高中数学苏教版第一章三角函数任意角的三角函数 校赛得奖

数学《任意角的三角函数》教学案例江苏省锡山高级中学杨志文【教学目标】1、学生能认识到定义任意角三角函数的必要性和任意角三角函数定义规定的合理性；能从函数的概念理解三角函数的定义，会根据已知角的终边，求出角的三角函数值；2、学生自己能根据三角函数的定义，得到三角函数的定义域、三角函数在各象限的符号。会确定已知角的三角函数值的符号；3、知道有向线段、有向线段的数量的概念，理解三角函数值的几何意义，会用正弦线、余弦线和正切线表示任意角的正弦、余弦、正切函数值。【教学实录】1．创设情境，激发兴趣（多媒体显示）日出日落，寒来暑往……自然界中有许多“按一定规律周而复始”的现象，一个简单又基本的例子便是“圆周上一点的运动.T：问题1：如何将圆周上一点P的位置表示出来呢？（提出问题后，让学生思考、探索、谈想法。稍后，有学生举手）S1:可用直角坐标系将圆周上一点P的位置表示出来。以圆心为原点，以一条水平直径为轴，过圆心且与这条直径垂直的直径为轴，建立直角坐标系，点P的位置可用坐标来表示。（学生讲，教师用PPT显示预设的图形，如图1）T：很好！还有其他表示法吗？S2：我想还可用圆的半径及过点P的半径和一条水平半径的角点P的位置。（学生讲，教师用PPT显示预设的图形，如图2。图1、图2可根据学生讲得次序显示）xOxOyP(x,y)PArO（图1）（图2）2.问题引动，探究新知T：问题2：既然是同一个点可用两种方法表示，那么这两种表示法之间有怎样的联系那？即α,r,x,y之间有着怎样的内在联系呢？T：初中时，我们怎样利用直角三角形定义锐角三角函数呢？S3：画直角三角形，所对的边长分别为则有：BBACabc(学生讲，教师板书)T：回答的很正确。问题3：若α为任意角，怎样定义任意角α的三角函数呢？如怎样求它的三角函数值呢？（让学生思考，这个角在直角三角形中“放不下，怎么办？让学生提出解决问题的设想，学生若有困难，教师可引导学生回顾任意角的定义方法——借助直角坐标系）S4:借助直角坐标系,把角放在直角坐标系中来研究。yxyxOP(x,y)rS５：T:这些关系是函数吗？若是，自变量是什么？谁是函数？S6：（平时喜欢发言，但不大动脑）自变量是，是函数。T：请同学们想想，有没有不同意见。S7：我认为角是自变量，比值是函数。T：请说说你的理由。S7：点P的坐标,是线段OP的长度，比值随角变化而变化，所以角是自变量，比值是函数。T：这位同学的看法不错！但比值是否是角的函数，我们应用函数的定义来衡量一下。请同学们回顾函数的定义，想一想，比值究竟是否是角的函数？（过一会，有同学举手）yxyxOP(x,y)rT：（这时需要扶一把）那么当点P取角终边上不同点时，这个比值唯一确定吗？S9：我认为当点P取角终边上不同点时，这个比值不变。T：请你说说理由（向这位同学点头微笑，鼓励他说下去）。S9：在角终边上另取一点，设由三角形相似，可得T：哇！太棒了。这位同学证明了对每一个角，有唯一的比值与它对应，比值与点P在角终边上的位置无关。yxyxO的终边P(x,y)rT：能否将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数呢？S10：可类似的规定任意角的三角函数。在角的终边上任意取一点P，规定任意角的三角函数如下：T：这样推广到任意角，符合函数的定义吗？（对规定的合理性提出质疑）。（此时，学生有点困惑，教师及时点点拨）T：我们一起来分析：角角（图形）角的弧度（实数）比值（唯一实数）S11:：由前面对锐角三角函数的研究可知，对任意角，比值与点P在角终边上的位置无关。对于确定的角，比值都唯一确定，故正弦、余弦都是角的函数。当时无意义。对于的每一个角，比值也唯一确定，所以正切也是角的函数。T：非常好！这位同学比较深刻的阐明了规定任意角的三角函数：的合理性。这三种函数都称为三角函数。问题4.由三角函数的定义，能得到三角函数的那些性质呢？S12：可以知道三角函数的定义域，的定义域都是R，的定义域是：。S13：还可知道三角函数在各象限的符号。一、二象限为正，三、四象限为负;一、四象限为正，二、三象限为负；一、三象限为正，二、四象限为负。T：（老师根据学生所讲的进行板书或画图表示）S14：我还可以知道的值都比1小，…。T：好的，有关三角函数的其他性质我们以后再进一步研究。【评课反馈】本节课的教学设计以转变学生学习方式（新课改的核心理念）为指导，运用“创设情境——问题引动——主动探究——意义建构——数学运用”的探究性学习课堂教学模式，力求使课堂成为学生主动探究、展示自我的舞台。上课开始从自然界中的普遍现象提出问题，激发学习动机，引发学生思考。从学生知识的最近发展区提出问题，再从学生的认知冲突中认识学习任意角的三角函数的必要性。先从特殊入手，认识在坐标系中锐角三角函数的定义，学生深刻理解三角函数值与点P在角ɑ的终边上的位置无关，从特殊到一般探究任意角的三角函数定义，让学生从映射、函数的定义认识、感受任意角三角函数定义规定的合理性。由任意角的三角函数定义，自然生成三角函数的定义域及三角函数值在各象限内的符号。运用几何画板演示让学生直观体验三角函数的几何意义，得出三角函数线。最后通过课外探究题把探究性学习延伸到课外。本节内容的教学中值得商榷的问题是：《任意角的三角函数》这节内容，是1课时完成，还是分2课时完成。1课时完成，优点是学生对任意角的三角函数能从数与形两个方面较完整的认识。缺点是内容较多，课堂留给学生思考、探究的时间较少。分两课时完成，缺点是知识体系不够完整。优点是时间教宽裕，可给学生充分的思考、探究的时间。在三角函数线的教学中可生成较多的三角函数的性质。在教学内容多、课时少的情况下，究竟怎样处理比较好，敬请专家、同行出招。【课后反思】本节课是在陕西师范大学数科院与吴江市在震泽中学联合举办的“自能•探究”公开教学活动中本人开设的公开课。由于是借班上课，课前没有和学生接触，也没有布置学生预习，是一堂原生态的课。之前很担心与学生的配合，但出乎我的意料，学生主动参与教学活动，使本节课成为自我感觉较满意的一堂课。反思本节课的教学，成功之处主要有一下三点：（1）创设情境,激发学生主动学习的兴趣新课程改革的重点是课堂教学改革，课堂教学改革的核心是转变学生学习方式，变“被动接受式”学习为主动学习。学生学习某一知识，首先要有兴趣，有了兴趣，才会主动去学习，如果没有兴趣，只能被动接受。兴趣是主动学习的前提。创设问题情境是激发学习兴趣的有效途径。《普通高中数学课程标准》指出：“要重视从学生的生活实践和已有知识中学习数学，理解数学”.在数学课堂中，通过有效合理的实际生活情境，激发学生积极主动地参与到学习活动中去.创设生活情境，可以直观的再现问题，将数学与生活紧密相连，激发学生探索规律的兴趣，新课程标准中很重要的改革是注重学生的情感与态度的培养.新《普通高中数学课程标准》强调“要让学生在现实、生动具体的情境中和已有知识的基础上体验和理解数学知识”.教师依据教学目标创设以形象为主体、富有感情色彩的具体场景或氛围，激发和吸引学生主动学习，达到最佳教学效果。本节课从学生熟悉的直角三角形中锐角的三角函数入手，引导学生运用函数的观点认识在坐标系中锐角三角函数的定义，从特殊到一般探究任意角的三角函数定义规定的合理性。由于教学起点定位准确，问题设计符合学生认知水平，学生课堂思维活跃，争先发言，积极参与课堂教学活动。（2）问题引动，为学生主动探究学习提供了动力。《普通高中数学课程标准》中明确指出：“学生的数学学习活动，不应只限于接受、记忆、模仿和练习。高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式”。丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法，使学生学会学习，为终身学习和终身发展打下良好的基础，是高中数学课程追求的基本理念。这是因为，社会的发展需要终身教育，而学生在学校中只能获得其需要的部分知识和初步能力，更多的必须在其未来的人生历程中依靠自主的探索、主动的学习，去不断地充实自我，以适应不断变化的社会需要。此外，数学学习不仅仅是记忆一些重要的数学结论，还要发展数学思维能力和积极的情感态度，再加上数学学科高度抽象的特点，这就需要学习者有积极主动、勇于探索的精神，需要有自主探索的过程，需要有多种丰富的学习方式。但由于我国数学教育长期以来受传统思想及应试教育影响，传统意义上的数学教学，强调的是知识的传授，技能的训练，教师的主导（实际上是教师的控制）。课堂教学方式基本上是灌输式的讲授法，学生的学习基本上是听讲、模仿、记忆、再现教师传授的知识。因此，是一个被动接受知识、强化储存的过程，忽视了学生在学习过程中的主体性，也就缺乏师生之间、生生之间的互动。对于抽象程度很高的数学学习来说，这样一种数学教学活动导致的一个直接结果就是扼制了学生学习数学的积极情感，使学生觉得学习数学枯燥无味，对数学学习畏惧、没有兴趣，或越学越没有兴趣，认为数学就是做题，数学没什么用处，学数学也就没有用，这就不仅在客观上由于教师的控制太多影响了学生的主体参与，而且在学生主观上也缺乏主体参与的意向。这种教学方法显然是一种被动的、接受式的应试教育。新课程改革的重点是课堂教学改革，课堂教学改革的核心是转变学生学习方式，变“被动接受式”学习为主动探究性学习。课堂教学中怎样才能使学生主动探究学习呢？主动探究学习的动力来自哪里呢？早在我国古代就有了“学起于思，思源于疑”的提法，它深刻地揭示了疑、思、学三者的关系.一个好的问题是学生主动探究学习的动力。所谓好的问题是指所设计的问题要具有科学性、趣味性，有探究的价值。问题的设计应遵循了以下三个原则：①目标性原则：针对学生实际，针对课堂教学所要构建的知识结构，针对教学目标.②启发性原则：能启发学生深入思考，有利学生思维训练，有利于培养学生的科学探究能力.③最近发展区原则：所选问题都是在学生已有的知识基础上，学生有能力解决.问题是科学思维的起点。在教学过程中以问题为中心，进行创造性教学.这里所说“以问题为中心”，就是以创造的开始——问题为纽带来组织教学过程的各个环节，把问题贯穿于教学过程的始终，以满足学生的求知欲，不断给学生主动探究学习的动力。这样就使学生的学习过程成为感受、理解知识产生和发展的过程，把学习知识的过程，变成了学生自主探究的“再发现”、“再创造”的过程，进而培养学生的问题意识和科学精神.探究性学习，有两个最显著的特征，一是教学内容的问题化；二是教学过程的探索化。问题是科学思维的起点，好的问题是学生主动探究学习的强劲动力。在本堂课的教学过程中，以问题“α,r,x,y之间有着怎样的内在联系呢？”为主干问题，设置问题组，以问题为纽带组织教学过程的各个环节，把问题贯穿于教学过程的始终，以满足学生的求知欲，不断给学生主动探究学习的动力。学生在课堂随着一个个问题解决的自豪，又面对一个个新的问题的出现，自豪感和求知欲促使他们始终处在兴奋状态。课堂上多次出现“我能”、“我要说”的主动探究的场景，探究，让课堂焕发生命活力。（3）多元评价是学生主动探究加油站课堂评价的目的是促进学生的学习。不能认为对学生数学学习的评价就是测验、考试；课堂对学生学习的评价就是看学生的解题的正确率。这种单一的课堂评价方式会导致课堂教学忽视数学知识的发生发展的过程，不给学生思考探究的时间和空间，一味的讲题做练习，把一节课变成大量解题训练。课堂评价的形式应多元化，课堂评价的内容和方式要灵活多样，将表现性评价（如学生的表情、发言、课堂问答等）、交流式评价（如师生、生生之间讨论、互动等）和检测性评（如课堂练习板演、课外作业等）相结合；将师生互评与生生互评相结合。评价是获得设计、调整教学所必须的信息的手段，是教学过程不可分割的一部分。数学课可以根据不同的课型设计不同的评价方式。如在新授课教学中，重点应放在数学知识（数学概念、定理、结论）的发生发展的过程的教学，可采用表现性评价，根据学生课堂表现（学生的表情、发言、回答问题的程度）情况来判断他的学习情况，也可以采用交流式评价，通过师生、生生之间交流互动进一步了解学生的学习情况；在习题课或复习课的教学中，可以根据学生具体的解题情况，采用检测性评（如课堂练习板演、小测验）来判断学生对知识的掌握情况和运用知识解决问题的能力。对学生在课堂上的表现及时给予激励性评价（如表扬、赞美等），使学生始终处在积极兴奋状态中，使课堂评价成为学生主动探究学习的加油站。在本节课的教学中，运用多种形式对学生在课堂学习中的表现进行评价。在教学过程中，陈老师多次激励学生进行探究，如“很好！”、“哇！这个证法太妙了！”、“回答的很棒！”等对学生的课堂表现进行赞赏，评价学生的学习成果。由于不断给学生打气加油，课堂上学生学习的热情高涨，表现积极主动。（4）课堂应是学生的舞台《普通高中数学课程标准》以全新的教学观念作为课程的基本理念，把数学教育提升为“