（x）的最小值为5，∴t≤5，即t的取值范围为（﹣∞，5]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．22.（12分）设点，动圆经过点且和直线：相切.记动圆的圆心的轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设点为直线上的动点，过点作曲线的切线（为切点），证明：直线必过定点并指出定点坐标.参考答案：解析：（Ⅰ）过点作垂直直线于点依题意得：，所以动点的轨迹为是以为焦点，直线为准线的抛物线，即