河海大学工程力学,第五章 平面力系的平衡

第5章平面力系的平衡若力系中各力的作用线既不汇交于一点，又不全部相互平行，且位于同一个平面内，则该力系称为平面任意力系。§5-1平面任意力系§5-1平面任意力系MAMBABq1F2F1abq2q3FAxFAyFByFBx图示为厂房建筑中常用的刚架结构中的一个刚架受力简化图。q1屋面荷载和横梁自重q2风压力q3由风压力引起的负压力F1、F2分别为吊车梁作用于牛腿a、b上的力§5-1平面任意力系§5-2力的平移定理OFF'O'F"Md根据加减平衡力系原理,M

=F·dM与Mo'

(F)大小相等，转向一致。F与F"组成力偶Mo'

(F)=F·d去掉F与F"，代之以力偶M力的平移定理：作用在刚体上的力可向刚体内任一点平移，但需在该力与该平移点所决定的平面内附加一个力偶，附加力偶的矩等于原力对平移点的矩。一、力的平移定理OFM二、共面的力与力偶的合成O'F'F"dOFM去掉力偶M

，代之以F'与F"则合力为F'且F=F'=F"§5-2力的平移定理一、简化方法将各力向任一点（即简化中心）平移，得到一个平面汇交力系和一个平面力偶系，进而合成得到一个力和一个力偶。F1F2FiFnOA1A2AiAnA1A2OF1'F2'Fi

'Fn'AiAnm1m2mimnFRmomO=∑mi主矢量主矩FR=∑Fi§5-3平面任意力系的简化二、简化的一般结果mO=m1+m2+…+mi+…+mn主矢量主矩=∑FiFR=F1'+F2'

+…

Fi

'

+…+

Fn'=F1+F2+…

Fi

+…+

Fn=∑miA1A2OF1'F2'Fi

'Fn'AiAnm1m2mimnFRmomi=MO

(Fi)因为所以mO=∑MO

(Fi)平面力系向平面内一点（简化中心）简化的一般结果是一个力和一个力偶，这个力作用于简化中心，等于原力系各力的矢量和；这个力偶在原力系所在的平面内，其矩等于原力系对简化中心的矩的代数和。§5-3平面任意力系的简化AF1F2Fi

FnFRA1A2OF1'F2'Fi

'Fn'AiAnm1m2mimnFRmoO'思考1：简化中心取在O'点时，简化的一般结果有无变化？主矢量是一常矢量，与简化中心的位置无关；主矩一般随简化中心的位置不同而不同。思考2：平面汇交力系简化的一般结果？mO=∑mi主矢量主矩FR=∑FiOFRmo§5-3平面任意力系的简化三、简化结果的讨论1.FR=0，mO

≠0合力偶m与简化中心位置无关，为什么？2.FR≠0，mO

=0合力FR作用线过简化中心3.FR≠0，mO

≠0使mo=MO

(F'R)mo=FR·dx=moFRyxyOO'F'RdxxyOFRmoF'RO'dx可以进一步简化为合力F'R§5-3平面任意力系的简化mO=MO

(F'R)合力矩定理：设平面力系简化为一个合力，则合力对于该力系平面内任一点的矩就等于各分力对同一点的矩的代数和。4.FR=0，mO

=0该力系平衡mO=∑MO

(Fi)FRxyOmoF'RO'dx§5-3平面任意力系的简化四、简化结果的解析计算FR=√FRx2+FRy2FRx

=

∑FixFRy

=∑Fiycos(FR，x)=FRxFRmO=∑MO

(Fi)主矢：主矩：思考：平面平行力系的简化F1xyOF2F3moFRFR=

∑FiymO=∑MO

(Fi)F'Rxx=moFRy进一步简化为合力§5-3平面任意力系的简化§5-4平行线分布力的简化在实际问题里，物体所受的力，往往是分布作用于物体体积内（如重力）或物体表面上（如水压力），前者称为体力，后者称为面力。体力和面力都是分布力。如分布力的作用线彼此平行，则称为平行分布力。面力一般是分布在一定面积上的，但在许多工程问题里，力是沿着狭长面积分布的（如梁上的力），这种力可简化为沿着一条线分布的力，称为线分布力或线分布荷载。表示力的分布情况的图形称为荷载图。单位长度或单位面积上所受的力，称为分布力在该处的集度。如果分布力的集度处处相同，则称为均布力或均布荷载；否则就称为非均布力或非均布荷载。xyq(x)ldxxFR(xC,yC)§5-4平行线分布力的简化线段上荷载图的面积1.合力大小2.合力作用线位置——荷载图面积形心一、平面任意力系的平衡FR=0

MO

=0∑Fix=0∑

MO

(Fi)=0∑

Fiy

=0FR=FRxi+FRyj=∑

Fixi+∑

Fiyj§5-5平面任意力系的平衡例：求A、B处约束反力ABCFPFQ30oll/2FAxFAyFB§5-5平面任意力系的平衡二力矩形式三力矩形式∑MB

=0∑

MA=0∑Fix=0A、B两点的连线不垂直x轴xyAFRBBB∑

MB=0∑

MC=0∑

MA=0A、B、C三点不共线灵活运用平衡方程，不要拘泥于形式；通常尽量一个方程求解一个未知量。§5-5平面任意力系的平衡平面平行力系：FR=0

MO

=0∑

MO

(Fi)=0∑

Fiy

=0二力矩形式：∑MB

=0∑

MA=0§5-5平面任意力系的平衡例求A端约束力。ABFl45oqFAxFAyMA§5-5平面任意力系的平衡FPACDB2m1m30oqW1m1m1mMFAxFCDFTFAy例已知q=0.5kN/m，W=10kN，FP=5kN，M=8kN·m。求A、D处约束力。E§5-5平面任意力系的平衡§5-6静定与超静定问题物体系统的平衡一、静定与超静定问题静定：未知量个数=独立方程数超静定：未知量个数>独立方程数对于n个物体组成的物体系统，最多可列3n个独立的方程。约束力个数≤3n时，为静定的；约束力个数＞3n时，为超静定的（静不定）。§5-6静定与超静定问题物体系统的平衡ABCABC§5-6静定与超静定问题物体系统的平衡不完全约束、完全约束、多余约束§5-6静定与超静定问题物体系统的平衡超静定结构比静定结构安全，因为当静定结构中任何一个约束破坏时，就丧失了承载能力，而超静定结构中的多余约束破坏时，依然具有一定的承载能力。而且超静定结构的内力分布一般比静定结构要均匀，结构的刚度和稳定性也都有提高。§5-6静定与超静定问题物体系统的平衡对ABC而言，A、B为外约束，C为内约束；但对AC而言，A、C均为外约束。物体系统：多个物体用一定的方式连接起来组成的系统。外约束：其它物体对该物体系统约束。内约束：物体系统内各物体间的相互约束。二、物体系统的平衡问题§5-6静定与超静定问题物体系统的平衡C4mABq=15kN/m4m例求A、B、C处约束反力FBxFByFAxFAy§5-6静定与超静定问题物体系统的平衡C4mABq=15kN/m4m例求A、B、C处约束反力FBxFByFAxFAy4mx'y'§5-6静定与超静定问题物体系统的平衡FP讨论题：CFAxFAyFBxFBy求A、B处约束力。FBxFByFCxFCyFD§5-6静定与超静定问题物体系统的平衡讨论题：求A、E处约束力。§5-6静定与超静定问题物体系统的平衡讨论题：求A、B处约束力。§5-9静定与超静定问题物体系统的平衡q=2kN/mABCD1m1m2m2m1m求AD、CD、BD杆内力。例：FAFBxF