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文档简介

§6.2

极大似然估计

极大似然估计是在母体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.

它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的,费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质.简单的例子某位同学与NBA球员一起投篮.三分线外两步远，手起球落，唰的一声篮球空心入网。如果要你推测，球是谁投中的？

一般我们会想，这么远抬手就能投中,职业球员命中的概率一般大于这位同学命中的概率.这一球应是球员射中的.这个例子所作的推断体现了极大似然法的基本思想.

极大似然估计原理：

当给定子样观测值x1,x2,…,xn时,定义似然函数（likelihoodfunction）为：

设ξ1,ξ2,…,ξn是取自母体ξ的一个子样，θ为未知参数，子样的联合密度(连续型）或联合分布列(离散型)为

f(x1,x2,…,xn;θ)=f(x1,x2,…,xn;θ)L(θ)=L(θ

;x1,x2,…,xn)

极大似然估计法就是用使L(θ)达到最大值的去估计θ，即

L(θ)看作参数θ的函数，它可作为θ将以多大可能产生子样观测值x1,x2,…,xn的一种度量.则称为θ的极大似然估计（MLE）.§6.2

极大似然估计极大似然估计原理：

设ξ1,ξ2,…,ξn是取自母体ξ的一个子样，θ为未知参数，子样的联合密度(连续型）或联合分布列(离散型)为

f(x1,x2,…,xn;θ)定义似然函数（likelihoodfunction）=f(x1,x2,…,xn;θ)L(θ)=L(θ

;x1,x2,…,xn)

极大似然估计法就是用使L(θ)达到最大值的去估计θ，即

则称为θ的极大似然估计（MLE）.定义似然函数（likelihoodfunction）=f(x1,x2,…,xn;θ)L(θ)=L(θ

;x1,x2,…,xn)求极大似然估计(MLE)的一般步骤:(1)由母体分布写出子样的联合分布列(或联合密度);(2)把子样联合分布列(或联合密度)中的自变量看成已知常数,而把参数θ看作自变量,得到似然函数L(θ);(3)求似然函数L(θ)的最大值点(常常转化为求lnL(θ)的最大值点)，即θ的MLE2、用上述求导方法求参数的MLE有时行不通，这时要用极大似然估计原理来求.说明：例1设ξ1,ξ2,…,ξn是取自母体ξ~b(1,p)的一个子样，求参数p的极大似然估计.注最大次序统计量注矩估计量注Ц例3一罐中装有白球和黑球，有放回地抽取一个容量为n的子样，其中有k个白球，求罐中黑球与白球之比R

的极大似然估计值.解:设罐中有白球x个，则有黑球Rx个，从而

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