山西省吕梁市岚县梁家庄中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析

山西省吕梁市岚县梁家庄中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，c﹣a=2，b=3，则a=（）A．2 B． C．3 D．参考答案：A【考点】余弦定理．【分析】由已知条件和余弦定理可得a的方程，解方程可得．【解答】解：由题意可得c=a+2，b=3，cosA=，∴由余弦定理可得cosA=?，代入数据可得=，解方程可得a=2故选：A2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（

）

A．圆

B．抛物线

C．双曲线

D．椭圆参考答案：考点：1.几何体的结构特征；2.曲线与方程；3.空间直角坐标系.3.在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.

B.

C.

D.参考答案：B略4.在△ABC中，D为边BC的中点，且，AB＝6，则AC＝(

)A.2

B.3

C.4

D.5参考答案：C5.已知平面向量是非零微量，，则向量在向量方向上的投影为（

）A．1

B．

C.2

D．参考答案：B试题分析:由题设,即,所以,即.故应选B.考点：向量的乘法运算及投影的概念.6.已知函数是奇函数，则的值等于A.

B.

C．

D.4参考答案：B7.已知函数则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略8.在弹性限度内，弹簧所受的压缩力与缩短的距离按胡克定律计算.今有一弹簧原长，每压缩需的压缩力，若把这根弹簧从压缩至（在弹性限度内），外力克服弹簧的弹力做了（

）功（单位：）A. B. C.0.686 D.0.98参考答案：A略9.若实数满足，且，则称与互补，记那么是与b互补的A．必要而不充分条件

B．充分而不必要条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C10.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c。且，面积S=2,则b等于A.5

B.

C.

D.25参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.圆关于直线y=x对称的圆的标准方程是

。参考答案：(x-4)2+(y+1)2=1略12.已知实数的范围是（用区间表示）_____________.参考答案：

13.计算__________________.参考答案：略14.已知双曲线C：的离心率，且它的一个焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的方程为____________________.参考答案：15.设集合P={x|（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，则集合P的非空子集个数是

．参考答案：3考点：定积分；子集与真子集．专题：导数的概念及应用．分析：根据积分公式，求出集合P，即可得到结论．解答： 解：（3t2﹣10t+6）dt=（t3﹣5t2t+6t）|=x3﹣5x2+6x=0，即x（x2﹣5x+6）=0，解得x=0（舍去）或x=2或x=3，即集合P={2，3}．∴集合P的非空子集为{2}，{3}，{2，3}．故答案为：3．点评：本题主要考查积分的计算依据集合子集个数的判断，比较基础．16.设，，，若，则

.参考答案：由题意可得：，由向量垂直的充要条件有：，求解关于实数的方程可得：.17.已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数，的图象如图所示．﹣1024512021（1）的极小值为_______；（2）若函数有4个零点，则实数的取值范围为_________．参考答案：

0

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥AC，AB=AC=A1B=2，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B．（1）求异面直线AA1与BC所成角的大小；（2）在棱B1C1上确定一点P，使AP=，并求出二面角P﹣AB﹣A1的平面角的正弦值．参考答案：考点：与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：（1）以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AA1与棱BC所成的角的大小．（2）分别求出平面P﹣AB﹣A1的法向量和平面ABA1的法向量，利用向量法能求出二面角P﹣AB﹣A1的平面角的正弦值．解答：解：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），∴=（0，2，2），=（2，﹣2，0），cos＜＞==﹣，∴AA1与棱BC所成的角是．（2）设，则P（2λ，4﹣2λ，2），，∴||=，解得或（舍），则P为棱B1C1的中点，其坐标为P（1，3，2），设平面PAB的法向量为，则，令z=1，得=（﹣2，0，1），由题意知平面ABA1的法向量为=（1，0，0），设二面角P﹣AB﹣A1的平面角为θ，则cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴二面角P﹣AB﹣A1的平面角的正弦值为．点评：本题考果二面角的异面直线所成角的大小的求法，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.已知函数.（1）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围；（2）若关于的方程，有实数解，求整数m的最大值.参考答案：解:(1),则, 得方程有两个不等的正实数根,即,(2)方程,即,记函数,，,令,,单调递减,,存在,使得,即, 当,,递增,,递减,,即,, 故,整数的最大值为

20.已知函数．（Ⅰ）解关于x的不等式；（Ⅱ）若恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（I）讨论的范围，去掉绝对值符号解不等式；（II）根据的单调性求出的最小值，得出关于的不等式，从而求出的范围．【详解】解：（I）当时，不等式为：，解得，故．当时，不等式为：，解得，故1＜x＜3，当时，不等式为：，解得，故．综上，不等式的解集为．（II）由恒成立可得恒成立．又，故在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为．∴，解得．即的最值范围是．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，函数最值与函数恒成立问题，属于中档题．21.C．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，点O(0,0)，B．（1）求以为直径的圆的直角坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，判断直线与圆的位置关系．参考答案：C．（1）设P(ρ，θ)是所求圆上的任意一点，因为为直径，所以，则OP＝OBcos，即ρ＝2cos，………………３分亦即，故所求的圆的直角坐标方程为．……5分注：也可现将化为直角坐标后直接求圆方程．（2）圆的圆心的坐标为，半径为，直线的直角坐标方程为，……７分因为圆心到直线距离为，所以直线与圆相切。………10分22.已知函数（其中a是实数）．

（1）求的单调区间；

（2）若设，且有两个极值点，求取值范围．（其中e为自然对数的底数）．参考答案：（1）的定义域为，，…….1分令，，对称轴，，1)当≤０，即－４≤≤4时，≥０于是，函数的单调递增区间为，无单调递减区间．……2分2)当＞０，即或时，①若，则恒成立于是，的单调递增区间为，无减区间．……3分②若令，得，，当时，，当时，．于是，的单调递增区间为和，单调递减区间为．…………4分综上所述：当时，的单调递