山东省青岛市胶州第十七中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析

山东省青岛市胶州第十七中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“”是“”的（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：A略2.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则△ABC是(

)

A．钝角三角形

B．直角三角形

C．锐角三角形

D．等边三角形参考答案：A由得，，所以，所以,即三角形为钝角三角形，选A.3.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（

）

A．

B．

C．D．参考答案：C略4.已知集合,,则A∪B=(

)A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据并集运算法则求解即可.【详解】由题：集合,,则.故选：A【点睛】此题考查根据描述法表示的集合，并求两个集合的并集.5.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为A. B.1C. D.参考答案：A6.设奇函数在内有9个零点，则的取值范围为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A7.（04年全国卷III）不等式的解集为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：答案：D8.已知,,,则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】指数对数B6B7【答案解析】A

>1，<0，0<<1,所以,故选A.【思路点拨】先判断正负，再判断和1的关系，求出结果。9.四面体中，与互相垂直,,且,则四面体的体积的最大值是

(

).A.4

B.2

C.5

D.参考答案：A略10.复数z为纯虚数，若（3﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．参考答案：D【考点】复数相等的充要条件．【专题】数系的扩充和复数．【分析】设出复数z，然后利用复数相等的充要条件，求解即可．【解答】解：设复数z=bi，b≠0，∴（3﹣i）z=a+i，化为（3﹣i）bi=a+i，即b+3bi=a+i，∴b=a=，故选：D．【点评】本题考查复数的基本运算，复数相等的充要条件的应用，考查计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则=______．参考答案：设等差数列的首项为，公差为，由题意有，解得，数列的前n项和，裂项可得，所以．

12.已知数列{an}是以t为首项，以2为公差的等差数列，数列{bn}满足，若对都有成立，则实数t的取值范围是

．参考答案：

13.设实数x，y满足，则的最大值为

。参考答案：214.设若f（x）=，f（f（1））=1，则a的值是

．参考答案：1【考点】函数的值．【分析】分段函数f（x）在不同区间有不同对应法则，可先计算f（1）=lg1=0，再相应代入进行计算即可．【解答】解：∵1＞0，∴f（1）=lg1=0，∴f（0）=0+3t2dt==a3，又f（f（1））=1，∴a3=1，∴a=1，故答案是1．15.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为____________.参考答案：4

略16.已知函数是偶函数，当时，；当时，记的最大值为，最小值为，则 ．参考答案：117.已知△ABC中，角C为直角，D是BC边上一点，M是AD上一点，且|CD|=1，∠DBM=∠DMB=∠CAB，则|MA|=

．参考答案：2【考点】三角形中的几何计算．【分析】设∠DBM=θ，在△CDA中，由正弦定理可得=，在△AMB中，由正弦定理可得=，继而可得=，问题得以解决【解答】解：设∠DBM=θ，则∠ADC=2θ，∠DAC=﹣2θ，∠AMB=﹣2θ，在△CDA中，由正弦定理可得=，在△AMB中，由正弦定理可得=，∴===，从而MA=2，故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数m的取值范围.参考答案：解：（1），，即得，得.（2）∵，∴.∵，且存在实数使，∴.

19.（本小题满分12分）

已知点，动点满足（1）若点的轨迹为曲线，求此曲线的方程；（2）若点在直线上，直线过点且与曲线只有一个公共点，

求的最小值.参考答案：【知识点】直线和圆的方程的应用；轨迹方程．H4H9

【答案解析】（1）（x﹣5）2+y2=16;（2）4解析：（1）设P点的坐标为（x，y），∵两定点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|，∴（x+3）2+y2=4[（x﹣3）2+y2]，即（x﹣5）2+y2=16．所以此曲线的方程为（x﹣5）2+y2=16．（2）∵（x﹣5）2+y2=16的圆心坐标为M′（5，0），半径为4，则圆心M′到直线l1的距离为：=4，∵点Q在直线l1：x+y+3=0上，过点Q的直线l2与曲线C（x﹣5）2+y2=16只有一个公共点M，∴|QM|的最小值为：=4．【思路点拨】（1）设P点的坐标为（x，y），用坐标表示|PA|、|PB|，代入等式|PA|=2|PB|，整理即得点P的轨迹方程；（2）求出圆心坐标，圆的半径，结合题意，利用圆的到直线的距离，半径，|QM|满足勾股定理，求出|QM|就是最小值．20.（本题满分14分）如图，在三棱锥中，平面，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设分别为的中点，点为△内一点，且满足，求证：∥面；（Ⅲ）若，，求二面角的余弦值．参考答案：证明：（Ⅰ）因为平面，平面，所以．又因为，且，所以平面．又因为平面，所以．

………………

4分（Ⅱ）解法1:因为平面，所以，．又因为，所以建立如图所示的空间直角坐标系．

设，，，则，，，，．又因为，所以．于是，，．设平面的一个法向量，则有即

不妨设，则有，所以．因为，所以．又因为平面，所以∥平面．

………………

9分解法2：取中点，连，则.由已知可得,则点在上.连结并延长交于，连.因为分别为的中点，所以∥,即为的中点.又因为为线段的中点，所以∥.又平面,平面,所以∥平面．………………

9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面的一个法向量．又因为面，所以面的一个法向量是．

又，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．

………………

14分21.(本题14分)设函数有两个极值点,且.

(1)求实数的取值范围；

(2)当时,判断方程的实数根的个数,并说明理由.参考答案：解:(1)由可得.

令,则其对称轴为,故由题意可知是方程的两个均大于的不相等的实数根,其充要条件为,解得.……7分

(2)由可知,,从而易知函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.

①由在上连续、单调递增,且,以及,故方程在有且只有一个实根；

②由于在上单调递减,在上单调递增,因此在上的最小值,故方程在没有实数根.

综上可知,方程有且只有一个实数根.

略22.（本小题共13分）已知数列，，，，（）．⑴求，；⑵是否存在正整数，使得对任意的，有；⑶设，问是否为有理数，说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）；．

（Ⅱ）假设存在正整数，使得对任意的，有．则存在无数个正整数，使得对任意的，有．设为其中最小的正整数．若为奇数，设（），则．与已知矛盾．

若为偶数，设（），则，而从而．而，与为其中最小的正整数矛盾．综上，不存在正整数，使得对任意的，有．（Ⅲ）若为有理数，即为无限