高中数学苏教版第二章平面向量 第2章过关检测

第2章过关检测一、选择题1.化简()+()+的结果为()A. B.C. D.答案B解析运用向量加法的多边形法则运算求解.2.(2023·广东汕头一模)已知向量a=(1,2),2a+b=(3,2),则b=()A.(1,2) B.(1,-2) C.(5,6) D.(2,0)答案B解析a=(1,2),2a+b=(3,2),则b=(2a+b)-2a=(3,2)-2(1,2)=(3,2)-(2,4)=(3-2,2-4)=(1,-2),故选B.3.若a=(2,3),b=(4,-1+y),且a∥b,则y等于() 答案A解析∵a∥b,∴2(-1+y)-3×4=0,∴y=7.4.已知|a|=6,e为单位向量,当a,e的夹角为120°时,a·e等于() 答案D解析a·e=|a|·|e|·cos120°=6×=-3.5.关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:①若a·b=a·c,则b=c;②若a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则k=-3;③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60°.其中是真命题的为()A.① B.①② C.② D.②③答案C解析当a=0时,①不成立;对于②,若a∥b,则-2k=6,∴k=-3,②成立;对于③,由于|a|=|b|=|a-b|,则以|a|,|b|为邻边的平行四边形为菱形,如图.∠BAD=60°,=a+b,由菱形的性质可知,a与a+b的夹角为∠DAC=30°.6.导学号51820236(2023·全国丙高考)已知向量,则∠ABC=()° ° ° °答案A解析因为,所以.又因为=||·||cos∠ABC=1×1×cos∠ABC=cos∠ABC,所以cos∠ABC=,即∠ABC=30°.故选A.二、填空题7.若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为120°,则a·a+a·b=.

答案解析a·a+a·b=|a|2+|a||b|cos120°=.8.△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,=m(),则实数m=.

答案1解析设△ABC是直角三角形,∠C=90°,则H与C重合,O为AB的中点,,故m=1.9.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若,则的值是.

答案解析由,得·()=,即.又∵,∴=0.∴.故=()·()==0+·()+|2+0=+2=-||2+2=-2+2=.10.导学号51820237O为△ABC中线AM上的一个动点,若AM=2,则·()的最小值是.

答案-2解析设||=x,0≤x≤2,则||=2-x,如图.由题意易得.又∵=-,∴·()=·2=2||||cos180°=-2||||=-2x(2-x)=2(x2-2x)=2(x-1)2-2.当x=1时有最小值-2,此时O为AM的中点.三、解答题11.(2023·山西曲沃中学高一期末)已知a=(2,1),b=(-3,-4),c⊥(a-b).(1)求2a+3b,|a-2b|;(2)若c为单位向量,求c的坐标.解(1)∵a=(2,1),b=(-3,-4),∴2a+3b=(-5,-10),a-2b=(8,9),∴|a-2b|=.(2)设c=(x,y),则x2+y2=1,①∵a=(2,1),b=(-3,-4),∴a-b=(5,5).又c⊥(a-b),∴5x+5y=0,∴y=-x,②解得∴c=或c=.12.导学号51820238如图,已知△ABC的三个顶点的坐标为A(-5,-1),B(4,1),C(0,4).(1)求△ABC的面积.(2)若四边形ABCD为平行四边形,求D点的坐标.解(1)设AB边上的高为CE.设E(x,y),则=(x,y-4),=(x+5,y+1),=(9,2).由于,则9x+2(y-4)=0.①由于共线,则2(x+5)-9(y+1)=0.②由①②解得.S△ABC=|||=.(说明:本题还可用数量积去解).(2)设D(m,n),∵=(m+5,n+1),=(-4,3),又∵,∴∴D(-9,2).13.导学号51820239某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为2a千米/时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速和方向.解设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量,无风时此人感到风速为-a.设实际风速为v,那么此人感到的风速为v-a.如图,设=-a,=-2a,∵,∴=v-a.这就是感到由正北方向吹来的风速.∵,∴=v-2a.于是当此人的速度是原来的2倍时,所感受到由东北方向吹来的风速就是.由题意知∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO,从而,△POB为等腰直角三角形.∴PO=PB=a,即|v|=a.∴实际风速是大小为a的西北风.14.已知平面上三个向量a,b,c,其中a=(1,2).(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ的余弦值.解(1)不妨设c=λa=(λ,2λ),则|c|2=5λ2.∵|c|=2,∴|c|2=20.∴5λ2=20,∴λ=±2.∴c